अपने आप में सघन (डेन्स इन इटसेल्फ)

सामान्य टोपोलॉजी में, एक उपसमुच्चय $A$ टोपोलॉजिकल स्पेस को अपने आप में सघन कहा जाता है या भीड़

अगर $A$ कोई अलग बिंदु नहीं है. समान रूप से, $A$ यदि प्रत्येक बिंदु अपने आप में सघन है $A$ का एक सीमा बिंदु है $A$.

इस प्रकार $A$ अपने आप में सघन है यदि और केवल यदि $A\subseteq A'$, कहाँ $A'$ का व्युत्पन्न समुच्चय (गणित) है $A$.

अपने आप में सघन बंद समुच्चय को पूर्ण समुच्चय कहा जाता है। (दूसरे शब्दों में, एक पूर्ण समुच्चय पृथक बिंदु के बिना एक बंद समुच्चय है।)

सघन समुच्चय की धारणा अपने आप में सघनता से असंबंधित है। यह कभी-कभी भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि

उदाहरण

ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो अपने आप में सघन है लेकिन बंद नहीं है (और इसलिए पूर्ण समुच्चय नहीं है) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है (जिसे वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय माना जाता है)। यह सेट अपने आप में सघन है क्योंकि प्रत्येक पड़ोस (गणित) में एक अपरिमेय संख्या होती है $x$ इसमें कम से कम एक अन्य अपरिमेय संख्या शामिल है $y\neq x$. दूसरी ओर, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं होता क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या इसके समापन (टोपोलॉजी) में निहित होती है। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी अपने आप में सघन है परंतु वास्तविक संख्याओं के स्थान में बंद नहीं है।

उपरोक्त उदाहरण, अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं $\mathbb {R}$. एक उदाहरण के रूप में जो अपने आप में सघन है लेकिन अपने टोपोलॉजिकल स्पेस में सघन नहीं है, इस पर विचार करें $\mathbb {Q} \cap [0,1]$. यह सेट सघन नहीं है $\mathbb {R}$ लेकिन अपने आप में सघन है.

गुण

किसी स्थान का एक एकल (गणित) उपसमुच्चय $X$ कभी भी अपने आप में सघन नहीं हो सकता, क्योंकि उसमें उसका अद्वितीय बिंदु पृथक होता है।

किसी भी स्थान के अपने आप में सघन उपसमुच्चय समुच्चयों के मिलन के अंतर्गत बंद होते हैं। अपने आप में घने स्थान में, वे सभी खुले सेटों को शामिल करते हैं। अपने आप में सघन T1 स्थान में|T₁ अंतरिक्ष में वे सभी घने सेट शामिल करते हैं। हालाँकि, वे स्थान जो T नहीं हैं₁ इसमें घने उपसमुच्चय हो सकते हैं जो अपने आप में घने नहीं हैं: उदाहरण के लिए अंतरिक्ष में $X=\{a,b\}$ अविवेकी टोपोलॉजी के साथ, सेट $A=\{a\}$ घना है, लेकिन अपने आप में घना नहीं है।

किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।

सामान्य तौर पर, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। लेकिन एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन अपने आप में सघन-समुच्चय है।

यह भी देखें

• कहीं सघन सेट नहीं
• टोपोलॉजी की शब्दावली
• सघन क्रम

संदर्भ

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.

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