ब्राउनियन वेब

संभाव्यता सिद्धांत में, एक प्रकार कि ऐसी गति है जो अंतरिक्ष और समय में प्रत्येक बिंदु से प्रारंभ होने वाले एक-आयामी समेकित ब्राउनियन गतियों का एक अगणनीय संग्रह है। यह प्रत्येक बार पूर्णांक जाली जेड के प्रत्येक बिंदु से प्रारंभ होने वाली एक चाल के साथ, यादृच्छिक चाल को संयोजन के रूप में संग्रह की विसारक अंतरिक्ष समय सोपानी सीमा के रूप में उत्पन्न होती है।

इतिहास और मूल विवरण

thumb|विन्यास के साथ मतदाता मॉडल का चित्रमय निर्माण $\eta _{t}:=(\eta _{t}(x))_{x\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ . तीर यह निर्धारित करते हैं कि जब कोई मतदाता तीर द्वारा इंगित पड़ोसी के प्रति अपनी राय बदलता है। वंशावलियों को समय में पीछे की ओर तीरों का अनुसरण करके प्राप्त किया जाता है, जो यादृच्छिक चालों को समेटने के रूप में वितरित किए जाते हैं।|link=|alt={\displaystyle \eta _{t}:=(\eta _{t}(x))_{x\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}जिसे अब ब्राउनियन वेब के रूप में जाना जाता है, उसकी कल्पना सबसे पहले रिचर्ड अरटिया ने अपनी पीएचडी थीसिस और उसके बाद एक अधूरी और अप्रकाशित पांडुलिपि में की थी। अरटिया ने मतदाता मॉडल का अध्ययन किया, एक अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली जो जनसंख्या के राजनीतिक विचारों के विकास का मॉडल करती है। जनसंख्या के व्यक्तियों को एक ग्राफ के शीर्षों द्वारा दर्शाया जाता है, और प्रत्येक व्यक्ति दो संभावित में से एक को वहन करता है, जिसे 0 या 1 के रूप में दर्शाया जाता है। स्वतंत्र रूप से दर 1 पर, प्रत्येक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुने गए निकटवर्ती के विचार में अपने विचार परिवर्तित करते है। मतदाता मॉडल को यादृच्छिक भ्रमण (अर्थात, यादृच्छिक भ्रमण स्वतंत्र रूप से तब चलते हैं जब वे अलग होते हैं, और एक बार मिलने के पश्चात एकल भ्रम के रूप में चलते हैं) को इस अर्थ में दोहरे रूप में जाना जाता है कि: किसी भी समय प्रत्येक व्यक्ति के विचार को पीछे की ओर देखा जा सकता है समय 0 पर एक पूर्वज के समय में, और अलग-अलग समय पर अलग-अलग व्यक्तियों के विचार की संयुक्त वंशावली समय में पीछे की ओर विकसित होने वाले यादृच्छिक चालों का एक संग्रह है। स्थानिक आयाम 1 में, अंतरिक्ष-समय बिंदुओं की एक परिमित संख्या से प्रारंभ होने वाले यादृच्छिक चालों को समेटना ब्राउनियन गतियों की एक सीमित संख्या में परिवर्तित हो जाती हैं, यदि अंतरिक्ष-समय को विसरित रूप से (अर्थात, प्रत्येक अंतरिक्ष-समय बिंदु (x,t) को ε↓0 के साथ (εx,ε^2t) पर प्रतिचित्रित किया जाता है) बढ़ाया जाता है। यह डोंस्कर के अपरिवर्तनीय सिद्धांत का परिणाम है। कम स्पष्ट प्रश्न यह है:

विच्छेदित अंतरिक्ष समय लैटिस पर यादृच्छिक भ्रमण को जोड़ना $\mathbb {Z} _{\rm {even}}^{2}:=\{(x,n)\in \mathbb {Z} ^{2}:x+n{\mbox{ is even}}\}.$ प्रत्येक जाली बिंदु से, एक तीर या तो ऊपर-दाएँ या ऊपर-बाएँ 1/2 प्रायिकता के साथ खींचा जाता है। यादृच्छिक चालें तीरों का अनुसरण करके समय के साथ ऊपर की ओर बढ़ती हैं, और विभिन्न यादृच्छिक चालें एक बार मिलने के बाद आपस में जुड़ जाती हैं।

अंतरिक्ष-समय में 'प्रत्येक' बिंदु से प्रारंभ होने वाले एक-आयामी कोलेसिंग यादृच्छिक भ्रमण के संयुक्त संग्रह की विसारक सोपानी सीमा क्या है?

अराटिया ने इस सीमा का निर्माण करना प्रारंभ किया, जिसे अब हम ब्राउनियन वेब कहते हैं। औपचारिक रूप से बोलते हुए, यह प्रत्येक अंतरिक्ष-समय बिंदु से प्रारंभ होने वाले एक आयामी समेकित ब्राउनियन गति का संग्रह है $\mathbb {R} ^{2}$. तथ्य यह है कि ब्राउनियन वेब में ब्राउनियन गतियों की एक अगणनीय संख्या होती है, जो निर्माण को अत्यधिक गैर-तुच्छ बनाती है। अरटिया ने एक निर्माण दिया लेकिन एक सीमित वस्तु के लिए यादृच्छिक चलने के अभिसरण को साबित करने में असमर्थ था और ऐसी सीमित वस्तु को चित्रित करता था।

बैलिंट टूथ | टूथ और वेंडेलिन वर्नर वास्तविक आत्म-प्रतिकारक गति के अपने अध्ययन में इस सीमित वस्तु और इसके दोहरे गुण के कई विस्तृत गुण प्राप्त किए लेकिन इस सीमित वस्तु के लिए सहवर्ती चालों के अभिसरण को साबित नहीं किया या इसकी विशेषता नहीं बताई। अभिसरण साबित करने में मुख्य कठिनाई यादृच्छिक बिंदुओं के अस्तित्व से उत्पन्न होती है जिससे सीमित वस्तु के कई रास्ते हो सकते हैं। अरटिया और Bálint Tóth|Tóth और Wendelin Werner ऐसे बिंदुओं के अस्तित्व के बारे में जानते थे और उन्होंने इस तरह की बहुलता से बचने के लिए अलग-अलग परंपराएँ प्रदान कीं। फोंटेस, आइसोपी, चार्ल्स एम. न्यूमैन और रविशंकर सीमित वस्तु के लिए एक टोपोलॉजी की प्रारंभ की ताकि इसे एक पोलिश स्थान में मान लेने वाले यादृच्छिक चर के रूप में महसूस किया जा सके, इस मामले में, पथों के कॉम्पैक्ट सेट का स्थान। यह विकल्प सीमित वस्तु को एक यादृच्छिक स्थान समय बिंदु से कई पथों की अनुमति देता है। इस टोपोलॉजी की प्रारंभ ने उन्हें एक अद्वितीय सीमित वस्तु के लिए सामूहिक यादृच्छिक चलने के अभिसरण को साबित करने और इसे चिह्नित करने की अनुमति दी। उन्होंने इस सीमित वस्तु का नाम ब्राउनियन वेब रखा।

ब्राउनियन वेब का एक विस्तार, जिसे ब्राउनियन नेट कहा जाता है, सन और स्वार्ट द्वारा पेश किया गया है कोलेसिंग ब्राउनियन गतियों को शाखाओं में बंटने की अनुमति देकर। ब्राउनियन जाल का एक वैकल्पिक निर्माण न्यूमैन, रविशंकर और शर्टज़र द्वारा दिया गया था। हाल के एक सर्वेक्षण के लिए, शर्टज़र, सन और स्वार्ट देखें।