विशेषण संख्या

विशेषण संख्या एक ऐसी अंक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों को अंकों की परिमित स्ट्रिंग (गणित) का उपयोग करके पूर्णतः दर्शाया जा सकता है। यह नाम उस आपेक्षता (अर्थात समानता) को संदर्भित करता है जो इस स्थिति में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय और प्रतीकों के परिमित समुच्चय ("अंक") का उपयोग करके परिमित स्ट्रिंग के समुच्चय के बीच सम्मिलित है।

अधिकांश सामान्य अंक प्रणाली जैसे कि सामान्य दशमलव प्रणाली, द्विभाजित नहीं होती हैं क्योंकि अंकों की एक से अधिक स्ट्रिंग एक ही धनात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। विशेष रूप से प्रथम शून्य जोड़ने से प्रतिनिधित्व मान नहीं परिवर्तित होता है। इसलिए "1", "01" और "001" सभी संख्याओ का प्रतिनिधित्व करते हैं। यद्यपि केवल पहला सामान्य है तथ्य यह है कि अन्य संभव हैं इसका तात्पर्य है कि दशमलव प्रणाली द्विभाजित नहीं है। हालाँकि केवल एक अंक वाली यूनरी अंक प्रणाली द्विभाजित है।

द्विभाजित मूलांक k संख्या एक द्विभाजित स्थितिगत संकेतन है। यह प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को एन्कोड करने के लिए समुच्चय {1, 2, ..., k} जहाँ k ≥ 1 से अंकों की एक स्ट्रिंग का उपयोग करता है। स्ट्रिंग में एक अंक की स्थिति इसके मान को k की घात के गुणक के रूप में परिभाषित करती है। इस संकेतन को k-एडिक कहते हैं, लेकिन इसे P एडिक संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है। द्विभाजित अंक गैर-शून्य अंकों के परिमित स्ट्रिंग द्वारा साधारण पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रणाली है जबकि P एडिक संख्याओं की एक प्रणाली हैं। जिनमें गणितीय मान पूर्णांक के एक उपसमुच्चय के रूप में होते हैं और किसी भी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में अंकों के अनंत अनुक्रम की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा

आधार K द्विभाजित संख्या प्रणाली अंक समुच्चय {1, 2, ..., k} (k ≥ 1) के प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करते है। जो इस प्रकार है:

• पूर्णांक शून्य को रिक्त स्ट्रिंग a_na_n−1 ... a₁a₀ द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक गैर-रिक्त अंक-स्ट्रिंग a_n kⁿ + a_n−1 kⁿ⁻¹ + ... + a₁ k¹ + a₀ k⁰ द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक m> 0 का प्रतिनिधित्व करने वाला अंक-स्ट्रिंग a_na_n−1 ... a₁a₀ है।

जहाँ,

${\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}$

और

$f(x)=\lceil x\rceil -1,$

$\lceil x\rceil$ मे कम से कम पूर्णांक x (अन्तिम सीमा फलन) से कम नहीं है।

इसके विपरीत मानक स्थितीय संकेतन को एक समान पुनरावर्ती कलनविधि के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

जहां,

$f(x)=\lfloor x\rfloor ,$

पूर्णांकों तक विस्तार

आधार $k>1$ के लिए द्विभाजित आधार $k$ संख्या प्रणाली को ऋणात्मक पूर्णांक तक बढ़ाया जा सकता है। उसी प्रकार मानक आधार के रूप में $b$ अंकों की अनंत संख्या का उपयोग करके अंक प्रणाली $d_{k-1}$, जहाँ $f(d_{k-1})=k-1$, अंकों के बाएं अनंत अनुक्रम $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ के रूप में दर्शाया गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यूलर योग निम्न है:

$g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1$

जिसका तात्पर्य है कि

$g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0$

प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए $n$ द्विभाजित अंक प्रतिनिधित्व के साथ $d$ द्वारा ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$ दर्शाया गया है। आधार $k>2$,के लिए ऋणात्मक संख्या $n<-1$ द्वारा ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ और $i<k-1$ के साथ प्रतिनिधित्व किया जाता है। जबकि आधार $k=2$ के लिए ऋणात्मक संख्या $n<-1$ द्वारा ${\overline {d_{k}}}d$ का प्रतिनिधित्व किया जाता है। यह संकेत अंक प्रणाली अभ्यावेदन, सभी पूर्णांकों के समान है। $n$ अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ $d$ के रूप में ${\overline {d_{0}}}d$ दर्शाए गए हैं। जहाँ $f(d_{0})=0$ यह प्रतिनिधित्व अब द्विभाजित नहीं है क्योंकि अंकों के बाएं अनंत अनुक्रमों के पूरे समुच्चय का उपयोग P-एडिक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। $k$-एडिक पूर्णांक जिनमें से पूर्णांक केवल एक उपसमुच्चय हैं।

द्विभाजित आधार-K अंकों के गुण

किसी दिए गए आधार $k\geq 2$ के लिए,

• गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का प्रतिनिधित्व करने वाले द्विभाजित आधार-k अंक में n अंकों की संख्या $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ है। इसके विपरीत साधारण $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ आधार k अंकों के लिए k = 1 मे यूनरी अंकों की संख्या n है।
• सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक लंबाई के एक द्विभाजित आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $\ell \geq 0$ है:

  $\mathrm {min} (\ell )={\frac {k^{\ell }-1}{k-1}}$

• सबसे बड़ा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक लंबाई के एक द्विभाजित आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $\ell \geq 0$ है:

  $\mathrm {max} (\ell )={\frac {k^{\ell +1}-k}{k-1}}$ के बराबर $\mathrm {max} (\ell )=k\times \mathrm {min} (\ell )$ या $\mathrm {max} (\ell )=\mathrm {min} (\ell +1)-1$

• एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए द्विभाजित आधार k और साधारण आधार k के अंक समान हैं। यदि और केवल यदि साधारण अंक में अंक 0 नहीं है या समतुल्य रूप से द्विभाजित अंक न तो रिक्त स्ट्रिंग है और न ही अंक k है।

किसी दिए गए आधार $k\geq 1$ के लिए,

• बिल्कुल हैं $k^{\ell }$ द्विभाजित आधार-k लंबाई के अंक $\ell \geq 0$;
• प्रायः $k^{\ell }$ लंबाई के द्विभाजित आधार k के लिए अंक $\ell \geq 0$ हैं।
• द्विभाजित आधार-k अंकों की एक सूची के प्रतिनिधित्व किए गए पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम में स्वचालित रूप से लघु अनुक्रम के रूप मे होते है। सबसे छोटा अनुक्रम प्रत्येक लंबाई के भीतर कोशक्रमानुसार है। इस प्रकार रिक्त स्ट्रिंग को निरूपित करने के लिए λ का उपयोग करते हुए, आधार 1, 2, 3, 8, 10, 12 और 16 अंक निम्नानुसार हैं। जहां सामान्य प्रतिनिधित्व तुलना के लिए सूचीबद्ध हैं:

द्विभाजित मूल 1:	λ	1	11	111	1111	11111	111111	1111111	11111111	111111111	1111111111	11111111111	111111111111	1111111111111	11111111111111	111111111111111	1111111111111111	...	(unary numeral system)
द्विभाजित मूल 2:	λ	1	2	11	12	21	22	111	112	121	122	211	212	221	222	1111	1112	...
binary:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	...
द्विभाजित मूल 3:	λ	1	2	3	11	12	13	21	22	23	31	32	33	111	112	113	121	...
ternary:	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	...
द्विभाजित मूल 8:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	11	12	13	14	15	16	17	18	...
ऑक्टल:	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20	...
द्विभाजित मूल 10:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	11	12	13	14	15	16	...
डेसीमल:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
द्विभाजित मूल 12:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	11	12	13	14	...
डुओडेसिमल:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14	...
द्विभाजित मूल 16:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	...
हेक्साडेसिमल:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	...

उदाहरण

• 34152 द्विभाजित आधार 5 में 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427 दशमलव मे है।
• 119A द्विभाजित आधार -10 में "A" के साथ अंक मान दस 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200 (दशमलव में) का प्रतिनिधित्व करता है।
• A, B, C...X, Y, Z, AA, AB, AC...ZX, ZY, ZZ, AAA, AAB, AAC के क्रम का उपयोग करते हुए 26 से अधिक तत्वों वाली एक विशिष्ट वर्णमाला सूची द्विभाजित है।

द्विभाजित आधार-10 प्रणाली

द्विभाजित आधार-10 प्रणाली आधार 10 स्थितीय अंक प्रणाली है जो शून्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंक का उपयोग नहीं करती है। इसके अतिरिक्त इसमें A जैसे 10 अंक का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंक हैं।

पारस्परिक दशमलव के साथ प्रत्येक अंक की स्थिति 10 की घात का प्रतिनिधित्व करती है। इसलिए उदाहरण के लिए 123 "एक सौ + 2 दहाई + 3 इकाई है। पारंपरिक दशमलव (जैसे 123) में गैर-शून्य अंकों के साथ पूरी तरह से प्रदर्शित होने वाले सभी धनात्मक पूर्णांक शून्य के बिना दशमलव में समान प्रतिनिधित्व करते हैं। जो शून्य का उपयोग करते हैं उन्हें फिर से लिखा जाना चाहिए, इसलिए उदाहरण के लिए 10 A बन जाता है। पारंपरिक 20 1A बन जाता है, 100 9A बन जाता है, 101 A1 बन जाता है, 302 2A2 बन जाता है, 1000 99A बन जाता है, 1110 AAA बन जाता है, 2010 19AA बन जाता है। और इसी प्रकार शून्य के बिना दशमलव में जोड़ और गुणा अनिवार्य रूप से पारंपरिक दशमलव के समान ही होते हैं। इसके अतिरिक्त कि वह तब होता है जब कोई स्थिति दस से अधिक हो जाती है। इसके लिए वह नौ से अधिक हो तो 643 + 759 की गणना करने के लिए 12 इकाइयाँ हैं। दाईं ओर 2 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ जिसमे दस दहाई है। A को सैकड़ों तक ले जाने की आवश्यकता नहीं है। 1300 मे 3 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ और 1000 को 1 लिखें इसी प्रकार 1402 को 13A2 लिख सकते है।

द्विभाजित आधार-26 प्रणाली

द्विभाजित आधार-26 प्रणाली में 26 अंकों के मान 1 से 26 तक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए लैटिन वर्णमाला के अक्षर A से Z (A=1, B=2, C=3, ..., Z=26) तक का उपयोग किया जा सकता है। इन संख्याओ के इस विकल्प के साथ संख्या क्रम (1 से प्रारम्भ) A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB तक होता है।

प्रत्येक अंक की स्थिति 26 की घात का प्रतिनिधित्व करती है इसलिए उदाहरण के लिए अंक ABC का मान 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731 को आधार 10 में दर्शाता है।

माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल सहित कई स्प्रैडशीट A, B, C, ..., Z, AA, AB, ..., AZ, BA, ..., ZZ, AAA से प्रारम्भ करते हुए स्प्रेडशीट के कॉलम (स्तम्भ) में वर्गीकरण को चिन्हित करने के लिए इस प्रणाली का उपयोग करती हैं। उदाहरण के लिए एक्सेल 2013 में A से XFD तक वर्गीकृत किए गए 16384 स्तम्भ (बाइनरी कोड में 214) तक हो सकते हैं। इस प्रणाली मे एक प्रकार के स्टार (*) नामक वेरिएबल का प्रयोग किया जाता है। इसे किसी भी समस्या पर प्रयुक्त किया जा सकता है। जहां कम से कम संभव स्ट्रिंग का उपयोग करते हुए अक्षरों का व्यवस्थित नामकरण वांछित होता है।

ऐतिहासिक टिप्पणियाँ

ऐतिहासिक तथ्य यह है कि प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का द्विभाजित आधार (k ≥ 1) में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है। यह एक "लोक प्रमेय" है जिसे कई बार पुनः खोजा गया है। आधार k = 10 के लिए फोस्टर (1947) और सभी k ≥ 1 के लिए स्मूलयन (1961) और बोहम (1964) के प्रारम्भिक उदाहरण हैं। स्मूलयन ने इस प्रणाली का उपयोग एक तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के स्ट्रिंग की गोडेल संख्या प्रदान करने के लिए किया है। बॉम प्रोग्रामिंग भाषा P में गणना करने के लिए इन अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है। नुथ (1969) k = 10 के विशेष स्थिति का उल्लेख करता है और सलोमा (1973) की स्थिति k ≥ 2 पर चर्चा करता है। फोरस्लंड (1995) एक और पुनर्वितरण प्रतीत है। जो परिकल्पना करता है कि यदि प्राचीन संख्या प्रणाली द्विभाजित आधार-k का उपयोग करती है तो वह संख्या इस प्रणाली से सामान्य अपरिचितता के कारण पुरातात्विक दस्तावेजों में इस रूप में मान्यता प्राप्त नहीं होती है।

संदर्भ

• Böhm, C. (July 1964), "On a family of Turing machines and the related programming language", ICC Bulletin, 3: 191.
• Forslund, Robert R. (1995), "A logical alternative to the existing positional number system", Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664.
• Foster, J. E. (1947), "A number system without a zero symbol", Mathematics Magazine, 21 (1): 39–41, doi:10.2307/3029479, JSTOR 3029479.
• Knuth, D. E. (1969), The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms (1st ed.), Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195. (Discusses द्विभाजित मूल-10.)
• Salomaa, A. (1973), Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91. (Discusses द्विभाजित मूल-k for all k ≥ 2.)
• Smullyan, R. (1961), "9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers", Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 47, Princeton University Press, pp. 34–36.