ओपन मैपिंग प्रमेय (सम्मिश्र विश्लेषण)

जटिल विश्लेषण में, विवृत मैपिंग प्रमेय बताता है कि यदि 'U' जटिल समतल c और 'f' का डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है | 'U' → c गैर-निरंतर होलोमॉर्फिक फलन है | तब f विवृत मानचित्र है (अर्थात यह 'U के विवृत उपसमुच्चय को C के उपसमुच्चय को खोलने के लिए भेजता है, और हमारे पास डोमेन का आक्रमण है।)।

विवृत मैपिंग प्रमेय होलोमॉर्फी और वास्तविक-भिन्नता के बीच तेज अंतर की ओर संकेत करता है। वास्तविक रेखा पर, उदाहरण के लिए, अवकलनीय फलन f(x) = x² विवृत मैपिंग नहीं है | क्योंकि विवृत अंतराल (-1, 1) की छवि अर्ध-विवृत अंतराल [0, 1) है।

उदाहरण के लिए प्रमेय का तात्पर्य है कि गैर-निरंतर होलोमोर्फिक फलन जटिल समतल में एम्बेडेड किसी भी रेखा के भाग पर विवृत डिस्क को मैप नहीं कर सकता। होलोमॉर्फिक कार्यों की छवियां वास्तविक आयाम शून्य (यदि स्थिर) या दो (यदि गैर-स्थिर हैं) हो सकती हैं | किन्तु कभी भी आयाम 1 की नहीं हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए प्रमेय का तात्पर्य है कि गैर-निरंतर होलोमोर्फिक फलन जटिल समतल में एम्बेडेड किसी भी रेखा के भाग पर विवृत डिस्क को मैप नहीं कर सकता। होलोमॉर्फिक कार्यों की छवियां वास्तविक आयाम शून्य (यदि स्थिर) या दो (यदि गैर-स्थिर हैं) हो सकती हैं | किन्तु कभी भी आयाम 1 की नहीं हो सकती हैं।

प्रमाण

ब्लैक डॉट्स g (z) के शून्य का प्रतिनिधित्व करते हैं। काला वलय ध्रुवों का प्रतिनिधित्व करता है। विवृत समुच्चय U की सीमा धराशायी रेखा द्वारा दी गई है। ध्यान दें कि सभी पोल विवृत समुच्चय के बाहर हैं। छोटी लाल डिस्क B है, जो z पर केंद्रित है₀.

मान लीजिए f: U → 'C' गैर-स्थिर होलोमॉर्फिक फलन है और U जटिल तल का डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है। हमें यह दिखाना होगा कि f(U) में प्रत्येक बिंदु (ज्यामिति) f(U) का आंतरिक बिंदु है, अर्थात f(U) में प्रत्येक बिंदु का निकट (विवृत डिस्क) है | जो f(U) में भी है।

f(U) में स्वेच्छ w₀ पर विचार करें। तब U में बिंदु z₀ का अस्तित्व इस प्रकार है कि w₀ = f(z₀). चूँकि U विवृत है, हम d > 0 पा सकते हैं | जैसे कि त्रिज्या d के साथ z₀ के चारों ओर बंद डिस्क B पूरी तरह से U में संलग्न है। फलन g(z) = f(z)−w₀ पर विचार करें। ध्यान दें कि z₀ फलन का मूल है।

हम जानते हैं कि g(z) अस्थिर और होलोमॉर्फिक है। g की जड़ों को पहचान प्रमेय द्वारा अलग किया जाता है, और छवि डिस्क d के त्रिज्या को और कम करके, हम आश्वस्त कर सकते हैं कि g (z) में b में केवल एक जड़ है | (चूँकि इस एकल जड़ में 1 से अधिक बहुलता हो सकती है) |

b की सीमा चक्र है और इसलिए कॉम्पैक्ट समुच्चय है, जिस पर |g(z), इसलिए चरम मूल्य प्रमेय सकारात्मक न्यूनतम e के अस्तित्व की गारंटी देता है | अर्थात e न्यूनतम है |g(z)| z के लिए B और e > 0 की सीमा पर।

त्रिज्या e के साथ w₀ के चारों ओर विवृत डिस्क को D से निरूपित करें। रूचे के प्रमेय के अनुसार फ़ंक्शन g(z) = f(z)−w₀ में B में समान संख्या में जड़ें (बहुलता के साथ गिने गए) होंगे h(z):=f(z)−w₁ डी में किसी भी w₁ के लिए। यह क्योंकि h(z) = g(z) + (w₀ - w₁), और z के लिए B |g(z)| ≥ e > |w₀ - w₁|. इस प्रकार D में प्रत्येक w₁ के लिए B में कम से कम z₁ उपस्थित है | जैसे कि f(z₁) = w₁ इसका कारण है कि डिस्क d f (b) में समाहित है।

गेंद B, f(B) की छवि U, f(U) की छवि का उपसमुच्चय है। इस प्रकार w₀ f(U) का आंतरिक बिंदु है। चूँकि f(U) में w₀ यादृच्छिक था, हम जानते हैं कि f(U) विवृत है। चूँकि U यादृच्छिक था फलन f विवृत है।

अनुप्रयोग

• अधिकतम मापांक सिद्धांत
• रूचे की प्रमेय
• श्वार्ज़ लेम्मा

यह भी देखें

• विवृत मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)

संदर्भ

• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1