पॉलीसाइक्लिक समूह

गणित में, एक पॉलीसाइक्लिक समूह एक हल करने योग्य समूह है जो उपसमूह पर अधिकतम स्थिति को पूरा करता है (अर्थात, प्रत्येक उपसमूह अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है)। पॉलीसाइक्लिक समूह सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह हैं, जो उन्हें कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से रोचक बनाता है।

शब्दावली

समतुल्य रूप से, एक समूह G पॉलीसाइक्लिक है यदि और केवल यदि यह चक्रीय कारकों के साथ एक असामान्य श्रृंखला को स्वीकार करता है, जो उपसमूहों का एक सीमित समुह है, मान लें कि G₀, ..., G_n ऐसा है कि

• G_n G से मेल खाता है
• G₀ तुच्छ उपसमूह है
• G_i G_i+1का एक सामान्य उपसमूह है (0 और n - 1 के बीच प्रत्येक i के लिए)
• और भागफल समूह G_i+1 / G_i एक चक्रीय समूह है (0 और n - 1 के बीच प्रत्येक i के लिए)

एक मेटासाइक्लिक समूह n ≤ 2 वाला एक पॉलीसाइक्लिक समूह है, या दूसरे शब्दों में चक्रीय समूह द्वारा चक्रीय समूह का एक समूह विस्तार है।

उदाहरण

पॉलीसाइक्लिक समूहों के उदाहरणों में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह, सूक्ष्म रूप से उत्पन्न निलपोटेंट समूह समूह और परिमित सॉल्व करने योग्य समूह सम्मिलित हैं। अनातोली माल्टसेव ने सिद्ध किया कि पूर्णांक सामान्य रैखिक समूह के हल करने योग्य उपसमूह पॉलीसाइक्लिक हैं; और बाद में लुइस ऑसलैंडर (1967) और स्वान ने इसके विपरीत सिद्ध किया, कि कोई भी पॉलीसाइक्लिक समूह समरूपता तक पूर्णांक मैट्रिसेस का एक समूह है। पॉलीसाइक्लिक समूह का होलोमॉर्फ (गणित) भी पूर्णांक मैट्रिसेस का एक समूह है।

जोरदार पॉलीसाइक्लिक समूह

एक बहुचक्रीय समूह G को 'दृढ़ता से बहुचक्रीय' कहा जाता है यदि प्रत्येक भागफल G_i+1 / G_i अनंत है। प्रबल पॉलीसाइक्लिक समूह का कोई भी उपसमूह दृढ़ता से पॉलीसाइक्लिक होता है।

पॉलीसाइक्लिक-बाय-फिनिट समूह

वस्तुतः पॉलीसाइक्लिक समूह एक ऐसा समूह है जिसमें परिमित सूचकांक (समूह सिद्धांत) का पॉलीसाइक्लिक उपसमूह होता है, जो वस्तुतः संपत्ति का एक उदाहरण है। इस तरह के समूह में आवश्यक रूप से परिमित सूचकांक का एक सामान्य पॉलीसाइक्लिक उपसमूह होता है, और इसलिए ऐसे समूहों को पॉलीसाइक्लिक-बाय-फिनिट समूह भी कहा जाता है। यद्यपि पॉलीसाइक्लिक-बाय-फिनिट समूहों को हल करने योग्य नहीं होना चाहिए, फिर भी उनके पास पॉलीसाइक्लिक समूहों के कई परिमित गुण हैं; उदाहरण के लिए वे अधिकतम स्थिति को संतुष्ट करते हैं, और वे सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत और अवशिष्ट परिमित समूह हैं।

पाठ्यपुस्तक में (स्कॉट 1964, Ch 7.1) और कुछ कागजात M-समूह को संदर्भित करता है जिसे अब पॉलीसाइक्लिक-समूह विस्तार -फिनिट समूह कहा जाता है, जिसे हिर्श के प्रमेय द्वारा एक समूह के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक कारक के साथ परिमित समूह या अनंत चक्रीय समूह के साथ एक परिमित लंबाई उप-श्रृंखला होती है।

ये समूह विशेष रूप से रोचक हैं क्योंकि वे नोथेरियन रिंग समूह की रिंग (इवानोव 1989), या परिमित इंजेक्शन आयाम के समूह के रिंग के एकमात्र ज्ञात उदाहरण हैं।

हिर्श की लंबाई

पॉलीसाइक्लिक समूह 'G' की हिर्श लंबाई या हिर्श संख्या इसकी उपसामान्य श्रृंखला में अनंत कारकों की संख्या है।

यदि G एक पॉलीसाइक्लिक-बाय-फिनिट समूह है, तो G की हिर्श लंबाई G के पॉलीसाइक्लिक सामान्य उपसमूह H की हिर्श लंबाई है, जहां H में G में समूह का परिमित सूचकांक है। यह उपसमूह की पसंद से स्वतंत्र है, क्योंकि ऐसे सभी उपसमूहों की समान हिर्श लंबाई होगी।

यह भी देखें

• समूह सिद्धांत
• सुपरसॉल्वेबल ग्रुप

संदर्भ

• Ivanov, S. V. (1989), "Group rings of Noetherian groups", Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki, 46 (6): 61–66, ISSN 0025-567X, MR 1051052
• Scott, W.R. (1987), Group Theory, New York: Dover Publications, pp. 45–46, ISBN 978-0-486-65377-8

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