मौलिक प्रतिनिधित्व

लाई समूहों और लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, एक मौलिक प्रतिनिधित्व एक अविभाज्य सीमित आयामी प्रतिनिधित्व होता है जिसका उच्चतम वजन मौलिक वजन है। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय लाई समूह का परिभाषित मॉड्यूल मौलिक प्रतिनिधित्व है। किसी भी सीमित आयामी अविभाज्य प्रतिनिधित्व को एली कार्टन की एक प्रक्रिया द्वारा मौलिक प्रतिनिधित्वों से निर्मित किया जा सकता है। इसलिए एक निश्चित दृष्टिकोण से अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व प्रतिनिधित्व विभिन्न सीमित आयामी प्रतिनिधित्वों के लिए आवश्यकमूली निर्माण ईंधन होते हैं।

उदाहरण

• सामान्य रैखिक समूह के स्थितियों में, सभी मौलिक प्रतिनिधित्व परिभाषित मॉड्यूल के बाहरी उत्पाद हैं।
• विशेष एकात्मक समूह SU(n) के स्थितियों में, n − मूल निरूपण वेज उत्पाद हैं $\operatorname {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}$ k = 1, 2, ..., n − 1 के लिए वैकल्पिक टेन्सर से मिलकर बनता है।
• विषम ऑर्थोगोनल समूह के द्विगुणा आवरण के ट्वोफोल्ड कवर के स्पिन प्रतिनिधित्व, विषम स्पिन समूह और समतल ऑर्थोगोनल समूह के द्विगुणा आवरण के दो हाफ-स्पिन प्रतिनिधित्व मौलिक प्रतिनिधित्व होते हैं जो टेंसर स्पेस में प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।
• प्रकार E₈ (गणित) के सरल लाई समूह के एक लाई समूह का आसन्न प्रतिनिधित्व | एक मौलिक प्रतिनिधित्व है।

स्पष्टीकरण

सरलता से जुड़े कॉम्पैक्ट समूह लाई समूह के अविभाज्य प्रतिनिधित्व को उनके उच्चतम वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। ये वजन लाइ ग्रुप के वजन जाल में एक उत्कृष्ट अंकीय वजनों से बनी ओर्थांट Q+ में श्रृंखला बिंदुओं के रूप में होते हैं। इसे सिद्ध किया जा सकता है कि डायनकिन आरेख के शीर्षों द्वारा अनुक्रमित मूलभूत भारों का सेट सम्मलित है, जैसे कि कोई भी प्रमुख अभिन्न भार मौलिक भारों का एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन है। इनके अनुरूप अविभाज्य प्रतिनिधियां, लाइ समूह के मूलभूत प्रतिनिधित्व होती हैं। एक अधिकतम वजन के मूलभूत वजनों के तत्वरूप के विस्तार से, हम मूलभूत प्रतिनिधित्व का एक संबंधित टेंसर उत्पाद ले सकते हैं और उस अधिकतम वजन के अनुसार अविभाज्य प्रतिनिधि की एक प्रतिलिपि निकाल सकते हैं।

अन्य उपयोग

लाइ सिद्धांत के बाहर, मौलिक प्रतिनिधित्व शब्द कभी-कभी एक सबसे छोटी आकारदार वफादार प्रतिनिधित्व को संदर्भित करने के लिए ढीले रूप से उपयोग किया जाता है, हालांकि इसे अक्सर मानक या परिभाषित प्रतिनिधित्व के रूप में भी कहा जाता है (जो इतिहास के अधिक रूप से होता है, न कि अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय अर्थ होता है।)

संदर्भ

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.

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