हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी

यूक्लिडियन ओर्थोगोनालिटी को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; हाइपरबोला (बी) के संबंध में हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी सही आरेख में अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन द्वारा संरक्षित है

ज्यामिति में, हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख द्वारा भिन्न की गई दो रेखाओं के मध्य हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी संबंध की अवधारणा है जिसका उपयोग विशेष सापेक्षता के साथ होने वाली घटनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। दो घटनाएं होंगी जब वे किसी विशेष समय रेखा के लिए अतिशयोक्ति पूर्ण रूप से ऑर्थोगोनल रेखा पर हों। निश्चित समय रेखा पर निर्भरता वेग द्वारा निर्धारित होती है, और सापेक्षता का आधार है।

ज्यामिति

दो रेखाएँ हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल होती हैं जब वे किसी दिए गए हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख पर एक दूसरे का प्रतिबिंब (गणित) होती हैं। विमान में दो विशेष हाइपरबोलस अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं:

1. xy = 1 with y = 0 as asymptote.

   When reflected in the x-axis, a line y = mx becomes y = −mx.

   In this case the lines are hyperbolic orthogonal if their slopes are additive inverses.
2. x² − y² = 1 with y = x as asymptote. For lines y = mx with −1 < m < 1, when x = 1/m, then y = 1. The point (1/m , 1) on the line is reflected across y = x to (1, 1/m). Therefore the reflected line has slope 1/m and the slopes of hyperbolic orthogonal lines are reciprocals of each other.

हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध वास्तव में विमान में समांतर रेखाओं के वर्गों पर प्रारम्भ होता है, जहां कोई विशेष रेखा वर्ग का प्रतिनिधित्व कर सकती है। इस प्रकार, दिए गए हाइपरबोला और एसिम्प्टोट A के लिए, लाइनों की जोड़ी (a, b) हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनल होती है यदि कोई जोड़ी (c, d) होती है $a\rVert c,\ b\rVert d$, और c, A में d का प्रतिबिंब है।

स्पर्शरेखा के लिए वृत्त त्रिज्या की लंबवतता के समान, हाइपरबोला के लिए त्रिज्या हाइपरबोला के स्पर्शरेखा के लिए हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में ऑर्थोगोनलिटी का वर्णन करने के लिए बिलिनियर रूप का उपयोग किया जाता है, जिसमें दो तत्व ऑर्थोगोनल होते हैं जब उनका बिलिनियर रूप विलुप्त हो जाता है। जटिल संख्याओं के तल में $z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy$, द्विरेखीय रूप है $xu+yv$, जबकि हाइपरबोलिक संख्याओं के तल में $w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,$का द्विरेखीय रूप $xu-yv$ है।

वैक्टर z₁और z₂ सम्मिश्र संख्या तल में, w₁ और w₂ अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या तल में क्रमशः यूक्लिडियन ऑर्थोगोनल या हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके संबंधित आंतरिक उत्पाद [बिलिनियर रूप] शून्य हैं।

द्विरेखीय रूप की गणना संख्या के जटिल उत्पाद के वास्तविक भाग के रूप में दूसरे के संयुग्म के साथ की जा सकती है।

$z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0$ जटिल विमान में लंबवतता पर होता है, जबकि

$w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0$ तात्पर्य यह है कि w हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल हैं।

हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी की धारणा विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस के संयुग्मित व्यास के विचार में उत्पन्न हुई। यदि g और g' संयुग्मित व्यासों के ढालों को निरूपित करते हैं, तब $gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ दीर्घवृत्त के स्थिति में और $gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ हाइपरबोला के स्थिति में हैं। जब a = b दीर्घवृत्त वृत्त होता है और संयुग्मित व्यास लंबवत होते हैं जबकि हाइपरबोला आयताकार होता है और संयुग्मित व्यास हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल होते हैं।

प्रक्षेपी ज्यामिति की शब्दावली में, हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल लाइन लेने का ऑपरेशन इनवोल्यूशन (गणित) है। मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर रेखा के ढलान को ∞ चिह्नित किया गया है ताकि सभी रेखाओं में प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा में ढलान हो। जो भी हाइपरबोला (A) या (B) का उपयोग किया जाता है, ऑपरेशन हाइपरबॉलिक इनवोल्यूशन का उदाहरण है जहां स्पर्शोन्मुख अपरिवर्तनीय है। हाइपरबॉलिक रूप से ऑर्थोगोनल लाइनें विमान के विभिन्न क्षेत्रों में होती हैं, जो हाइपरबोला के एसिम्पटोट्स द्वारा निर्धारित होती हैं, इस प्रकार हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध विमान में लाइनों के समूह पर विषम संबंध है।

समकालिकता

1908 में अंतरिक्ष समय अध्ययन के लिए हरमन मिन्कोव्स्की की नींव के बाद से, स्पेसटाइम प्लेन में बिंदुओं की अवधारणा हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल टू ए टाइमलाइन (विश्व रेखा के लिए स्पर्शरेखा) का उपयोग समयरेखा के सापेक्ष घटनाओं की साथता, की सापेक्षता को परिभाषित करने के लिए किया गया है। मिन्कोव्स्की के विकास में उपरोक्त प्रकार (B) का हाइपरबोला उपयोग में है। दो सदिश (x₁, y₁, z₁, t₁) और (x₂, y₂, z₂, t₂) सामान्य हैं (अर्थात् हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल) जब

$c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.$

जब c = 1 और y और z शून्य हैं, x1 ≠ 0, t2 ≠ 0, तब, x₁ ≠ 0, t₂ ≠ 0, तब ${\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}$.

स्पर्शोन्मुख A के साथ हाइपरबोला दिया गया है, A में इसका प्रतिबिंब संयुग्मित हाइपरबोला उत्पन्न करता है। मूल हाइपरबोला का कोई भी व्यास संयुग्मित व्यास में परिलक्षित होता है। संयुग्मित व्यास द्वारा इंगित दिशाएँ सापेक्षता में अंतरिक्ष और समय अक्षों के लिए ली जाती हैं। जैसा कि ई टी व्हिटेकर ने 1910 में लिखा था, हाइपरबोला अपरिवर्तित है जब संयुग्मित व्यास की किसी भी जोड़ी को नव्य अक्षों के रूप में लिया जाता है, और लंबाई की नव्य इकाई को इनमें से किसी भी व्यास की लंबाई के अनुपात में लिया जाता है। सापेक्षता के इस सिद्धांत पर, उन्होंने तब लोरेंत्ज़ परिवर्तन को आधुनिक रूप में तीव्रता से उपयोग करते हुए लिखा जाता है।

एडविन बिडवेल विल्सन और गिल्बर्ट एन. लुईस ने 1912 में सिंथेटिक ज्यामिति के भीतर अवधारणा विकसित की है। उन्होंने ध्यान दिया कि हमारे विमान में लंबवत [हाइपरबॉलिक-ऑर्थोगोनल] रेखाओं की कोई जोड़ी किसी भी अन्य जोड़ी की समानता में समन्वय अक्ष के रूप में कार्य करने के लिए श्रेष्ठ नहीं है।

संदर्भ

• G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, pages 62,3, Harvard University Press.
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel. See page 38, Pseudo-orthogonality.
• Robert Goldblatt (1987) Orthogonality and Spacetime Geometry, chapter 1: A Trip on Einstein's Train, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X MR0888161
• J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.