फोटॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधि

मोंटे कार्लो विधि फोटॉन प्रसार की फोटॉन परिवहन का अनुकरण करने के लिए एक लचीला कठोर दृष्टिकोण होता है। विधि में, फोटॉन परिवहन के स्थानीय नियमों को संभाव्यता वितरण के रूप में व्यक्त किया जाता है जो फोटॉन-पदार्थ परस्पर की साइटों और एक बिखरने वाली घटना होने पर फोटॉन के प्रक्षेपवक्र में विक्षेपण के कोणों के बीच फोटॉन के चरण आकार का वर्णन करता है। यह विकिरण हस्तांतरण समीकरण (आरटीई) द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से फोटॉन परिवहन नमूने के बराबर होता है, जो एक अंतर समीकरण का उपयोग करके फोटॉन की गति का वर्णन करता है। चूँकि, आरटीई के बंद-फॅार्म समाधान अधिकांशतः संभव नहीं होते है, कुछ ज्यामितियों के लिए, प्रसार सन्निकटन का उपयोग आरटीई को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, चूंकि, विशेष रूप से स्रोतों और सीमाओं के पास यह कई अशुद्धियों का परिचय देता है। उदाहरण के लिए, फिल्म देखें, जहां एक अर्ध-अनंत माध्यम पर एक पेंसिल बीम घटना का मोंटे कार्लो कृत्रिम प्रारंभिक बैलिस्टिक फोटॉन प्रवाह और फैले हुए प्रसार दोनों को प्रतिरूपित करता है।

मोंटे कार्लो विधि आवश्यक रूप से सांख्यिकीय होती है और इसलिए त्रुटिहीनता प्राप्त करने के लिए महत्वपूर्ण गणना समय की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त मोंटे कार्लो कृत्रिम किसी भी वांछित स्थानिक और लौकिक समाधान के साथ कई भौतिक मात्राओं पर नजर रख सकता है। यह लचीलापन मोंटे कार्लो नमूने को एक ऊर्जशील उपकरण बनाता है। इस प्रकार, कम्प्यूटेशनल रूप से अक्षम होते हुए भी, मोंटे कार्लो विधियों को अधिकांशतः कई जैव चिकित्सा अनुप्रयोगों के लिए फोटॉन परिवहन के कृत्रिम माप के लिए मानक माना जाता है।

File:MonteCarloSemiInf.gif

अर्ध-अनंत प्रकीर्णन माध्यम पर एक पेंसिल बीम घटना का मोंटे कार्लो अनुकरण।

मोंटे कार्लो विधियों के जैव चिकित्सा अनुप्रयोग

जैव चिकित्सा प्रतिबिंब

जैविक ऊतक के प्रकाशिक गुण जैव चिकित्सा प्रतिबिंब के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करते है। इसमें कई अंतर्जात विरोधाभास होते है, जिनमें रक्त और मेलेनिन से अवशोषण और तंत्रिका कोशिकाओं और कैंसर कोशिका नाभिक से बिखराव सम्मलित है। इसके अतिरिक्त, फ्लोरोसेंट जांच को कई अलग-अलग ऊतकों को लक्षित किया जा सकता है। माइक्रोस्कोपी तकनीक (संनाभि माइक्रोस्कोपी, दो फोटॉन उत्तेजना माइक्रोस्कोपी और प्रकाशिक कोहरेन्स टोमोग्राफी सहित) में इन गुणों को उच्च स्थानिक समाधान के साथ प्रतिबिंब करने की क्षमता होती है, लेकिन, चूंकि वे बैलिस्टिक फोटॉनों पर भरोसा करते है, इसलिए उनकी गहराई सीमित होती है। ऐसे वातावरण में बड़ी संख्या में फोटॉनों के सांख्यिकीय व्यवहार की गहरी समझ की आवश्यकता होती है। मोंटे कार्लो विधियाँ एक लचीला प्रतिरूप प्रदान करती है जिसका उपयोग विभिन्न तकनीकों द्वारा ऊतक के भीतर गहरे प्रकाशिक गुणों के पुनर्निर्माण के लिए किया जाता है। इनमें से कुछ तकनीकों का संक्षिप्त परिचय यहाँ प्रस्तुत किया गया है।

• जैव चिकित्सा में फोटोअकॉस्टिक प्रतिबिंब पीएटी में, लेजर प्रकाश अवशोषित होता है जो स्थानीय तापमान वृद्धि उत्पन्न करता है। बदले में यह स्थानीय तापमान भिन्नता तापप्रत्यास्थ विस्तार के माध्यम से अल्ट्रासाउंड तरंगें उत्पन्न करता है जिन्हें पराध्वनिक पारक्रमित्र के माध्यम से पता लगाया जाता है। व्यवहार में, विभिन्न प्रकार के व्यवस्थाएं पैरामीटर होते है और परिणामस्वरूप मोंटे कार्लो नमूने प्रायोगिक विधियों से पहले ऊतक प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करने के लिए एक मूल्यवान उपकरण होता है।
• डिफ्यूज प्रकाशिक प्रतिबिंब डीओटी एक प्रतिबिंब तकनीक होती है जो जैविक ऊतकों के प्रकाशिक गुणों को मापने के लिए निकट-अवरक्त प्रकाश स्रोतों और सूचकों की एक सरणी का उपयोग करती है। विभिन्न प्रकार के विरोधाभासों को ऑक्सी- और डीऑक्सी-रुधिरवर्णिका (कार्यात्मक न्यूरो-प्रतिबिंब या कैंसर का पता लगाने के लिए) और फ्लोरोसेंट जांच की एकाग्रता के कारण अवशोषण सहित मापा जा सकता है। जैविक ऊतक की अत्यधिक प्रकीर्णन प्रकृति के कारण, ऐसे पथ जटिल होते है और संवेदनशीलता कार्य विसरित होते है। अग्रिम नमूना अधिकांशतः मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके उत्पन्न होता है।

विकिरण चिकित्सा

विकिरण चिकित्सा का लक्ष्य सामान्यतः आसपास के सामान्य ऊतकों को बख्शते हुए कैंसरयुक्त ऊतक को आयनकारी विकिरण के रूप में ऊर्जा प्रदान करना होता है। मोंटे कार्लो नमूने को सामान्यतः विकिरण चिकित्सा में नियोजित किया जाता है जिससे कि परिधीय खुराक का निर्धारण किया जा सकता है।

प्रकाश गतिक चिकित्सा

प्रकाश गतिक चिकित्सा (पीडीटी) में कीमो चिकित्सा प्रतिनिधि को सक्रिय करने के लिए प्रकाश का उपयोग किया जाता है। पीडीटी की प्रकृति के कारण, कीमो चिकित्सा प्रतिनिधि को सक्रिय करने के लिए प्रकाश के उचित स्तर को सुनिश्चित करने के लिए ऊतक में बिखरने और अवशोषण के लिए मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करना उपयोगी होता है।

प्रकीर्णन माध्यम में फोटॉन परिवहन का कार्यान्वयन

यहाँ प्रस्तुत एक सजातीय अनंत माध्यम में फोटॉन मोंटे कार्लो विधि का एक नमूना होता है। चूँकि, बहु-स्तरित मीडिया के लिए नमूने को आसानी से बढ़ाया जाता है। एक विषम माध्यम के लिए, सीमाओं पर विचार किया जाता है। एक अर्ध-अनंत माध्यम के अतिरिक्त (जिसमें फोटॉन शीर्ष सीमा से बाहर निकलने पर खोए हुए माने जाते है), विशेष विचार किया जाता है। अधिक जानकारी के लिए, कृपया पृष्ठ के निचले भाग में दिए गए लिंक पर जाएँ। हम एक असीम रूप से छोटे बिंदु स्रोत की विधि का उपयोग करके मनमाना स्रोत ज्यामिति के उत्तरों का निर्माण कर सकते है। आवश्यक पैरामीटर अवशोषण गुणांक, प्रकीर्णन गुणांक और प्रकीर्णन चरण फ़ंक्शन होते है। (यदि सीमाओं पर विचार किया जाता है तो प्रत्येक माध्यम के लिए अपवर्तन का सूचकांक भी प्रदान किया जाता है।) प्रकाशिक पथ की लंबाई का उपयोग करके फोटॉन की उड़ान के कुल बीत चुके समय का ट्रैक रखकर समय-समाधान प्रतिक्रियाएं प्राप्त की जाती है। मनमाना समय रूपरेखा वाले स्रोतों के प्रतिसाद दृढ़ संकल्प के माध्यम से तैयार किए जा सकते है।

हमारे सरलीकृत नमूने में हम कम्प्यूटेशनल समय को कम करने के लिए निम्न भिन्नता कमी तकनीक का उपयोग करते है। फोटॉनों को व्यक्तिगत रूप से प्रचारित करने के अतिरिक्त, हम एक विशिष्ट भार के साथ एक फोटॉन बनाते है। चूंकि फोटॉन अशांत माध्यम में परस्पर क्रिया करता है, यह अवशोषण के कारण वजन जमा करता है और शेष वजन माध्यम के अन्य भागों में बिखर जाता है। किसी विशेष उपकरण के हित के आधार पर, कई प्रकार के चर रास्ते में लॉग किए जा सकते है। प्रत्येक फोटॉन को बार-बार निम्नलिखित क्रमांकित चरणों से गुजरना होता है जब तक कि यह प्रतिबिंब प्रेषित नहीं हो जाता है। प्रक्रिया को योजनाबद्ध विधि से दाईं ओर आरेखित किया जाता है। फोटॉन की किसी भी संख्या को प्रस्तावित और प्रतिरूपित किया जा सकता है। ध्यान दें कि चूंकि मोंटे कार्लो नमूना एक सांख्यिकीय प्रक्रिया है जिसमें यादृच्छिक संख्याएं सम्मलित होती है, हम चर ξ का उपयोग एक छद्म यादृच्छिक संख्या उत्तपादन के रूप में करते है।

File:MonteCarlo.png

मोंटे कार्लो कृत्रिम के साथ एक अनंत बिखरने और अवशोषित माध्यम में फोटॉन प्रवाह मॉडलिंग के लिए योजनाबद्ध।

चरण 1: एक फोटॉन पैकेट प्रस्तावित करना

हमारे नमूने में, हम एक ऐसे माध्यम में प्रवेश करने से जुड़े प्रारंभिक स्पेक्युलर परावर्तन को अनदेखी करते है जो अपवर्तक सूचकांक से मेल नहीं खाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हमें केवल फोटॉन पैकेट की प्रारंभिक स्थिति और साथ ही प्रारंभिक दिशा निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। वैश्विक समन्वय प्रणाली का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। हम प्रसार की दिशा निर्धारित करने के लिए तीन इकाई वेक्टर के साथ स्थिति निर्धारित करने के लिए तीन कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करते है। प्रारंभ की स्थिति आवेदन के आधार पर अलग-अलग होती है, चूंकि मूल रूप से प्रारंभ की गई एक पेंसिल बीम के लिए, हम प्रारंभिक स्थिति और दिशा कोसाइन निम्नानुसार सेट कर सकते है (प्रत्येक पैकेट की प्रारंभिक दिशा को यादृच्छिक करके समदैशिक स्रोतों को आसानी से प्रतिरूपित किया जा सकता है):

${\begin{aligned}x&=0\\{\text{Position: }}y&=0\\z&=0\\\\\mu _{x}&=0\\{\text{Direction cosines: }}\mu _{y}&=0\\\mu _{z}&=1\end{aligned}}$

चरण 2: चरण आकार चयन और फोटॉन पैकेट संचलन

चरण आकार, s, वह दूरी है जो फोटॉन पैकेट साइटों के बीच यात्रा करती है। चरण आकार चयन के लिए कई तरह की विधि होती है। नीचे फोटॉन चरण आकार चयन का एक मूल रूप है (उलटा रूपांतरण नमूनाकरण और बीयर-लैंबर्ट नियम का उपयोग करके प्राप्त किया गया है) जिससे हम अपने सजातीय नमूने के लिए उपयोग करते है:

$s=-{\frac {\ln \xi }{\mu _{t}}}$

जहाँ $\xi$ एक यादृच्छिक संख्या है और ${\mu _{t}}$ कुल अंतः क्रियात्मक गुणांक है (अर्थात, अवशोषण और प्रकीर्णन गुणांकों का योग)।

एक बार चरण आकार का चयन करने के बाद, फोटॉन पैकेट को दिशा कोसाइन द्वारा परिभाषित दिशा में दूरी s द्वारा प्रचारित किया जाता है। यह केवल निर्देशांकों को निम्नानुसार अद्यतन करके आसानी से पूरा किया जाता है:

${\begin{aligned}x&\leftarrow x+\mu _{x}s\\y&\leftarrow y+\mu _{y}s\\z&\leftarrow z+\mu _{z}s\end{aligned}}$

चरण 3: अवशोषण और बिखराव

प्रत्येक अंतः क्रिया स्थल पर फोटॉन भार का एक भाग अवशोषित हो जाता है। वजन का यह अंश निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

$\Delta W={\frac {\mu _{a}}{\mu _{t}}}W$

जहाँ ${\mu _{a}}$ अवशोषण गुणांक है।

वजन अंश तब एक सरणी में दर्ज किया जा सकता है यदि विशेष अध्ययन के लिए एक अवशोषण वितरण रुचि होती है। फोटॉन पैकेट का वजन निम्नानुसार अद्यतन किया जाता है:

$W\leftarrow W-\Delta W\,$

अवशोषण के बाद फोटॉन पैकेट बिखर जाता है। फोटॉन बिखराव कोण के कोसाइन के भारित औसत को बिखराव अनिसोट्रॉपी (g) के रूप में जाना जाता है, जिसका मान -1 और 1 के बीच होता है। यदि प्रकाशिक अनिसोट्रॉपी 0 है, तो यह सामान्यतः इंगित करता है कि बिखराव समदैशिक है। फोटॉन पैकेट (और इसलिए फोटॉन दिशा कोसाइन) की नई दिशा निर्धारित करने के लिए, हमें बिखराव फेज फ़ंक्शन को जानने की आवश्यकता होती है। अधिकांशतः हेन्ये-ग्रीनस्टीन चरण का उपयोग किया जाता है। फिर प्रकीर्णन कोण, θ, निम्न सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

$\cos \theta ={\begin{cases}{\frac {1}{2g}}\left[1+g^{2}-\left({\frac {1-g^{2}}{1-g+2g\xi }}\right)^{2}\right]&{\text{ if }}g\neq 0\\1-2\xi &{\text{ if }}g=0\end{cases}}$

और, ध्रुवीय कोण φ को सामान्यतः 0 के बीच समान रूप से वितरित माना जाता है $2\pi$ इस धारणा के आधार पर, हम निर्धारित कर सकते है:

$\varphi =2\pi \xi {\frac {}{}}$

इन कोणों और मूल दिशा कोसाइन के आधार पर, हम दिशा कोसाइन का एक नया सेट प्राप्त कर सकते है। नई प्रसार दिशा को वैश्विक समन्वय प्रणाली में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\mu '_{x}&={\frac {\sin \theta (\mu _{x}\mu _{z}\cos \varphi -\mu _{y}\sin \varphi )}{\sqrt {1-\mu _{z}^{2}}}}+\mu _{x}\cos \theta \\\mu '_{y}&={\frac {\sin \theta (\mu _{y}\mu _{z}\cos \varphi +\mu _{x}\sin \varphi )}{\sqrt {1-\mu _{z}^{2}}}}+\mu _{y}\cos \theta \\\mu '_{z}&=-{\sqrt {1-\mu _{z}^{2}}}\sin \theta \cos \varphi +\mu _{z}\cos \theta \\\end{aligned}}$

एक विशेष स्थिति के लिए

${\begin{aligned}\mu _{z}=1\end{aligned}}$

उपयोग

${\begin{aligned}\mu '_{x}&=\sin \theta \cos \varphi \\\mu '_{y}&=\sin \theta \sin \varphi \\\mu '_{z}&=\cos \theta \\\end{aligned}}$

या

${\begin{aligned}\mu _{z}=-1\end{aligned}}$

उपयोग

${\begin{aligned}\mu '_{x}&=\sin \theta \cos \varphi \\\mu '_{y}&=-\sin \theta \sin \varphi \\\mu '_{z}&=-\cos \theta \\\end{aligned}}$

सी कोड:

/************************* संकेतक *********************
* कोण थीटा, फाई द्वारा बिखरने के बाद नई दिशा कोसाइन।
* mux new=(sin(theta)*(mux*muz*cos(fi)-muy*sin(fi))/sqrt(1-muz^2)+mux*cos(थीटा)
* muy new=(sin(theta)*(muy*muz*cos(fi)+mux*sin(fi))/sqrt(1-muz^2)+muy*cos(थीटा)
* muz new= - sqrt(1-muz^2)*sin(theta)*cos(fi)+muz*cos(theta)
*------------------------------------------------ --------
* इनपुट:
* muxs, muys, muzs - टक्कर से पहले दिशा कोसाइन
* मुथेता, फाई - ध्रुवीय कोण का कोसाइन और अज़ीमुथल कोण
*------------------------------------------------ --------
* आउटपुट:
* muxd, muyd, muzd - टक्कर के बाद दिशा कोसाइन
*------------------------------------------------ --------
*/
शून्य संकेतक (डबल मक्स, डबल म्यूज़, डबल म्यूज़, डबल मुथेटा, डबल फाई, डबल *मक्स्ड, डबल *म्यूड, डबल *म्यूज़्ड)
{
 डबल कॉस्टहेटा = मुथेटा,
 डबल सिंथेटा = sqrt (1.0-कॉस्थेटा * कॉस्टहेटा), // पाप (थीटा)
 डबल पापी = पाप (फाई),
 डबल कॉस्फी = कॉस (फाई),
 अगर (मुज़ == 1.0) {
   *मक्सड = सिंथेटा*कॉस्फी,
   *मुयद = सिंथेता*सिन्फी,
   *मुजद = कॉस्टहेटा,
 } और (मुज़ == -1.0) {
   *मक्सड = सिंथेटा*कॉस्फी,
   *मुयद = -सिंथेटा*सिन्फी,
   *मुज्द = -कोस्थेता,
 } अन्य {
   डबल मूल्यवर्ग = sqrt(1.0-muzs*muzs),
   डबल मुजकॉस्फी = मुज*कॉस्फी,
   *मक्सड = सिंथेटा*(मक्सस*मुजकोस्फी-मुयस*सिनफी)/डेनोम + मक्सस*कोस्थेटा,
   *मुयद = सिंथेटा*(मुयस*मुजकोस्फी+मक्सस*सिनफी)/डेनोम + म्यूयस*कॉस्थेटा,
   *मुजद = -डेनोम*सिंथेटा*कॉस्फी + मुज*कॉस्थेटा,
 }
}

चरण 4: फोटॉन समाप्ति

यदि एक फोटॉन पैकेट ने कई अंतः क्रियाओं का अनुभव किया है, तो अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पैकेट में बचा हुआ वजन बहुत कम होता है। परिणाम स्वरूप, पर्याप्त छोटे वजन के फोटॉन पैकेट को समाप्त करने के लिए एक साधन निर्धारित करना आवश्यक होता है। एक सरल विधि एक चरण का उपयोग करती है, और यदि फोटॉन पैकेट का वजन सीमा से कम होता है, तो पैकेट को मृत माना जाता है। उपरोक्त विधि सीमित होती है क्योंकि यह ऊर्जा का संरक्षण नहीं करती है। कुल ऊर्जा को स्थिर रखने के लिए, एक रूसी रूलेट तकनीक को अधिकांशतः एक निश्चित वजन सीमा से नीचे फोटॉनों के लिए नियोजित किया जाता है। यह तकनीक यह निर्धारित करने के लिए रूलेट स्थिरांक m का उपयोग करती है कि फोटॉन जीवित रहता है या जीवित नहीं रहता है। फोटॉन पैकेट के पास जीवित रहने के लिए m के पास एक अवसर होता है, जिस स्थिति में इसे mW का नया भार दिया जाता है जहाँ W प्रारंभिक भार है (यह नया भार, औसतन ऊर्जा का संरक्षण करता है)। फोटॉन का वजन 0 पर सेट होता है और फोटॉन समाप्त हो जाता है। यह नीचे गणितीय रूप से व्यक्त किया गया है:

$W={\begin{cases}mW&\xi \leq 1/m\\0&\xi >1/m\end{cases}}$

ग्राफिक्स प्रसंस्करण इकाई (जीपीयू) और फोटॉन परिवहन के तेज मोंटे कार्लो कृत्रिम

टर्बिड मीडिया में फोटॉन स्थानांतरण मोंटे कार्लो कृत्रिम की एक अत्यधिक समांतर समस्या होती है, जहां बड़ी संख्या में फोटॉन स्वतंत्र रूप से प्रचारित होते है। इस विशेष प्रकार के मोंटे कार्लो कृत्रिम की समानांतर प्रकृति इसे ग्राफिक्स प्रसंस्करण इकाई (जीपीयू) पर निष्पादन के लिए अत्यधिक उपयुक्त बनाती है। निर्देश योग्य जीपीयू की प्रस्तुति ने इस तरह का विकास प्रारंभ किया, और 2008 के बाद से फोटॉन स्थानांतरण के हाई-स्पीड मोंटे कार्लो कृत्रिम के लिए जीपीयू के उपयोग पर कुछ रिपोर्ट आई थी।

एक साथ जुड़े कई जीपीयू का उपयोग करके इस मूल दृष्टिकोण को समानांतर किया जा सकता है। एक उदाहरण जीपीयू क्लस्टर एमसीएमएल होता है, जिसे लेखक की वेबसाइट (जीपीयू क्लस्टर पर आधारित बहुपरत टर्बिड मीडिया में प्रकाश परिवहन का मोंटे कार्लो कृत्रिम) से डाउनलोड किया जा सकता है: http://bmp.hust.edu.cn/GPU_Cluster/GPU_Cluster_MCML.HTM

यह भी देखें

• जैविक ऊतक में फोटॉन परिवहन के लिए विकिरण अंतरण समीकरण और प्रसार सिद्धांत
• मोंटे कार्लो विधि
• प्रकीर्णन मीडिया में प्रकाशिक ब्रॉड-बीम प्रतिक्रियाओं के लिए रूपांतरण
• इलेक्ट्रॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधियाँ

अन्य मोंटे कार्लो संसाधनों के लिंक

• सेंट लुइस में वाशिंगटन विश्वविद्यालय में प्रकाशिक प्रतिबिंब प्रयोगशाला (MCML)
• ओरेगन मेडिकल लेजर सेंटर
• लुंड यूनिवर्सिटी, स्वीडन में फोटॉन स्थानांतरण मोंटे कार्लो रिसर्च जीपीयू का त्वरण मोंटे कार्लो कृत्रिम और स्केलेबल मोंटे कार्लो। डाउनलोड के लिए ओपन सोर्स कोड।
• टर्बिड बिखराव माध्यम में प्रकाश परिवहन के लिए क्लाउड-आधारित मोंटे कार्लो यह टूल अनुसंधान और गैर-व्यावसायिक गतिविधियों में उपयोग करने के लिए निःशुल्क है।
• उदाहरण के रूप में ऊतक में प्रकाश परिवहन मोंटे कार्लो कृत्रिम (सी ++ स्रोत कोड के साथ)।

संदर्भ

• Wang, L-H; Wu Hsin-I (2007). Biomedical Optics: Principles and Imaging. Wiley.
• L.-H. Wang; S. L. Jacques; L.-Q. Zheng (1995). "MCML—Monte Carlo modeling of light transport in multi-layered tissues". Computer Methods and Programs in Biomedicine. 47 (2): 131–146. doi:10.1016/0169-2607(95)01640-F. PMID 7587160.
• L.-H. Wang; S. L. Jacques; L.-Q. Zheng (1997). "Conv—convolution for responses to a finite diameter photon beam incident on multi-layered tissues" (PDF). Computer Methods and Programs in Biomedicine. 54 (3): 141–150. doi:10.1016/S0169-2607(97)00021-7. PMID 9421660.
• S. L. Jacques; L.-H. Wang (1995). "Monte Carlo modeling of light transport in tissues" (PDF). In A. J. Welch; M. J. C. van Gemert (eds.). Optical Thermal Response of Laser Irradiated Tissue. New York: Plenum Press. pp. 73–100.
• L.-H. Wang; S. L. Jacques (1994). "Optimized radial and angular positions in Monte Carlo modeling" (PDF). Medical Physics. 21 (7): 1081–1083. Bibcode:1994MedPh..21.1081W. doi:10.1118/1.597351. PMID 7968840.

इनलाइन संदर्भ

श्रेणी:मोंटे कार्लो के विधि श्रेणी:फोटोनिक्स