कैलाबी त्रिकोण

कैलाबी त्रिभुज यूजेनियो कैलाबी द्वारा पाया जाने वाला एक विशेष त्रिभुज के रूप में है तथा इसके द्वारा उसके सबसे बड़े वर्ग के लिए तीन भिन्न -भिन्न स्थानों के होने की व्याख्या की गई है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में होता है, जो एक अपरिमेय संख्या के साथ ऑब्टुस त्रिभुज के रूप में होता है। लेकिन इसकी भुजाओं की लंबाई और इसके आधार के बीच बीजगणितीय संख्या अनुपात होता है।

परिभाषा

सबसे बड़े वर्ग पर विचार करें जिसे एक स्वेच्छ त्रिभुज में रखा जा सकता है। ऐसा हो सकता है कि इस तरह के वर्ग को त्रिभुज में एक से अधिक तरीकों से रखा जा सकता है। यदि इस तरह के सबसे बड़े वर्ग को तीन अलग-अलग तरीकों से रखा जा सकता है, तो त्रिभुज या तो एक समबाहु त्रिभुज है या कैलाबी त्रिभुज है। इस प्रकार, कैलाबी त्रिभुज को ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो समबाहु नहीं है और इसके सबसे बड़े वर्ग के लिए तीन स्थान हैं।

आकार

कैलाबी त्रिभुज समद्विबाहु है। किसी भी पैर के आधार का अनुपात है

$x={1 \over 3}{\Bigg (}1+{\sqrt[{3}]{-23+3i{\sqrt {237}} \over 4}}+{\sqrt[{3}]{-23-3i{\sqrt {237}} \over 4}}{\Bigg )}=1.55138752454...\,.$

त्रिभुज मितीय कार्यों का उपयोग करके यह मान जटिल संख्याओं के बिना भी व्यक्त किया जा सकता है:

$x={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.$

यह किसी फलन का सबसे बड़ा धनात्मक शून्य है

$2x^{3}-3x^{2}-2x+2=0$

और अंश प्रतिनिधित्व जारी रखा है [1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, ...]।

कैलाबी त्रिभुज आधार कोण 39.1320261...° और तीसरा कोण 101.7359477...° वाला अधिककोण त्रिभुज है।

यह भी देखें

• सबसे बड़ा छोटा बहुभुज