प्रभावी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत

प्रभावकारी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत वास्तविक संख्या के सम्मुच्चय (गणित) से संबंधित वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत की शाखा है जिसमें लाइटफेस परिभाषाएँ होती हैं; अर्थात्, ऐसी परिभाषाएँ जिनके लिए स्वेच्छाचारी वास्तविक मापदण्ड की आवश्यकता नहीं होती है (मोस्कोवाकिस 1980)। इस प्रकार प्रभावकारी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत पुनरावर्तन सिद्धांत के साथ वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत को जोड़ता है।

निर्माण

प्रभावकारी परिष्कृत स्थान

Main article: प्रभावशाली परिष्कृत स्थान

एक प्रभावकारी परिष्कृत स्थान एक पूर्ण मापीय अंतरिक्ष वियोज्य अंतरिक्ष मापीय स्थान है जिसमें एक अभिकलनीय फलन है। ऐसे स्थानों का प्रभावकारी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत और रचनात्मक विश्लेषण दोनों में अध्ययन किया जाता है। विशेष रूप से, परिष्कृत रिक्त स्थान के मानक उदाहरण जैसे कि वास्तविक रेखा, कैंटर सम्मुच्चय और बेयर स्पेस (सम्मुच्चय सिद्धांत) सभी प्रभावकारी परिष्कृत स्थान हैं।

अंकगणितीय पदानुक्रम

Main article: अंकगणितीय पदानुक्रम

अंकगणितीय पदानुक्रम, समांतर पदानुक्रम या स्टीफन कोल आंद्रेज मोस्टोव्स्की पदानुक्रम उन्हें परिभाषित करने वाले सूत्रों की जटिलता के आधार पर कुछ सम्मुच्चय (गणित) को वर्गीकृत करता है। वर्गीकरण प्राप्त करने वाले किसी भी सम्मुच्चय को अंकगणितीय कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, अंकगणितीय पदानुक्रम पीआनो सिद्धांतों की भाषा में सूत्र प्रथम-क्रम अंकगणित को वर्गीकरण प्रदान करता है। प्राकृतिक संख्या n के लिए (0 सहित) $\Sigma _{n}^{0}$ और $\Pi _{n}^{0}$ वर्गीकरण निरूपित हैं। यहां ग्रीक अक्षर लाइटफेस प्रतीक हैं, जो इंगित करता है कि सूत्रों में सम्मुच्चय मापदण्ड नहीं हैं।

यदि सूत्र $\phi$ तार्किक रूप से केवल परिबद्ध क्वांटिफायर वाले सूत्र के समतुल्य है तो $\phi$ को वर्गीकरण $\Sigma _{0}^{0}$ और $\Pi _{0}^{0}$ सौंपा गया है।

वर्गीकरण $\Sigma _{n}^{0}$ और $\Pi _{n}^{0}$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करते हुए प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है:

• अगर $\phi$ तार्किक रूप से विधि के एक सूत्र $\exists n_{1}\exists n_{2}\cdots \exists n_{k}\psi$ के बराबर है, जहाँ $\psi$ $\Pi _{n}^{0}$ है, तब $\phi$ वर्गीकरण $\Sigma _{n+1}^{0}$ दिया गया है।
• अगर $\phi$ तार्किक रूप से विधि के एक सूत्र $\forall n_{1}\forall n_{2}\cdots \forall n_{k}\psi$ के बराबर है , जहाँ $\psi$ $\Sigma _{n}^{0}$ है, तब $\phi$ वर्गीकरण $\Pi _{n+1}^{0}$ दिया गया है।

संदर्भ

• Mansfield, Richard; Weitkamp, Galen (1985). Recursive Aspects of Descriptive Set Theory. Oxford University Press. pp. 124–38. ISBN 978-0-19-503602-2. MR 0786122.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0. Second edition available online