जैकबियन किस्म

गणित में, जीनस (गणित) g के गैर-एकवचन बीजगणितीय वक्र C की जेकोबियन प्रकार J(C) डिग्री 0 लाइन बंडलों का मोडुली स्पेस है। यह 'C' के पिकार्ड समूह में पहचान का जुड़ा हुआ घटक है, इसलिए एबेलियन प्रकार है।

परिचय

जैकबियन प्रकार का नाम कार्ल गुस्ताव जैकोबी के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने एबेल-जैकोबी प्रमेय के पूर्ण संस्करण को साबित कर दिया, जिससे नील्स एबेल के इंजेक्शन स्टेटमेंट को एक समरूपता में बदल दिया गया। यह मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन प्रकार है, जिसका आयाम जी है, और इसलिए, जटिल संख्याओं पर, यह एक जटिल टोरस है। यदि p, C का एक बिंदु है, तो वक्र C को J की पहचान के लिए दिए गए बिंदु p मानचित्रण के साथ J की एक उप-विविधता में मैप किया जा सकता है, और C एक समूह (गणित) के रूप में J उत्पन्न करता है।

जटिल वक्रों के लिए निर्माण

जटिल संख्याओं पर, जेकोबियन प्रकार को भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) V/L के रूप में महसूस किया जा सकता है, जहाँ V, C पर सभी वैश्विक होलोमोर्फिक अंतरों के सदिश स्थान का दोहरा है और L सभी तत्वों का जाली (समूह) है फॉर्म का वी

$[\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$

जहां γ सी में एक बंद पथ (टोपोलॉजी) है। दूसरे शब्दों में,

$J(C)=H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}/H_{1}(C),$

साथ $H_{1}(C)$ में स्थापित $H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}$ उपरोक्त मानचित्र के माध्यम से। यह स्पष्ट रूप से थीटा कार्यों के प्रयोग से किया जा सकता है। एक मनमाना क्षेत्र पर एक वक्र के जैकोबियन द्वारा निर्मित किया गया था Weil (1948) एक परिमित क्षेत्र पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना के अपने प्रमाण के भाग के रूप में।

एबेल-जैकोबी प्रमेय कहता है कि इस प्रकार निर्मित टोरस एक प्रकार है, एक वक्र का शास्त्रीय जैकोबियन, जो वास्तव में डिग्री 0 लाइन बंडलों को पैरामीट्रिज करता है, अर्थात, इसे डिग्री 0 भाजक मॉडुलो रैखिक तुल्यता की अपनी पिकार्ड विविधता के साथ पहचाना जा सकता है।

बीजगणितीय संरचना

एक समूह के रूप में, एक वक्र की जैकोबियन विविधता प्रमुख विभाजकों के उपसमूह, यानी तर्कसंगत कार्यों के विभाजकों द्वारा डिग्री शून्य के विभाजकों के समूह के भागफल के लिए समरूप है। यह उन क्षेत्रों के लिए लागू होता है जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं होते हैं, बशर्ते कि उस क्षेत्र में परिभाषित विभाजक और कार्यों पर विचार किया जाए।

आगे के विचार

टोरेली के प्रमेय में कहा गया है कि एक जटिल वक्र उसके जैकबियन (इसके ध्रुवीकरण के साथ) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

शोट्की समस्या पूछती है कि मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन प्रकारें कर्व्स के जैकबियन हैं।

पिकार्ड प्रकार, अल्बनीज प्रकार, सामान्यीकृत जैकबियन और मध्यवर्ती जैकबियन उच्च-आयामी प्रकारों के लिए जैकबियन के सामान्यीकरण हैं। उच्च आयाम की प्रकारों के लिए होलोमोर्फिक 1-रूपों के स्थान के भागफल के रूप में जैकोबियन प्रकार का निर्माण अल्बनीज प्रकार देने के लिए सामान्य करता है, लेकिन सामान्य तौर पर यह पिकार्ड प्रकार के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होना चाहिए।

यह भी देखें

• अवधि आव्यूह - आवर्त आव्यूह एक वक्र के जैकबियन की गणना के लिए एक उपयोगी तकनीक है
• हॉज संरचना - ये जैकोबियंस के सामान्यीकरण हैं
• होंडा-टेट प्रमेय - एबेलियन प्रकारों को परिमित क्षेत्रों में आइसोजेनी तक वर्गीकृत करता है
• इंटरमीडिएट जैकबियन

संदर्भ

संगणना तकनीक

• हाइपरेलिप्टिक वक्रों की अवधि मैट्रिक्स
• एबेलियंट्स और जैकबियन के प्रारंभिक निर्माण के लिए उनका अनुप्रयोग - जैकबियन के निर्माण की तकनीकें

आइसोजेनी वर्ग

• आर्क्सिव:गणित/0304471
• जैकोबियन के लिए एबेलियन प्रकारें आइसोजेनस
• एबेलियन प्रकारें आइसोजेनस टू नो जेकोबियन

क्रिप्टोग्राफी

• arxiv:1807.05270|वक्र, जेकोबियन और क्रिप्टोग्राफी

सामान्य

• P. Griffiths; J. Harris (1994), Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience, pp. 333–363, ISBN 0-471-05059-8
• Jacobi, C.G.J. (1832). "एबेलियन ट्रान्सेंडैंटल्स पर सामान्य विचार". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). 1832 (9): 394–403. doi:10.1515/crll.1832.9.394. S2CID 120125760.
• Jacobi, C.G.J. (1835), "De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis, quibus theoria transcendentium abelianarum innititur", J. Reine Angew. Math., 13: 55–78
• J.S. Milne (1986), "Jacobian Varieties", Arithmetic Geometry, New York: Springer-Verlag, pp. 167–212, ISBN 0-387-96311-1
• Mumford, David (1975), Curves and their Jacobians, The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich., MR 0419430
• Shokurov, V.V. (2001) [1994], "Jacobi variety", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weil, André (1948), Variétés abéliennes et courbes algébriques, Paris: Hermann, MR 0029522, OCLC 826112
• Hartshorne, Robin (19 December 1977), Algebraic Geometry, New York: Springer, ISBN 0-387-90244-9

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