फलनिक समीकरण

Not to be confused with फलनात्मक मॉडल.

गणित में, फलनिक समीकरण व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या अनेक फलन अज्ञात (गणित) के रूप में होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलनिक समीकरण हैं। यद्यपि अधिकतर प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग किया जाता है, जहाँ फलनिक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फलन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन अनिवार्य रूप से लघुगणक फलनिक समीकरण $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$ द्वारा चित्रित किया जाता है।

यदि अज्ञात फलन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फलन को सामान्यतः अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है तथा इस स्थिति में, फलनिक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इस प्रकार फलनिक समीकरण पद का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक फलन और सम्मिश्र फलन के लिए किया जाता है । इसके अलावा समाधानों के लिए प्रायः सहजता की स्थिति स्वीकृत की जाती है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना अधिकांश फलनिक समीकरणों में अधिक अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक फलन है जो फलनिक समीकरण $f(x+1)=xf(x)$ और प्रारंभिक मान $f(1)=1.$ को संतुष्ट करता है। ऐसे कई फलन हैं जो इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन गामा फलन अद्वितीय है जो संपूर्ण सम्मिश्र समतल में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और x वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय) के लिए लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

उदाहरण

• पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के फलनों में फलनिक समीकरण समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है जिसमें पदों के सूचकांकों के मध्य अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध जहाँ $F_{0}=0$ तथा $F_{1}=1$ है।
• $f(x+P)=f(x)$, जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

• $f(x)=f(-x)$, जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से $f(x)=-f(-x)$ जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

• $f(f(x))=g(x)$, जो फलन g के फलनात्मक वर्गमूल की विशेषता प्रदर्शित करता है।

• $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हेमल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
• $f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
• $f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$, सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
• $f(xy)=f(x)f(y)\,\!$, सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)।
• $f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)।
• $g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ (डी'अलेम्बर्ट का फलनिक समीकरण)।
• $f(h(x))=h(x+1)\,\!$ (हाबिल समीकरण)
• $f(h(x))=cf(x)\,\!$ (श्रोडर का समीकरण)।
• $f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ (बॉटर का समीकरण)।
• $f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!$ (जूलिया का समीकरण)।
• $f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (लेवी-सिविटा),
• $f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ (साइन योगात्मक सूत्र और अतिपरवलीय साइन योगात्मक सूत्र)।
• $g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ (कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
• $g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$ (अतिपरवलीय कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
• क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम फलनिक समीकरण हैं। अपने परिचित रूप में साहचर्य नियम को मध्यप्रत्यय संकेतन में द्विचर प्रचालन लिखकर व्यक्त किया जाता है,
  $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,$$
  किन्तु यदि हम a ○ b के स्थान पर f(a,-b) लिखते हैं, तो साहचर्य नियम एक पारंपरिक फलनिक समीकरण के समान दिखता है,
  $$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$$
• फलनिक समीकरण
  $$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$$
  रीमैन जीटा फ़ंक्शन से संतुष्ट है। कैपिटल Γ गामा फलन को दर्शाता है।

• गामा फलन तीन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का अद्वितीय हल है:
  • $f(x)={f(x+1) \over x}$
  • $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$
  • $f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$          (यूलर का प्रतिबिंब सूत्र)
• फलनिक समीकरण
  $$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$$
  जहाँ a, b, c, d पूर्णांक हैं जो $ad-bc=1$,को संतुष्ट करते हैं, अर्थात ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1, f को क्रम k का एक मॉड्यूलर रूप परिभाषित करता है।

एक विशेषता जो ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरणों में समान रूप से साझा की गई है, वह यह है कि, प्रत्येक स्थिति में, दो या दो से अधिक ज्ञात फलन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चरों का योग, कभी-कभी तत्समक फलन) अज्ञात फलनों के तर्क के आंतरिक भाग में होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।

जब सभी समाधान पूछने की बात आती है, तो हो सकता है कि गणितीय विश्लेषण की शर्तों को लागू किया जाए; उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित कॉची समीकरण के मामले में, जो समाधान निरंतर कार्य हैं वे 'उचित' हैं, जबकि अन्य समाधान जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है, का निर्माण किया जा सकता है (वास्तविक संख्याओं के लिए हैमल आधार का उपयोग करके) परिमेय संख्याओं पर सदिश स्थान के रूप में)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।

अंतर्वलन

अंतर्वलन (गणित) को फलनिक समीकरण$f(f(x))=x$ द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के फलनिक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,

$f(f(x))=1-(1-x)=x\,.$

समीकरण के अन्य अंतर्वलन और समाधान सम्मिलित हैं

• $f(x)=a-x\,,$
• $f(x)={\frac {a}{x}}\,,$ तथा
• $f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

जिसमें पूर्ववर्ती तीन को विशेष स्थितियों या सीमाओं के रूप में सम्मिलित किया गया है।

समाधान

प्रारंभिक फलनिक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।

फलनिक समीकरणों के कुछ समाधानों ने प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण, विचित्रता और समता का उपयोग किया है।

कुछ फलनिक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा एन्सैटेज़ के प्रयोग से हल किया गया है।

फलनिक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।

गतिक क्रमादेशन में बेलमैन के फलनिक समीकरण को हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियों का उपयोग किया जाता है, जिसमें निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों पर आधारित विधियाँ भी सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

• फलनिक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)
• बेलमैन समीकरण
• गतिक क्रमादेशन
• अंतर्निहित फलन
• फलनिक अवकल समीकरण

संदर्भ

• János Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232.
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, 1989.
• C. Efthimiou, Introduction to Functional Equations, AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; online.
• Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009.
• Marek Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups, first edition, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 April 2007). Functional Equations and How to Solve Them. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

बाहरी संबंध

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text (archived) on functional equations in problem solving.