शून्य आकारिता

गणित की शाखा के रूप में श्रेणी सिद्धांत में, शून्य सारूप एक विशेष प्रकार का सारूप है जो शून्य वस्तु से परिभाषित आकारिता के समान और उनसे होने वाली गुणधर्म को प्रदर्शित करता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए C एक श्रेणी है, और f : X → Y, C में एक सारूप है। सारूप f को एक स्थिर सारूप या कभी-कभी वाम शून्य सारूप कहा जाता है यदि C में किसी भी वस्तु W और किसी भी g, h: W → X के लिए fg = fh हो। उलट रूप से, f को एक समकालीन सारूप या कभी-कभी दायीं शून्य सारूप कहा जाता है यदि C में किसी भी वस्तु Z और किसी भी g, h: Y → Z के लिए gf = hf हो। शून्य सारूप वह सारूप होता है जो स्थिर सारूप तथा समकालीन सारूप दोनों होता है।

शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी में, हर दो वस्तुओं A और B के लिए, एक निर्दिष्ट सारूप 0AB: A → B होता है, और इस सारूप का संग्रह ऐसा होता है कि सभी वस्तुओं X, Y, Z और सभी सारूप f: Y → Z, g: X → Y के लिए, निम्न आरेख विज्ञान यात्रा को समाप्त करती है:

आकारिकी 0_XY आवश्यक रूप से शून्य आकारिकी हैं और शून्य आकारिकी की संगत प्रणाली बनाते हैं।

यदि C शून्य सारूपों वाली श्रेणी है, तो 0_XY का संग्रह अद्वितीय है।

एक "शून्य सारूप" को परिभाषित करने और वाक्य "शून्य सारूपों वाली श्रेणी" को अलग-अलग परिभाषित करने की विधि अद्वितीय है, परन्तु यदि प्रत्येक होम-समुच्चय में एक "शून्य सारूप" होता है, तो श्रेणी "शून्य सारूपों वाली होती है।

उदाहरण

• In the category of groups (or of modules), a zero morphism is a homomorphism f : G → H that maps all of G to the identity element of H. The zero object in the category of groups is the trivial group 1 = {1}, which is unique up to isomorphism. Every zero morphism can be factored through 1, i. e., f : G → 1 → H.
• More generally, suppose C is any category with a zero object 0. Then for all objects X and Y there is a unique sequence of morphisms

  0_XY : X → 0 → Y

  The family of all morphisms so constructed endows C with the structure of a category with zero morphisms.
• If C is a preadditive category, then every hom-set Hom(X,Y) is an abelian group and therefore has a zero element. These zero elements form a compatible family of zero morphisms for C making it into a category with zero morphisms.
• The category of sets does not have a zero object, but it does have an initial object, the empty set ∅. The only right zero morphisms in Set are the functions ∅ → X for a set X.

संबंधित अवधारणाएं

यदि C में एक शून्य वस्तु 0 है, C में दो वस्तुएँ X और Y दी गई हैं, तो कैनोनिकल morphisms f : X → 0 और g : 0 हैं → वाई । फिर, gf मोर में एक शून्य रूपवाद है_C(एक्स, वाई)। इस प्रकार, शून्य वस्तु वाली प्रत्येक श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें रचना 0 द्वारा दी गई शून्य आकारिकी होती है_XY : एक्स → '0' → वाई।

यदि किसी श्रेणी में शून्य आकारिकी है, तो उस श्रेणी में किसी भी आकृतिवाद के लिए कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और cokernel की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

संदर्भ

• Section 1.7 of Pareigis, Bodo (1970), Categories and functors, Pure and applied mathematics, vol. 39, Academic Press, ISBN 978-0-12-545150-5
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory, Heldermann Verlag.

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