वितरणशीलता (अनुक्रम सिद्धांत)

आदेश सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, वितरण की सामान्य अवधारणा की विभिन्न धारणाएँ हैं, जो सर्वोच्च और निम्न के गठन पर लागू होती हैं। इनमें से अधिकांश आंशिक रूप से सुव्यवस्थित किए गए सेटों पर लागू होते हैं जो कम से कम जालक होते हैं, लेकिन वास्तविकता में यह अवधारणा अर्ध-जालक के लिए भी यथार्थ रूप से सामान्यीकृत की जा सकती है।

वितरणात्मक जालक

संभवतः वितरण का सबसे सामान्य प्रकार वह है जो जालकों के लिए परिभाषित है, जहां द्विआधारी सर्वोच्च और निम्न का गठन संयोजन ($\vee$) और सम्मेलन ($\wedge$) के पूर्ण संचालन प्रदान करता है। इन दोनों संक्रियाओं की वितरणशीलता को तब यह आवश्यक करके व्यक्त किया जाता है कि पहचान

$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$

सभी तत्वों x, y, और z के लिए बनी रहे। यह वितरण कानून 'वितरणात्मक जालक' के वर्ग को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि इस आवश्यकता को यह कहकर दोबारा दोहराया जा सकता है कि द्विआधारी सम्मेलन द्विआधारी संयोजन को संरक्षित करती है। ऊपर दिए गए कथन को उसके आदेश द्विपक्ष

$x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$

के समतुल्य माना जाता है, जिसका एक या अधिकतम गुण जालकों के लिए वितरणता की परिभाषा के लिए पर्याप्त होता है। वितरणात्मक जालक के विशिष्ट उदाहरण संपूर्ण सुव्यवस्थित किए गए सेट, बूलियन बीजगणित और हेटिंग बीजगणित हैं। प्रत्येक परिमित वितरणात्मक जालक सेटों की एक जालक के लिए समरूपता का आदेश देती है, जो समावेशन (बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय) द्वारा क्रमबद्ध होती है।

अर्ध जालक के लिए वितरण

सम्मेलन-अर्ध जालक के लिए वितरण की परिभाषा के लिए हैस आरेख।

एक अर्ध जालक एक आंशिक आदेशित सेट है जिसमें दो जालक संचालनों में से केवल एक होता है, जो या तो एक सम्मेलन-अर्ध जालक होता है या एक संयोजन-अर्ध जालक होता है। जब एक ही द्विआधारी संचालन होता है, तो स्पष्ट रूप से वितरणता को मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। फिर भी, दिए गए आदेश के साथ एकल संचालन के प्रभाव के कारण, वितरणता की निम्नलिखित परिभाषा संभव होती है। यदि सभी a, b और x के लिए एक सम्मेलन- अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो

यदि a ∧ b ≤ x होता है तो a′ और b' उपस्थित होते हैं जिसके लिए a ≤ a′, b ≤ b' और x = a′ ∧ b' होता है।

वितरणीय संयोजन-अर्ध जालक द्वित्वयापीत रूप से परिभाषित किया जाता है, यदि सभी a, b और x के लिए एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणीय होता है, तो

यदि x ≤ a ∨ b होता है तो ऐसे a′ और b′ उपस्थित होते हैं जिसके लिए a' ≤ a, b' ≤ b और x = a' ∨ b' होता है।

किसी भी स्थिति में, a' और b' को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। ये परिभाषाएं यहाँ उचित होती हैं क्योंकि किसी भी जालक L के लिए, निम्नलिखित विधियाँ सभी एक समान होती हैं

• L सम्मेलन-अर्ध जालक के रूप में वितरणात्मक है
• L संयोजन-अर्ध जालक के रूप में वितरणात्मक है
• L एक वितरणात्मक जालक है।

इस प्रकार कोई भी वितरणात्मक सम्मेलन-अर्ध जालक जिसमें द्विआधारी संयोजन उपस्थित होते हैं, वह एक वितरणात्मक जालक होता है। एक संयोजन-अर्ध जालक वितरणात्मक है यदि इसके आदर्शों के जालक (समावेशन के तहत) वितरणात्मक है।

वितरणशीलता की यह परिभाषा वितरणात्मक अक्षांशों के बारे में कुछ कथनों को वितरणात्मक अर्ध जालक के रूप में सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है।

पूर्ण जालकों के लिए वितरण नियम

एक पूर्ण जालक के लिए, विभिन्न उपसमूहों में निम्नतम और अधिकतम एक साथ होते हैं और इसलिए असीमित सम्मेलन और संयोजन संचालन उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार वितरण की कई विस्तारित धारणाओं का वर्णन किया जा सकता है। उदाहरण के रूप में, असीमित वितरणीय कानून के लिए, सीमित सम्मेलन विभिन्न संयोजनों पर वितरित हो सकते हैं, अर्थात्

$x\wedge \bigvee S=\bigvee \{x\wedge s\mid s\in S\}$

जालक के सभी तत्वों x और सभी उपसमुच्चय S के लिए संभव हो सकता है। इस गुण के साथ पूर्ण जालकों को 'फ़्रेम', 'लोकेल्स' या 'पूर्ण हेटिंग बीजगणित' कहा जाता है। वे निरर्थक सीन विज्ञान और स्टोन द्वैतीयता के संबंध में उत्पन्न होते हैं। यह वितरणात्मक नियम इसके दोहरे कथन

$x\vee \bigwedge S=\bigwedge \{x\vee s\mid s\in S\}$

के समतुल्य नहीं है जो दोहरे फ्रेम या पूर्ण सह-हेटिंग बीजगणित के वर्ग को परिभाषित करता है।

अब कोई इससे भी आगे जा सकता है और उन आदेशों को परिभाषित कर सकता है जहां मनमाना जोड़ मनमाने ढंग से मिलने पर वितरित होता है। ऐसी संरचनाओं को पूर्णतः वितरणात्मक जालक कहा जाता है। हालाँकि, इसे व्यक्त करने के लिए ऐसे फॉर्मूलेशन की आवश्यकता होती है जो थोड़े अधिक तकनीकी हों। एक दोहरे अनुक्रमित परिवार पर विचार करें {x_j,k | J में J, K में K(j)} एक पूर्ण जालक के तत्वों का, और F को J के प्रत्येक सूचकांक j के लिए K(j) में कुछ सूचकांक f(j) चुनने के लिए पसंदीदा कार्यों का सेट होने दें। एक पूर्ण जालक 'पूरी तरह से वितरणात्मक' है यदि ऐसे सभी डेटा के लिए निम्नलिखित कथन मान्य है:

$\bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K(j)}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}$

पूर्ण वितरण फिर से एक स्व-दोहरी संपत्ति है, यानी उपरोक्त कथन को दोहराने से पूर्ण अक्षांशों का एक ही वर्ग प्राप्त होता है। पूरी तरह से वितरणात्मक पूर्ण जालक (संक्षेप में पूरी तरह से वितरणात्मक जालक भी कहा जाता है) वास्तव में अत्यधिक विशेष संरचनाएं हैं। पूरी तरह से वितरणात्मक जालकों पर लेख देखें।

साहित्य

वितरण एक बुनियादी अवधारणा है जिसका वर्णन जालक और क्रम सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में किया जाता है। आदेश सिद्धांत और जालक सिद्धांत पर लेखों के लिए दिया गया साहित्य देखें। अधिक विशिष्ट साहित्य में शामिल हैं:

• जी.एन. राने, कम्प्लीटली डिस्ट्रीब्यूटिव कम्प्लीट लैटिस, प्रोसीडिंग्स ऑफ द अमेरिकन गणितीय सोसायटी, 3: 677 - 680, 1952।

श्रेणी:आदेश सिद्धांत