अरेखीय प्रणाली

गणित और विज्ञान में, गैर-रेखीय प्रणाली (या गैर-रेखीय प्रणाली) ऐसी प्रणाली है जिसमें आउटपुट का परिवर्तन इनपुट के परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) नहीं है। अरैखिक समस्याएँ अभियंता, जीवविज्ञानियों के लिए रूचिकर होती हैं। भौतिक विज्ञानी गणितज्ञ, और कई अन्य वैज्ञानिक क्योंकि अधिकांश प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से अरैखिक प्रकृति की हैं। समय के साथ चर में परिवर्तन का वर्णन करने वाली अरेखीय डायनेमिक प्रणालियाँ, बहुत सरल रैखिक प्रणालियों के विपरीत, अराजक, अप्रत्याशित या प्रति-सहज ज्ञान युक्त दिखाई दे सकती हैं।

सामान्यतः गैर-रेखीय प्रणाली के व्यवहार को गणित में समीकरण की गैर-रेखीय प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक साथ समीकरणों का सेट है जिसमें अज्ञात (या अंतर समीकरण के स्थितियों में अज्ञात कार्य) डिग्री के बहुपद के चर के रूप में दिखाई देते हैं। एक से अधिक या किसी फलन (गणित) के तर्क में जो डिग्री का बहुपद नहीं है।

दूसरे शब्दों में, समीकरणों की अरेखीय प्रणाली में, हल किए जाने वाले समीकरणों को उनमें दिखाई देने वाले अज्ञात चर (गणित) या फलन (गणित) के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रणाली को गैर-रेखीय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, तथापि ज्ञात रैखिक फलन समीकरणों में दिखाई देते हों। विशेष रूप से, अंतर समीकरण रैखिक होता है, यदि यह अज्ञात फलन और उसके डेरिवेटिव के संदर्भ में रैखिक है, तथापि इसमें दिखने वाले अन्य चर के संदर्भ में गैर-रैखिक हो।

चूंकि गैर-रेखीय गतिशील समीकरणों को हल करना कठिन होता है, इसलिए गैर-रेखीय प्रणालियों को सामान्यतः रैखिक समीकरणों (रैखिकीकरण) द्वारा अनुमानित किया जाता है। यह इनपुट मानों के लिए कुछ स्पष्टता और कुछ सीमा तक अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन कुछ दिलचस्प घटनाएं जैसे सॉलिटन, अराजकता सिद्धांत और गणितीय विलक्षणता रैखिककरण द्वारा छिपी हुई है। इसका तात्पर्य यह है कि गैर-रेखीय प्रणाली के गतिशील व्यवहार के कुछ पहलू प्रति-सहज ज्ञान युक्त, अप्रत्याशित या अराजक भी प्रतीत हो सकते हैं। चूँकि ऐसा अराजक व्यवहार यादृच्छिक व्यवहार जैसा हो सकता है, लेकिन वास्तव में यह यादृच्छिक नहीं है। उदाहरण के लिए, मौसम के कुछ पहलुओं को अव्यवस्थित देखा जाता है, जहां प्रणाली के भागों में साधारण परिवर्तन पूरे क्षेत्र में जटिल प्रभाव उत्पन करते हैं। यह गैर-रैखिकता उन कारणों में से एक है कि वर्तमान तकनीक के साथ सटीक दीर्घकालिक पूर्वानुमान असंभव क्यों हैं।

कुछ लेखक अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए अरेखीय विज्ञान शब्द का उपयोग करते हैं। यह शब्द अन्य लोगों द्वारा विवादित है:

अरेखीय विज्ञान जैसे शब्द का उपयोग करना प्राणीशास्त्र के बड़े भाग को गैर-हाथी जानवरों के अध्ययन के रूप में संदर्भित करने जैसा है।

— स्टैनिस्लाव उलम

परिभाषा

गणित में, रेखीय मानचित्र (या रैखिक फलन) $f(x)$ वह है जो निम्नलिखित दोनों गुणों को संतुष्ट करता है:

• एडिटिविटी या सुपरपोजिशन सिद्धांत: $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
• एकरूपता: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

योगात्मकता का तात्पर्य किसी भी परिमेय संख्या α के लिए एकरूपता से है, और, निरंतर कार्यों के लिए, किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सम्मिश्र संख्या α के लिए, समरूपता योगात्मकता से उत्पन्न नहीं होती है। उदाहरण के लिए एंटीलीनियर मानचित्र योगात्मक है लेकिन सजातीय नहीं है। योगात्मकता और समरूपता की स्थितियां अधिकांशतः सुपरपोजिशन सिद्धांत में संयुक्त होती हैं।

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

समीकरण के रूप में लिखा गया है।

$f(x)=C$

रेखीय मानचित्र, यदि रैखिक कहा जाता है तो $f(x)$ है (जैसा कि ऊपर परिभाषित है) अन्यथा अरेखीय है। समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि $C=0$ और $f(x)$ सजातीय कार्य है।

मानहानि $f(x)=C$ उसमें बहुत सामान्य है $x$ कोई भी समझदार गणितीय वस्तु (संख्या, वेक्टर, फलन, आदि) और फलन $f(x)$ हो सकता है, वस्तुतः कोई भी मानचित्र (गणित) हो सकता है, जिसमें संबद्ध बाधाओं (जैसे सीमा मान) के साथ एकीकरण या विभेदन सम्मिलित है। अगर $f(x)$ के संबंध में व्युत्पन्न सम्मिलित है $x$परिणाम विभेदक समीकरण होगा।

अरेखीय बीजगणितीय समीकरण

Main articles: बीजगणितीय समीकरण and बहुपद समीकरणों की प्रणाली

अरेखीय बीजगणितीय समीकरण, जिन्हें बहुपद समीकरण भी कहा जाता है, बहुपद (एक से अधिक डिग्री वाले) को शून्य के बराबर करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए,

$x^{2}+x-1=0\,.$

एकल बहुपद समीकरण के लिए, मूल-खोज एल्गोरिदम का उपयोग समीकरण के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है। (यानी, समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के लिए मानों का सेट) चूँकि, बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ अधिक जटिल हैं; उनका अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्र के लिए प्रेरणा है, जो आधुनिक गणित की कठिन शाखा है। यह तय करना और भी कठिन है कि क्या किसी दिए गए बीजगणितीय प्रणाली के जटिल समाधान हैं। (हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ देखें)। फिर भी, जटिल समाधानों की सीमित संख्या वाली प्रणालियों के स्थितियों में, बहुपद समीकरणों की ये प्रणालियाँ अब अच्छी तरह से समझी जाती हैं। और उन्हें हल करने के लिए कुशल विधियाँ उपस्थित हैं।

अरेखीय पुनरावृत्ति संबंध

अरेखीय पुनरावृत्ति संबंध किसी अनुक्रम के क्रमिक पदों को पूर्ववर्ती पदों के अरेखीय फलन के रूप में परिभाषित करता है। गैर-रेखीय पुनरावृत्ति संबंधों के उदाहरण लॉजिस्टिक मानचित्र और वे संबंध हैं। जो विभिन्न हॉफस्टैटर अनुक्रमों को परिभाषित करते हैं। अरेखीय असतत मॉडल जो अरेखीय पुनरावृत्ति संबंधों की विस्तृत श्रेणी का प्रतिनिधित्व करते हैं, उनमें नार्मैक्स (एक्सोजेनस इनपुट के साथ अरेखीय ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज) मॉडल और संबंधित अरेखीय प्रणाली पहचान और विश्लेषण प्रक्रियाएं सम्मिलित हैं। इन दृष्टिकोणों का उपयोग समय, आवृत्ति और स्थानिक-लौकिक डोमेन में जटिल गैर-रेखीय व्यवहारों की विस्तृत श्रेणी का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

अरेखीय अवकल समीकरण

विभेदक समीकरणों के युगपत समीकरण को अरैखिक कहा जाता है यदि यह रैखिक समीकरणों की प्रणाली नहीं है। अरेखीय अंतर समीकरणों से जुड़ी समस्याएं बहुत विविध हैं, और समाधान या विश्लेषण के विधि समस्या पर निर्भर हैं। अरेखीय विभेदक समीकरणों के उदाहरण द्रव गतिकी में नेवियर-स्टोक्स समीकरण और जीव विज्ञान में लोटका-वोल्टेरा समीकरण हैं।

अरेखीय समस्याओं की सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक यह है कि ज्ञात समाधानों को नए समाधानों में जोड़ना सामान्यतः संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, रैखिक समस्याओं में, सुपरपोज़िशन सिद्धांत के माध्यम से सामान्य समाधान बनाने के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के एक परिवार का उपयोग किया जा सकता है। इसका अच्छा उदाहरण डिरिक्लेट सीमा स्थितियों के साथ एक-आयामी ताप परिवहन है, जिसका समाधान विभिन्न आवृत्तियों के साइनसॉइड के समय-निर्भर रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; यह समाधानों को बहुत लचीला बनाता है. गैर-रेखीय समीकरणों के लिए कई विशिष्ट समाधान ढूंढना अधिकांशतः संभव होता है, चूँकि सुपरपोजिशन सिद्धांत की कमी नए समाधानों के निर्माण को रोकती है।

साधारण अवकल समीकरण

पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरण अधिकांशतः चरों को अलग करके बिल्कुल हल करने योग्य होते हैं, विशेषकर स्वायत्त समीकरणों के लिए के योग्य होते हैं। उदाहरण के लिए, अरेखीय समीकरण

${\frac {du}{dx}}=-u^{2}$

है।

सामान्य समाधान के रूप में (और विशेष समाधान भी) $u={\frac {1}{x+C}}$ होता है। $u=0,$ सामान्य समाधान की सीमा के अनुरूप जब C अनंत की ओर प्रवृत्त होता है)। समीकरण अरैखिक है क्योंकि इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।

${\frac {du}{dx}}+u^{2}=0$

और समीकरण का बायाँ भाग रैखिक फलन $u$ नहीं है और इसके व्युत्पन्न ध्यान दें कि यदि $u^{2}$ शब्द को $u$ से प्रतिस्थापित कर दिया गया, तो समस्या रैखिक होगी (घातीय क्षय समस्या)।

दूसरे और उच्चतर क्रम के साधारण अंतर समीकरण (अधिक सामान्यतः, गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ) शायद ही कभी बंद-रूप अभिव्यक्ति समाधान उत्पन्न करते हैं, चूँकि अंतर्निहित समाधान और गैर-प्राथमिक अभिन्न अंग वाले समाधान सामने आते हैं।

अरेखीय साधारण अंतर समीकरणों के गुणात्मक विश्लेषण के लिए सामान्य विधियों में सम्मिलित हैं:

• किसी भी संरक्षित मात्रा की जांच, विशेष रूप से हैमिल्टनियन प्रणालियों में
• संरक्षित मात्राओं के अनुरूप अपव्यय मात्राओं की जांच (ल्यपुनोव फलन देखें)।
• टेलर विस्तार के माध्यम से रैखिककरण
• चरों को अध्ययन के लिए सरल चीज़ों में बदलना
• द्विभाजन सिद्धांत
• परटर्बेशन सिद्धांत विधियां (बीजगणितीय समीकरणों पर भी लागू की जा सकती हैं)
• परिमित-अवधि के समाधान का अस्तित्व, जो कुछ गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरणों के लिए विशिष्ट परिस्थितियों में हो सकता है।

आंशिक अंतर समीकरण

Main article: अरैखिक आंशिक अवकल समीकरण

See also: अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों की सूची

गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों का अध्ययन करने के लिए सबसे साधारण मूलभूत दृष्टिकोण चर को बदलना (या अन्यथा समस्या को बदलना) है जिससे परिणामी समस्या सरल (संभवतः रैखिक) हो। कभी-कभी, समीकरण को एक या अधिक साधारण अंतर समीकरणों में परिवर्तित किया जा सकता है, जैसा कि चरों के पृथक्करण में देखा जाता है, जो हमेशा उपयोगी होता है चाहे परिणामी साधारण अंतर समीकरण हल करने योग्य हो या नहीं।

अन्य सामान्य (यद्यपि कम गणितीय) युक्ति, जिसका अधिकांशतः द्रव और ताप यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है, निश्चित विशिष्ट सीमा मूल्य समस्या में सामान्य, प्राकृतिक समीकरण को सरल बनाने के लिए स्केल विश्लेषण (गणित) का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, (बहुत) अरेखीय नेवियर-स्टोक्स समीकरण को गोलाकार पाइप में क्षणिक, लामिना, आयामी प्रवाह के स्थितियों में रैखिक आंशिक अंतर समीकरण में सरल बनाया जा सकता है; स्केल विश्लेषण ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके अंतर्गत प्रवाह लामिनायर और आयामी होता है और सरलीकृत समीकरण भी प्राप्त होता है।

अन्य विधियों में विशेषताओं की विधि की जांच करना और सामान्य अंतर समीकरणों के लिए ऊपर उल्लिखित विधियों का उपयोग करना सम्मिलित है।

पेंडुलम

Main article: पेंडुलम (गणित)

दाएँ

दाएँ

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के अंतर्गत घर्षण रहित पेंडुलम (गणित) की गतिशीलता क्लासिक, बड़े पैमाने पर अध्ययन की गई गैर-रेखीय समस्या है। लैग्रेंजियन यांत्रिकी का उपयोग करके, इसे दिखाया जा सकता है कि पेंडुलम की गति को आयामहीन अरेखीय समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0$

जहां गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर इंगित करता है और $\theta$ वह कोण है जो लोलक अपनी विश्राम स्थिति के साथ बनाता है, जैसा कि दाईं ओर चित्र में दिखाया गया है। इस समीकरण को हल करने की विधि का उपयोग करना है $d\theta /dt$ एक एकीकृत कारक के रूप में, जो अंततः परिणाम देगा।

$\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}$

जो अंतर्निहित समाधान है जिसमें अण्डाकार अभिन्न अंग सम्मिलित है। इस समाधान का सामान्यतः बहुत अधिक उपयोग नहीं होता है क्योंकि समाधान की अधिकांश प्रकृति गैर-प्राथमिक अभिन्न अंग (जब तक कि गैर-प्राथमिक नहीं) $C_{0}=2$ में छिपी होती है।

समस्या से निपटने का दूसरी विधियाँ टेलर विस्तार के माध्यम से रुचि के विभिन्न बिंदुओं पर किसी भी गैर-रैखिकता (इस स्थितियों में साइन फलन शब्द) को रैखिक बनाना है। उदाहरण के लिए, रैखिकरण $\theta =0$, जिसे छोटा कोण सन्निकटन कहा जाता है।

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0$

तब से $\sin(\theta )\approx \theta$ के लिए $\theta \approx 0$. यह अपने पथ के निचले भाग के पास पेंडुलम के दोलनों के अनुरूप सरल हार्मोनिक थरथरानवाला है। एक और रैखिककरण पर होगा $\theta =\pi$, पेंडुलम के सीधा ऊपर होने के अनुरूप:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0$

तब से $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ के लिए $\theta \approx \pi$. इस समस्या के समाधान में अतिशयोक्तिपूर्ण साइनसॉइड सम्मिलित हैं, और ध्यान दें कि छोटे कोण सन्निकटन के विपरीत, यह सन्निकटन अस्थिर है, जिसका अर्थ है कि $|\theta |$ सामान्यतः बिना किसी सीमा के बढ़ेगा, चूँकि सीमित समाधान संभव हैं। यह पेंडुलम को सीधा संतुलित करने की कठिनाई से मेल खाता है, यह वस्तुतः अस्थिर स्थिति है।

चारों ओर एक और दिलचस्प रैखिककरण संभव है $\theta =\pi /2$, जिसके आसपास $\sin(\theta )\approx 1$:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.$

यह मुक्त गिरावट की समस्या से मेल खाता है। पेंडुलम की गतिशीलता का बहुत ही उपयोगी गुणात्मक चित्र ऐसे रैखिककरणों को साथ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर चित्र में देखा गया है। अन्य तकनीकों का उपयोग (सटीक) चरण चित्र और अनुमानित अवधि खोजने के लिए किया जा सकता है।

अरेखीय गतिशील व्यवहार के प्रकार

• आयाम मृत्यु - प्रणाली में उपस्थित कोई भी दोलन अन्य प्रणाली के साथ किसी प्रकार की बातचीत या उसी प्रणाली द्वारा प्रतिक्रिया के कारण बंद हो जाता है।
• अराजकता सिद्धांत - किसी प्रणाली के मूल्यों की भविष्य में अनिश्चित काल तक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, और उतार-चढ़ाव अल्पकालिक होते हैं।
• बहुस्थिरता - दो या दो से अधिक स्थिर अवस्थाओं की उपस्थिति
• सॉलिटॉन्स - स्व-प्रबलित एकान्त तरंगें
• सीमा चक्र - स्पर्शोन्मुख आवधिक कक्षाएँ जिनकी ओर अस्थिर निश्चित बिंदु आकर्षित होते हैं।
• स्व-दोलन - विवृत विघटनकारी भौतिक प्रणालियों में होने वाले फीडबैक दोलन।

अरैखिक समीकरणों के उदाहरण

• बीजगणितीय रिकाटी समीकरण
• बॉल और बीम प्रणाली
• इष्टतम नीति के लिए बेलमैन समीकरण
• बोल्ट्ज़मान समीकरण
• कोलब्रुक समीकरण
• सामान्य सापेक्षता
• गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत
• इशिमोरी समीकरण
• कडोमत्सेव-पेटविआश्विली समीकरण
• कॉर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण
• लैंडौ-लाइफशिट्ज़-गिल्बर्ट समीकरण
• लिनार्ड समीकरण
• नेवियर-स्टोक्स द्रव गतिकी के समीकरण
• अरेखीय प्रकाशिकी
• नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण
• शक्ति-प्रवाह अध्ययन
• असंतृप्त जल प्रवाह के लिए रिचर्ड्स समीकरण
• सेल्फ-बैलेंसिंग यूनीसाइकिल
• साइन-गॉर्डन समीकरण
• वैन डेर पोल ऑसिलेटर
• व्लासोव समीकरण

यह भी देखें

• अलेक्जेंडर मिखाइलोविच ल्यपुनोव
• गतिशील प्रणाली
• प्रतिक्रिया
• आरंभिक दशा
• रैखिक प्रणाली
• मोड युग्मन
• वेक्टर सॉलिटॉन
• वोल्टेरा श्रृंखला

अग्रिम पठन

• Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard (2005). Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer Verlag. ISBN 9783540441250.
• Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (fourth ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. (2001). Nonlinear Systems. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Kreyszig, Erwin (1998). Advanced Engineering Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-15496-9.
• Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 978-0-387-98489-6.

बाहरी संबंध

• Command and Control Research Program (CCRP)
• New England Complex Systems Institute: Concepts in Complex Systems
• Nonlinear Dynamics I: Chaos at MIT's OpenCourseWare
• Nonlinear Model Library – (in MATLAB) a Database of Physical Systems
• The Center for Nonlinear Studies at Los Alamos National Laboratory