संवृत ग्राफ प्रमेय

This article is about closed graph theorems in general topology. For the closed graph theorem in functional analysis, see Closed graph theorem (functional analysis).

The graph of the cubic function $f(x)=x^{3}-9x$ on the interval $[-4,4]$ is closed because the function is continuous. The graph of the Heaviside function on $[-2,2]$ is not closed, because the function is not continuous.

गणित में, बंद ग्राफ़ प्रमेय कई आधारस्वरूप परिणामों में से एक को संदर्भित कर सकता है जो उनके ग्राफ़ के संदर्भ में निरंतर कार्यों को दर्शाता है। प्रत्येक स्थिति देता में बंद ग्राफ वाले कार्य आवश्यक रूप से निरंतर होते हैं।

बंद रेखांकन वाले रेखांकन और आरेख

Main article: Closed graph

यदि $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्थान के बीच एक आरेख है, फिर $f$ ग्राफ सेट है $\operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ या समकक्ष,

$$\operatorname {Gr} f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$$

कहा जाता है कि ग्राफ $f$ बंद है यदि $\operatorname {Gr} f$ $X\times Y$ का एक बंद सेट है (उत्पाद टोपोलॉजी के साथ)।

किसी भी निरंतर कार्य का एक बंद ग्राफ हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष स्थान होता है।

कोई रैखिक आरेख, $L:X\to Y,$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान के बीच जिनकी टोपोलॉजी (कॉची) ट्रांसलेशन इनवेरिएंट मेट्रिक्स के संबंध में पूर्ण हैं, और यदि अतिरिक्त (1a) $L$ उत्पाद टोपोलॉजीके अर्थ में क्रमिक रूप से निरंतर है, फिर आरेख L निरंतर है और इसका ग्राफ, Gr L अनिवार्य रूप से बंद है।। इसके विपरीत यदि $L$ (1a) के स्थान पर एक ऐसा रेखीय आरेख है, जिसका ग्राफ $L$ (1b) है $X\times Y$ कार्टेशियन उत्पाद स्थान में बंद होने के लिए जाना जाता है , तब $L$ निरंतर और आवश्यक रूप से क्रमिक निरंतर है।

निरंतर आरेख के उदाहरण जिनमें बंद ग्राफ नहीं है

यदि $X$ कोई स्थान है तो पहचान आरेख $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ $\operatorname {Gr} \operatorname {Id} :=\{(x,x):x\in X\},$जो विकर्ण है, $X\times X$ में बंद है यदि और केवल यदि $X$ हॉसडॉर्फ है। विशेष रूप से, यदि $X$ हौसडॉर्फ नहीं है तब $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका बंद ग्राफ़ नहीं है।

माना की $X$ वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R}$ सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ को निरूपित करता है और $Y$ अविवेकपूर्ण टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R}$ को निरूपित करता है (जहां ध्यान दें कि $Y$ हॉसडॉर्फनहीं है और यह कि Y में मान का प्रत्येक फलन सतत है)। माना की $f:X\to Y$ द्वारा $f(0)=1$ और $f(x)=0$ सभी के लिए $x\neq 0$. परिभाषित किया जाना चाहिए फिर $f:X\to Y$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ$X\times X$ में बंद नहीं है .

पॉइंट-सेट टोपोलॉजी में बंद ग्राफ प्रमेय

बिंदु-सेट टोपोलॉजी में, बंद ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

Closed graph theorem — If $f:X\to Y$ is a map from a topological space $X$ into a Hausdorff space $Y,$ then the graph of $f$ is closed if $f:X\to Y$ is continuous. The converse is true when $Y$ is compact. (Note that compactness and Hausdorffness do not imply each other.)

Proof

First part is essentially by definition.

Second part:

For any open $V\subset Y$ , we check $f^{-1}(V)$ is open. So take any $x\in f^{-1}(V)$ , we construct some open neighborhood $U$ of $x$ , such that $f(U)\subset V$ .

Since the graph of $f$ is closed, for every point $(x,y')$ on the "vertical line at x", with $y'\neq f(x)$ , draw an open rectangle $U_{y'}\times V_{y'}$ disjoint from the graph of $f$ . These open rectangles, when projected to the y-axis, cover the y-axis except at $f(x)$ , so add one more set $V$.

Naively attempting to take $U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}$ would construct a set containing $x$, but it is not guaranteed to be open, so we use compactness here.

Since $Y$ is compact, we can take a finite open covering of $Y$ as $\{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}$.

Now take $U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}$. It is an open neighborhood of $x$, since it is merely a finite intersection. We claim this is the open neighborhood of $U$ that we want.

Suppose not, then there is some unruly $x'\in U$ such that $f(x')\not \in V$ , then that would imply $f(x')\in V_{y'_{i}}$ for some $i$ by open covering, but then $(x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}$ , a contradiction since it is supposed to be disjoint from the graph of $f$ .

गैर-हॉउसडॉर्फ स्थान बहुत कम देखे जाते हैं, लेकिन गैर-सघन स्थान सामान्य हैं। गैर-कॉम्पैक्ट का एक उदाहरण $Y$ वास्तविक रेखा है, जो बंद ग्राफ के साथ असंतुलित कार्य की अनुमति देती है $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}$.

सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के लिए

Closed graph theorem for set-valued functions — For a Hausdorff compact range space $Y$, a set-valued function $F:X\to 2^{Y}$ has a closed graph if and only if it is upper hemicontinuous and F(x) is a closed set for all $x\in X$.

कार्यात्मक विश्लेषण में

Main article: Closed graph theorem (functional analysis)

यदि $T:X\to Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान (टीवीएस) के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है तो हम कहते हैं कि $T$ एक बंद रैखिक ऑपरेटर है यदि का ग्राफ $T$ में बंद है $X\times Y$ कब $X\times Y$ उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

बंद ग्राफ़ प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो गारंटी देता है कि कुछ शर्तों के तहत एक बंद रैखिक ऑपरेटर निरंतर है। मूल परिणाम को कई बार सामान्यीकृत किया गया है। बंद ग्राफ प्रमेयों का एक प्रसिद्ध संस्करण निम्नलिखित है।

Theorem — A linear map between two F-spaces (e.g. Banach spaces) is continuous if and only if its graph is closed.

यह भी देखें

• Almost open linear map
• Barrelled space
• Closed graph
• Closed linear operator
• Discontinuous linear map
• Kakutani fixed-point theorem
• Open mapping theorem (functional analysis)
• Ursescu theorem
• Webbed space
• Zariski's main theorem

ग्रन्थसूची

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• "Proof of closed graph theorem". PlanetMath.