सजातीय समतल (घटना ज्यामिति)

For the algebraic definition of the same space, see Affine space.

ज्यामिति में, एक सजातीय तल बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली है जो निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है:

• कोई भी दो भिन्न बिन्दु एक अद्वितीय रेखा पर स्थित होते हैं।
• किसी भी रेखा को देखते हुए और कोई भी बिंदु उस रेखा पर नहीं होता है, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और दी गई रेखा से नहीं मिलता है। (प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध)
• तीन असंरेख बिंदु मौजूद हैं (बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं)।

एक सजातीय तल में, दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे समान या असंयुक्त सेट हों। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, Playfair के ऊपर दिए गए स्वयंसिद्ध को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

• एक बिंदु और एक रेखा को देखते हुए, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और रेखा के समानांतर होता है।

समांतरता एक सजातीय तल की तर्ज पर एक तुल्यता संबंध है।

चूँकि बिंदुओं और रेखाओं के बीच के संबंध को शामिल करने वाली अवधारणाओं के अलावा कोई भी अवधारणा स्वयंसिद्धों में शामिल नहीं है, एक संबधित तल घटना ज्यामिति से संबंधित अध्ययन का एक उद्देश्य है। वे गैर-पतित रैखिक स्थान (ज्यामिति) हैं जो प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं।

परिचित यूक्लिडियन विमान एक सजातीय तल है। कई परिमित और अनंत संबंध तल हैं। फ़ील्ड्स (और विभाजन की अंगूठी ्स) के साथ-साथ affine विमान ्स भी हैं, कई गैर-डिसार्ग्यूज़ियन प्लेन्स भी हैं, जो इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले डिवीजन रिंग में निर्देशांक से प्राप्त नहीं होते हैं। मौलटन विमान इनमें से एक का उदाहरण है।

परिमित एफ़िन विमान

Affine plane of order 3
9 points, 12 lines

यदि किसी समतल तल में बिंदुओं की संख्या परिमित है, तो यदि तल की एक रेखा में समाविष्ट है n अंक तो:

• प्रत्येक पंक्ति में शामिल है n अंक,
• प्रत्येक बिंदु में निहित है n + 1 रेखाएं,
• वहाँ हैं n² अंक सभी में, और
• कुल है n² + n पंक्तियां।

जो नंबर n को affine तल का क्रम कहा जाता है।

सभी ज्ञात परिमित एफ़िन विमानों के आदेश हैं जो प्रधान या प्रधान शक्ति पूर्णांक हैं। फ़ानो विमान से एक रेखा और उस रेखा पर तीन बिंदुओं को हटाकर सबसे छोटा संबंध तल (क्रम 2 का) प्राप्त किया जाता है। एक समान निर्माण, क्रम 3 के प्रक्षेपी तल से शुरू होकर, क्रम 3 के संबंध तल का उत्पादन करता है जिसे कभी-कभी हेस्से विन्यास कहा जाता है। आदेश का एक सजातीय विमान n मौजूद है अगर और केवल अगर एक प्रोजेक्टिव प्लेन # ऑर्डर के प्रोजेक्टिव प्लेन को परिमित करता है n मौजूद है (हालाँकि, इन दो मामलों में आदेश की परिभाषा समान नहीं है)। इस प्रकार, ऑर्डर 6 या ऑर्डर 10 का कोई एफ़िन प्लेन नहीं है क्योंकि उन ऑर्डर के कोई प्रोजेक्टिव प्लेन नहीं हैं। ब्रुक-रेज़र-चावला प्रमेय एक प्रक्षेपी तल के क्रम पर और इस प्रकार, एक सजातीय तल के क्रम पर और सीमाएँ प्रदान करता है। वह n² + n आदेश के एक सजातीय तल की पंक्तियाँ n में गिरावट n + 1 के समकक्ष वर्ग n समान्तरता के तुल्यता संबंध के अंतर्गत प्रत्येक रेखाएँ। इन वर्गों को रेखाओं का समांतर वर्ग कहा जाता है। किसी भी समांतर वर्ग में रेखाएं एक विभाजन बनाती हैं जो एफ़िन विमान के बिंदु हैं। हरेक n + 1 रेखाएँ जो एक बिंदु से होकर गुजरती हैं, एक अलग समानांतर वर्ग में स्थित होती हैं।

क्रम के एक सजातीय तल की समानांतर वर्ग संरचना n का एक सेट बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है n − 1 परस्पर ओर्थोगोनल लैटिन वर्ग। इस निर्माण के लिए केवल घटना संबंधों की आवश्यकता है।

प्रोजेक्टिव विमानों के साथ संबंध

Main article: Projective plane

किसी प्रक्षेपी तल से एक रेखा और उस पर के सभी बिंदुओं को हटाकर एक संबंद्ध तल प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किसी भी परिबद्ध तल का उपयोग अनंत पर एक रेखा जोड़कर प्रक्षेपी तल के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसका प्रत्येक बिंदु अनंत पर वह बिंदु है जहां समांतर रेखाओं का समतुल्य वर्ग मिलता है।

यदि प्रक्षेपी तल गैर-डिसार्ग्यूसियन तल है|गैर-डिसार्ग्यूसियन है, तो विभिन्न रेखाओं को हटाने से गैर-आइसोमोर्फिक एफ़ाइन तल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम नौ के ठीक चार प्रक्षेपी तल हैं, और क्रम नौ के सात संबंध तल हैं। ऑर्डर नौ के कार्टेशियन विमान के अनुरूप केवल एक ही एफाइन प्लेन है, क्योंकि उस प्रोजेक्टिव प्लेन का कॉलिनेशन प्लेन की तर्ज पर सकर्मक (समूह क्रिया) काम करता है। ऑर्डर नौ के तीन गैर-डिसर्ग्यूसियन विमानों में से प्रत्येक में समरेखण समूह हैं, जो लाइनों पर दो कक्षाएं हैं, क्रम नौ के दो गैर-आइसोमॉर्फिक एफ़िन विमानों का उत्पादन करते हैं, इस पर निर्भर करता है कि किस कक्षा को हटाया जाना है।

Affine अनुवाद विमान

एक पंक्ति l प्रक्षेपी तल में Π अक्ष के साथ elations का समूह है तो एक अनुवाद रेखा है l समूह क्रिया (गणित) को हटाकर प्राप्त किए गए संबध तल के बिंदुओं पर सकर्मक गुण l विमान से Π. ट्रांसलेशन लाइन के साथ एक प्रोजेक्टिव प्लेन को ट्रांसलेशन प्लेन कहा जाता है और ट्रांसलेशन लाइन को हटाकर प्राप्त एफाइन प्लेन को एफाइन ट्रांसलेशन प्लेन कहा जाता है। हालांकि सामान्य तौर पर प्रक्षेपी विमानों के साथ काम करना अक्सर आसान होता है, इस संदर्भ में एफ़िन विमानों को प्राथमिकता दी जाती है और कई लेखकों ने ट्रांसलेशन प्लेन शब्द का उपयोग एफ़िन ट्रांसलेशन प्लेन के लिए किया है। एफाइन ट्रांसलेशन प्लेन का एक वैकल्पिक दृश्य निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: मान लीजिए V एक हो 2n-क्षेत्र के ऊपर आयामी सदिश स्थान (गणित) F. का प्रसार V एक समुच्चय है S का n-आयामी उप-स्थान V जो गैर-शून्य वैक्टर को विभाजित करता है V. के सदस्य S प्रसार के घटक कहलाते हैं और यदि V_i और V_j तब विशिष्ट घटक हैं V_i ⊕ V_j = V. होने देना A वह घटना संरचना हो जिसके बिंदु सदिश हैं V और जिनकी रेखाएँ घटकों के सहसमुच्चय हैं, अर्थात् प्रपत्र के समुच्चय हैं v + U कहाँ v का सदिश है V और U प्रसार का एक घटक है S. तब:

A एक सजातीय तल है और अनुवाद का समूह (ज्यामिति) x → x + w एक वेक्टर के लिए w इस विमान के बिंदुओं पर नियमित रूप से कार्य करने वाला एक ऑटोमोर्फिज़्म समूह है।

सामान्यीकरण: k-नेट्स

परिमित संबधित तल से अधिक व्यापक एक आपतन संरचना है a k-नेट ऑफ ऑर्डर n. इसमें शामिल है n² अंक और nk पंक्तियां जैसे कि:

• समांतरता (एफ़ाइन तलों में परिभाषित) रेखाओं के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है।
• हर पंक्ति में बिल्कुल है n अंक, और प्रत्येक समांतर वर्ग में है n रेखाएँ (इसलिए रेखाओं का प्रत्येक समानांतर वर्ग बिंदु सेट को विभाजित करता है)।
• वहाँ हैं k रेखाओं के समानांतर वर्ग। प्रत्येक बिंदु पर सटीक बैठता है k रेखाएँ, प्रत्येक समानांतर वर्ग से एक।

एक (n + 1)-नेट ऑफ ऑर्डर n ठीक क्रम का एक सजातीय तल है n.

ए k-नेट ऑफ ऑर्डर n के समुच्चय के बराबर है k − 2 क्रम के पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग n.

उदाहरण: अनुवाद जाल

एक मनमाना क्षेत्र के लिए F, होने देना Σ का एक सेट हो n-सदिश अंतरिक्ष के आयामी उप-स्थान F²ⁿ, जिनमें से कोई भी दो केवल {0} में प्रतिच्छेद करते हैं (आंशिक प्रसार कहा जाता है)। के सदस्य Σ, और उनके सहसमुच्चय अंदर F²ⁿ, के बिंदुओं पर एक अनुवाद जाल की रेखाएँ बनाएँ F²ⁿ. अगर |Σ| = k यह है एक k-नेट ऑफ ऑर्डर |Fⁿ|. एक एफ़िन अनुवाद विमान से शुरू होकर, समानांतर कक्षाओं का कोई भी सबसेट एक ट्रांसलेशन नेट बनाएगा।

एक ट्रांसलेशन नेट दिया गया है, एक एफ़िन प्लेन बनाने के लिए नेट में समानांतर कक्षाएं जोड़ना हमेशा संभव नहीं होता है। हालांकि, यदि F एक अनंत क्षेत्र है, कोई भी आंशिक प्रसार Σ से कम के साथ |F| सदस्यों को बढ़ाया जा सकता है और ट्रांसलेशन नेट को एफाइन ट्रांसलेशन प्लेन में पूरा किया जा सकता है।

ज्यामितीय कोड

किसी परिमित आपतन संरचना की रेखा/बिंदु आपतन मैट्रिक्स को देखते हुए, M, और कोई भी क्षेत्र (गणित), F की पंक्ति स्थान M ऊपर F एक रेखीय कोड है जिसे हम निरूपित कर सकते हैं C = C_F(M). एक अन्य संबंधित कोड जिसमें घटना संरचना के बारे में जानकारी होती है, वह हल है C जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Hull} (C)=C\cap C^{\perp },$

कहाँ C^⊥ ऑर्थोगोनल कोड है C.

सामान्यता के इस स्तर पर इन कोडों के बारे में बहुत कुछ नहीं कहा जा सकता है, लेकिन अगर घटना संरचना में कुछ नियमितता है तो इस तरह से निर्मित कोडों का विश्लेषण किया जा सकता है और कोड और घटना संरचनाओं के बारे में जानकारी एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती है। जब घटना संरचना एक परिमित संबंध विमान है, तो कोड ज्यामितीय कोड के रूप में जाने वाले कोड के एक वर्ग से संबंधित होते हैं। एफ़िन विमान के बारे में कोड में कितनी जानकारी होती है, यह क्षेत्र की पसंद पर निर्भर करता है। यदि फ़ील्ड की विशेषता (फ़ील्ड) विमान के क्रम को विभाजित नहीं करती है, तो उत्पन्न कोड पूर्ण स्थान होता है और इसमें कोई जानकारी नहीं होती है। वहीं दूसरी ओर, * अगर π क्रम का एक सजातीय तल है n और F विशेषता का क्षेत्र है p, कहाँ p विभाजित करता है n, फिर कोड का न्यूनतम वजन B = Hull(C_F(π))^⊥ है n और सभी न्यूनतम भार सदिश सदिशों के निरंतर गुणक हैं जिनकी प्रविष्टियाँ या तो शून्य या एक हैं।

आगे, * अगर π क्रम का एक सजातीय तल है p और F विशेषता का क्षेत्र है p, तब C = Hull(C_F(π))^⊥ और न्यूनतम वजन वाले वैक्टर सटीक रूप से (घटना वैक्टर) की रेखाओं के अदिश गुणक हैं π.

कब π = AG(2, q) उत्पन्न ज्यामितीय कोड है q-एरी रीड-मुलर कोड।

Affine रिक्त स्थान

एफ़िन रिक्त स्थान को प्रोजेक्टिव विमानों से एफ़िन विमानों के निर्माण के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। उच्च-आयामी एफ़िन रिक्त स्थान के लिए सिद्धांतों की एक प्रणाली प्रदान करना भी संभव है जो संबंधित प्रक्षेपण स्थान को संदर्भित नहीं करता है।

संदर्भ

• Assmus, E.F. Jr.; Key, J.D. (1992), Designs and their Codes, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and Polar Spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
• Hartshorne, R. (2000), Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0387986502
• Hughes, D.; Piper, F. (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Lenz, H. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik, Berlin: Deutscher Verlag d. Wiss.
• Moorhouse, Eric (2007), Incidence Geometry (PDF)

अग्रिम पठन

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• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer Verlag
• Kárteszi, F. (1976), Introduction to Finite Geometries, Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Lindner, Charles C.; Rodger, Christopher A. (1997), Design Theory, CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
• Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes, Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9