लांबिक फलन

गणित में, लाम्बिक फलन फलन समष्टि से संबंधित होते हैं जो सदिश समष्टि होता है जो द्विरेखीय रूप से सुसज्जित होता है। जब फलन समष्टि में फलन के प्रांत के रूप में अंतराल (गणित) होता है, तो द्विरैखिक रूप अंतराल पर फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग हो सकता है:

$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.$

फलन $f$ और $g$ लाम्बिक होते हैं जब यह पूर्णांक शून्य होता है, अर्थात $\langle f,\,g\rangle =0$ जब भी $f\neq g$ होता है। परिमित-विमीय समष्टि में सदिश के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, लाम्बिक फलन फलन समष्टि के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। वैचारिक रूप से, उपरोक्त पूर्णांक सदिश बिंदु गुणनफल के समतुल्य है; यदि उनका बिंदु-गुणनफल शून्य है तो दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लाम्बिक) होते हैं।

मान लीजिए $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ गैर-शून्य L²-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ के लाम्बिक फलनों का क्रम है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ L²-मानदंड एक के फलनों का है, जो एक लम्बवत अनुक्रम बनाता है। परिभाषित L²-मानदंड के लिए, पूर्णांक को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फलन को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।

त्रिकोणमितीय फलन

Main articles: फूरियर श्रेणी and सुसंगत विश्लेषण

लाम्बिक फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलन के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, जब $m\neq n$ और n धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो ज्या फलन sin nx और sin mx अंतराल $x\in (-\pi ,\pi )$ पर लाम्बिक होते हैं। तब

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right)$

के लिए, और दो ज्या फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग समाप्त हो जाता है। कोटिज्या फलन के साथ, इन लाम्बिक फलन को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फलन को अनुमानित करने के लिए त्रिकोणमितीय बहुपद में एकत्रित किया जा सकता है।

बहुपद

Main article: लम्बिक बहुपद

यदि कोई अंतराल $[-1,1]$ पर एकपदी अनुक्रम $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ से प्रारंभ करता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है,तो उसे लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। लाम्बिक बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

लाम्बिक बहुपदों के अध्ययन में भार फलन $w(x)$ सम्मिलित होते हैं जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला जाता है:

$\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.$

$(0,\infty )$ पर लैगुएरे बहुपद के लिए भार फलन $w(x)=e^{-x}$ है।

भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों $(-\infty ,\infty )$ पर हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ है।

चेबीशेव बहुपदों को $[-1,1]$ पर परिभाषित किया गया है और भार ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ का उपयोग किया गया है।

ज़र्निक बहुपद को इकाई चक्रिका पर परिभाषित किया गया है और इसमें त्रिज्यीय और कोणीय दोनों भागों की लंबिकता है।

बाइनरी-मान फलन

वाल्श फलन और उसकी तरंगिका अलग-अलग श्रेणियों के साथ लाम्बिक फलन के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत फलन

x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों का प्लॉट।

लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए लाम्बिक वर्ग [−1, 1] प्रदान करते हैं जबकि कभी-कभी लाम्बिक वर्गों [0, ∞) की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में तर्क लाने के लिए पहले केली परिवर्तन वास्तविक होमोग्राफी [−1, 1] को लागू करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लाम्बिक फलन के वर्ग बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।

विभेदक समीकरणों में

सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के हलों को प्रायः लाम्बिक हल फलनों (या आइगेनफलन ) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला बनती है।

यह भी देखें

• आइगेनमान एवं आइगेनसदिश
• हिल्बर्ट समष्टि
• करहुनेन-लोवे प्रमेय
• लॉरीसेला का प्रमेय
• वानियर फलन

संदर्भ

• George B। Arfken & Hans J। Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press।
• Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
• Giovanni Sansone (translated by Ainsley H। Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers।

बाहरी संबंध

• Orthogonal Functions, on MathWorld।