गैबोर परिवर्तन

गैबोर परिवर्तन, जिसका नाम डेनिस गैबोर के नाम पर रखा गया है, कम समय के फूरियर परिवर्तन की विशेष स्थिति है। इसका उपयोग संकेत के स्थानीय खंडों की ज्या तरंग आवृत्ति और चरण (तरंगों) विवरण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह समय के साथ बदलता है। रूपांतरित किए जाने वाले फलन को पहले गॉसियन फलन से गुणा किया जाता है, जिसे गवाक्ष फलन के रूप में माना जा सकता है, और परिणामी फलन को समय-आवृत्ति विश्लेषण प्राप्त करने के लिए फूरियर परिवर्तन के साथ रूपांतरित किया जाता है। गवाक्ष फलन का अर्थ है कि विश्लेषण किए जा रहे समय के निकट संकेत का भार अधिक होगा। संकेत x(t) का गैबोर रूपांतरण इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$

गाऊसी फलन का परिमाण.

इस प्रकार से गॉसियन फलन की सीमा अनंत है और यह कार्यान्वयन के लिए अव्यावहारिक है। यद्यपि, गॉसियन फलन के वितरण के लिए महत्व का स्तर चुना जा सकता है (उदाहरण के लिए 0.00001)।

${\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}$

अतः समाकलन की इन सीमाओं ($\left|a\right|>1.9143$) के बाहर गाऊसी फलन इतना छोटा है कि इसे अनदेखा किया जा सकता है। इस प्रकार गैबोर परिवर्तन का संतोषजनक रूप से

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$ के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

इस प्रकार से यह सरलीकरण गैबोर परिवर्तन को व्यावहारिक और साकार करने योग्य बनाता है।

अतः कुछ चुने हुए $\alpha$ के लिए ${-{\pi }(t-\tau )^{2}}$ को ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ से प्रतिस्थापित करके किसी विशेष अनुप्रयोग के लिए समय-आवृत्ति विभेदक समन्वयन को अनुकूलित करने के लिए गवाक्ष फलन की चौड़ाई को भी बदला जा सकता है।

व्युत्क्रम गैबोर रूपांतरण

इस प्रकार से गैबोर परिवर्तन व्युत्क्रम है। क्योंकि यह अति-पूर्ण है, मूल संकेत को विभिन्न विधियों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गैर गवाक्षन दृष्टिकोण का उपयोग किसी भी $\tau _{0}\in (-\infty ,\infty )$ के लिए भी किया जा सकता है :

$x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega$

वैकल्पिक रूप से, समय के सभी घटकों को साथ जोड़ा जा सकता है:

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d\tau$

गैबोर परिवर्तन के गुण

इस प्रकार से गैबोर परिवर्तन में फूरियर परिवर्तन के जैसे कई गुण हैं। ये गुण निम्नलिखित तालिकाओं में सूचीबद्ध हैं।

	संकेत	गैबोर परिवर्तन	विचार
	$x(t)\,$	$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,$	रैखिकता गुण
2	$x(t-t_{0})\,$	$G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,$	स्थानांतरण गुण
3	$x(t)e^{j\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,$	मॉडुलन गुण

		विचार
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt\approx \int _{\tau -1.9143}^{\tau +1.9143}\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt$	सामर्थ्य समाकलन गुण
2	$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{*}(\tau ,\omega )\,d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{*}(t)\,d\tau$	उर्जा योग गुण
3	${\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}$	शक्ति क्षय गुण
4	$\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)$	प्राप्‍ति गुण

अनुप्रयोग और उदाहरण

समय/आवृत्ति वितरण.

इस प्रकार से गैबोर परिवर्तन का मुख्य अनुप्रयोग समय-आवृत्ति विश्लेषण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए निम्नलिखित फलन को लें। अतः निवेश संकेत में t ≤ 0 होने पर 1 Hz आवृत्ति घटक होता है और t > 0

$x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0\end{cases}}$ होने पर 2 Hz आवृत्ति घटक होता है।

परन्तु यदि उपलब्ध कुल बैंडविस्तार 5 हर्ट्ज है, तो x(t) को छोड़कर अन्य आवृत्ति बैंड निकृष्ट हो जाते हैं। इस प्रकार से गैबोर परिवर्तन को लागू करके समय-आवृत्ति विश्लेषण के माध्यम से, उपलब्ध बैंडविस्तार को जाना जा सकता है और उन आवृत्ति बैंडों का उपयोग अन्य अनुप्रयोगों के लिए किया जा सकता है और बैंडविस्तार को बचाया जा सकता है। इस प्रकार से दाईं ओर के प्रतिचित्र निवेश संकेत x(t) और गैबोर परिवर्तन का निर्गम दिखाती है। अतः जैसी कि हमारी अपेक्षा थी, आवृत्ति वितरण को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। t ≤ 0 है और दूसरा t > 0 है। इस प्रकार से सफेद भाग x(t) द्वारा व्याप्त आवृत्ति बैंड है और काले भाग का उपयोग नहीं किया जाता है। ध्यान दें कि समय के प्रत्येक बिंदु के लिए ऋणात्मक आवृत्ति (ऊपरी सफेद भाग) और धनात्मक (निचला सफेद भाग) आवृत्ति घटक दोनों होते हैं।

असतत गैबोर-परिवर्तन

इस प्रकार से इन समीकरणों में गैबोर-आधार-फलन को अलग करके $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ के साथ गैबोर प्रतिनिधित्व

$y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)$

का एक अलग संस्करण सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। अतः इसके द्वारा निरंतर पैरामीटर t को असतत समय k द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके अतिरिक्त गैबोर प्रतिनिधित्व में अब सीमित योग सीमा पर विचार किया जाना चाहिए। इस प्रकार, प्रतिदर्श संकेत y(k) को लंबाई N के M समय फ़्रेम में विभाजित किया गया है। $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ के अनुसार, महत्वपूर्ण प्रतिदर्श के लिए कारक, Ω $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$ है।

अतः डीएफटी (असतत फूरियर परिवर्तनीय) के समान N असतत विभाजन में विभाजित आवृत्ति प्रांत प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार से इन N वर्णक्रमीय विभाजनों का व्युत्क्रम परिवर्तन तब समय गवाक्ष के लिए N मान y(k) प्रतिदर्श मान सम्मिलित हैं। अतः N प्रतिदर्श मानों के साथ समग्र M समय गवाक्ष के लिए, प्रत्येक संकेत y(k) में K = N $\cdot$ M प्रतिदर्श मान: (असतत गैबोर प्रतिनिधित्व)

$g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$

साथ

$y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)$ है।

इस प्रकार से उपरोक्त समीकरण के अनुसार, N $\cdot$ M गुणांक $C_{nm}$ संकेत के प्रतिदर्श मान K की संख्या के अनुरूप है।

अतः अति-प्रतिदर्शकरण के लिए $\Omega$ को N′ > N के साथ $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}$ पर समूहित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप असतत गैबोर प्रतिनिधित्व के दूसरे योग में N′ > N योग गुणांक प्राप्त होता है। इस स्थिति में, प्राप्त गैबोर-गुणांक की संख्या M$\cdot$N′> K होगी। इसलिए, प्रतिदर्श मानों की तुलना में अधिक गुणांक उपलब्ध हैं और इसलिए अनावश्यक प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जाएगा।

सोपानी गैबोर परिवर्तन

इस प्रकार से जैसे कि कम समय में फूरियर रूपांतरण, समय और आवृत्ति प्रांत में विभेदन को अलग-अलग गवाक्ष फलन चौड़ाई चुनकर समायोजित किया जा सकता है। अतः गैबर में निम्नलिखित समीकरण के अनुसार, भिन्नता $\sigma$ जोड़कर स्थितियों को रूपांतरित करें:

सोपानी (सामान्यीकृत) गॉसियन गवाक्ष इस प्रकार दर्शाती है:

$W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}$

तो सोपानी गैबोर परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad$

अतः बड़े $\sigma$ के साथ, गवाक्ष फलन संकीर्ण होगा, जिससे समय प्रांत में उच्च विभेदन होगा परन्तु आवृत्ति प्रांत में निम्न विभेदन होगा। इसी प्रकार, छोटा $\sigma$ एक विस्तृत गवाक्ष की ओर ले जाएगा, जिसमें आवृत्ति प्रांत में उच्च विभेदक परन्तु समय प्रांत में निम्न विभेदन होगा।

गैबोर परिवर्तन का समय-कारण एनालॉग

इस प्रकार से अस्थायी संकेतों को संसाधित करते समय, भविष्य के डेटा तक नहीं पहुंचा जा सकता है, जिससे वास्तविक समय संकेतों को संसाधित करने के लिए गैबोर फलन का उपयोग करने का प्रयास करने पर समस्याएं उत्पन्न होती हैं। अतः गैबर फलन में गाऊसी कर्नेल को समय-कारण और समय-पुनरावर्ती कर्नेल के साथ बदलने के आधार पर गैबोर निस्यन्दक का एक समय-कारण एनालॉग विकसित किया गया है जिसे समय-कारण सीमा कर्नेल के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार, समय-कारण सीमा कर्नेल के परिणामी जटिल-मान विस्तार के आधार पर समय-आवृत्ति विश्लेषण एक अस्थायी संकेत के अनिवार्य रूप से समान परिवर्तनों को पकड़ना संभव बनाता है जैसा कि गैबोर फलन कर सकता है और अधिक सूचना के लिए हाइजेनबर्ग समूह के अनुरूप को देखे।

यह भी देखें

• गैबोर निस्यन्दक
• गैबोर तरंगिका
• गैबोर परमाणु
• समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
• एस परिवर्तन
• अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
• विग्नर वितरण फलन

संदर्भ

• D. Gabor, Theory of Communication, Part 1, J. Inst. of Elect. Eng. Part III, Radio and Communication, vol 93, p. 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf)
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.