स्क्वीज़ प्रमेय

"Sandwich theorem" redirects here. For the result in measure theory, see Ham sandwich theorem.

जब कोई अनुक्रम समान सीमा वाले दो अन्य अभिसरण अनुक्रमों के बीच स्थित होता है, तो वह इस सीमा तक भी परिवर्तित हो जाता है।

गणना में, निचोड़ प्रमेय (जिसे अन्य नामों के साथ सैंडविच प्रमेय भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन की सीमा के संबंध में एक प्रमेय है जो दो अन्य कार्यों के बीच फंसा हुआ है।

निचोड़ प्रमेय का उपयोग कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है, आमतौर पर दो अन्य कार्यों के साथ तुलना के माध्यम से एक फ़ंक्शन की सीमा की पुष्टि करने के लिए जिनकी सीमाएं ज्ञात होती हैं। इसका पहली बार ज्यामितीय रूप से उपयोग गणितज्ञ आर्किमिडीज़ और कनिडस के यूडोक्सस द्वारा पाई की गणना करने के प्रयास में किया गया था।π, और कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा आधुनिक शब्दों में तैयार किया गया था।

कथन

निचोड़ प्रमेय औपचारिक रूप से इस प्रकार बताया गया है।

Theorem —  Let I be an interval containing the point a. Let g, f, and h be functions defined on I, except possibly at a itself. Suppose that for every x in I not equal to a, we have

$$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$$

and also suppose that

$$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$$

Then $\lim _{x\to a}f(x)=L.$

• कार्य ${\textstyle g}$ और ${\textstyle h}$ की ऊपरी सीमा (क्रमशः) कही जाती है ${\textstyle f}$.
• यहाँ, ${\textstyle a}$ के आंतरिक (टोपोलॉजी) में स्थित होने की आवश्यकता नहीं है ${\textstyle I}$. वास्तव में, यदि ${\textstyle a}$ का एक समापन बिंदु है ${\textstyle I}$, तो उपरोक्त सीमाएँ बाएँ या दाएँ हाथ की सीमाएँ हैं।
• एक समान कथन अनंत अंतरालों के लिए लागू होता है: उदाहरण के लिए, यदि ${\textstyle I=(0,\infty )}$, तो निष्कर्ष मान्य है, सीमाओं को मानते हुए ${\textstyle x\to \infty }$.

यह प्रमेय अनुक्रमों के लिए भी मान्य है। होने देना $(a_{n}),(c_{n})$ दो अनुक्रमों का अभिसरण हो $\ell$, और $(b_{n})$ एक क्रम। अगर $\forall n\geq N,N\in \mathbb {N}$ अपने पास $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$, तब $(b_{n})$ भी जुट जाता है $\ell$.

प्रमाण

उपरोक्त परिकल्पनाओं के अनुसार, हम निम्न और श्रेष्ठ की सीमा लेते हैं:

$$L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$$

इसलिए सभी असमानताएँ वास्तव में समानताएँ हैं, और थीसिस तुरंत अनुसरण करती है।

का उपयोग करते हुए एक प्रत्यक्ष प्रमाण $(\varepsilon ,\delta )$-सीमा की परिभाषा, इसे वास्तविक रूप से सिद्ध करना होगा ${\textstyle \varepsilon >0}$ वहाँ एक वास्तविकता मौजूद है $\delta >0$ ऐसा कि सभी के लिए $x$ साथ $|x-a|<\delta$, अपने पास $|f(x)-L|<\varepsilon$. प्रतीकात्मक रूप से,

$$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).$$

जैसा

$$\lim _{x\to a}g(x)=L$$

मतलब कि

$$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).$$

(1)

और

$$\lim _{x\to a}h(x)=L$$

मतलब कि

$$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),$$

(2)

तो हमारे पास हैं

$$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$$

$$g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L$$

हम चुन सकते हैं $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$. तो अगर $|x-a|<\delta$, संयोजन (1) और (2), अपने पास

$$-\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,$$

$$-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,$$

जो प्रमाण को पूरा करता है। क्यू.ई.डी

अनुक्रमों के लिए प्रमाण बहुत समान है, का उपयोग करते हुए $\varepsilon$-किसी अनुक्रम की सीमा की परिभाषा.

उदाहरण

पहला उदाहरण

x² sin(1/x) को x के 0 पर जाने पर सीमा में दबाया जा रहा है

सीमा

$$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$$

सीमा कानून के माध्यम से निर्धारित नहीं किया जा सकता

$$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),$$

क्योंकि

$$\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$$

मौजूद नहीं होना।

हालाँकि, साइन फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार,

$$-1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.$$

यह इस प्रकार है कि

$$-x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}$$

तब से $\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$, निचोड़ प्रमेय द्वारा, $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ भी 0 होना चाहिए.

दूसरा उदाहरण

क्षेत्रों की तुलना:
${\begin{aligned}&\,A(\triangle ADF)\geq A({\text{sector}}\,ADB)\geq A(\triangle ADB)\\\Rightarrow &\,{\frac {1}{2}}\cdot \tan(x)\cdot 1\geq {\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi \geq {\frac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot 1\\\Rightarrow &\,{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\geq x\geq \sin(x)\\\Rightarrow &\,{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{x}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}}\\\Rightarrow &\,\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1\end{aligned}}$

संभवतः निचोड़कर सीमा खोजने के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण समानता के प्रमाण हैं

$${\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0.\end{aligned}}$$

पहली सीमा इस तथ्य से निचोड़ प्रमेय के माध्यम से अनुसरण करती है

$$\cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1$$

x के लिए 0 के काफी करीब है। सकारात्मक x के लिए इसकी शुद्धता को सरल ज्यामितीय तर्क (ड्राइंग देखें) द्वारा देखा जा सकता है जिसे नकारात्मक x तक भी बढ़ाया जा सकता है। दूसरी सीमा निचोड़ प्रमेय और इस तथ्य से अनुसरण करती है

$$0\leq {\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq x$$

x के लिए 0 के काफी करीब है। इसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $\sin(x)$ द्वारा पहले तथ्य में ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$ और परिणामी असमानता का वर्ग करना।

इन दो सीमाओं का उपयोग इस तथ्य के प्रमाण में किया जाता है कि साइन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कोसाइन फ़ंक्शन है। त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के अन्य प्रमाणों में उस तथ्य पर भरोसा किया जाता है।

तीसरा उदाहरण

यह दिखाना संभव है

$${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$$

निचोड़कर, इस प्रकार।

दाईं ओर के चित्रण में, वृत्त के दो छायांकित क्षेत्रों में से छोटे का क्षेत्रफल है

$${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},$$

चूंकि त्रिज्या सेकंड θ है और इकाई वृत्त पर चाप की लंबाई Δθ है। इसी प्रकार, दो छायांकित क्षेत्रों में से बड़े का क्षेत्रफल है

$${\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.$$

उनके बीच जो दबाया गया है वह त्रिभुज है जिसका आधार ऊर्ध्वाधर खंड है जिसके अंत बिंदु दो बिंदु हैं। त्रिभुज के आधार की लंबाई tan(θ + Δθ) - tan(θ) है, और ऊंचाई 1 है। इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल है

$${\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}.$$

असमानताओं से

$${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}$$

हम उसका निष्कर्ष निकालते हैं

$$\sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),$$

प्रदान किया गया Δθ > 0, और यदि Δθ < 0 है तो असमानताएं उलट जाती हैं। चूँकि पहली और तीसरी अभिव्यक्तियाँ सेकंड के करीब आती हैं²θ जैसे Δθ → 0, और मध्य अभिव्यक्ति निकट आती है d/dθ टैन θ, वांछित परिणाम निम्नानुसार है।

चौथा उदाहरण

निचोड़ प्रमेय का उपयोग अभी भी बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस में किया जा सकता है, लेकिन निचला (और ऊपरी फ़ंक्शन) लक्ष्य फ़ंक्शन के नीचे (और ऊपर) होना चाहिए, न कि केवल एक पथ के साथ, बल्कि रुचि के बिंदु के पूरे पड़ोस के आसपास और यह केवल तभी काम करता है जब फ़ंक्शन वास्तव में वहां एक सीमा है। इसलिए, इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की एक बिंदु पर एक सीमा होती है, लेकिन इसका उपयोग यह साबित करने के लिए कभी नहीं किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की किसी बिंदु पर कोई सीमा नहीं होती है।

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$$

बिंदु से गुजरने वाले रास्तों पर किसी भी संख्या में सीमाएँ लेकर इसे नहीं पाया जा सकता है, लेकिन तब से

$$0\leq {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq 1$$

$$-\left|y\right\vert \leq y\leq \left|y\right\vert$$

$$-\left|y\right\vert \leq {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq \left|y\right\vert$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}-\left|y\right\vert =0$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|y\right\vert =0$$

$$0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq 0$$

इसलिए, निचोड़ प्रमेय द्वारा,

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0$$

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Squeezing Theorem". MathWorld.
• Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
• Squeeze Theorem on ProofWiki.