निष्पीडन प्रतिचित्रण

प्रतिरूप: निष्पीडन r=1.5.svg|thumb|right|आर = 3/2 निष्पीडन प्रतिचित्रण

रैखिक बीजगणित में, 'निष्पीडन प्रतिचित्रण', जिसे 'निष्पीडन परिवर्तन' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक प्रतिचित्र है जो कार्तीय तल में क्षेत्रों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, परन्तु घूर्णन (गणित) या अपरूपण प्रतिचित्रण नहीं है।

एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए , प्रतिचित्रण

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

पैरामीटर $a$ के साथ निष्पीडन प्रतिचित्रण है। चूँकि

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constant} \}

एक अतिपरवलय है, यदि $u = ax$ और $v = y / a$ , तो $uv = xy$ और निष्पीडन प्रतिचित्रण के प्रतिरूप के बिंदु उसी अतिपरवलय पर हैं जैसे $(x, y)$ है। इस कारण से निष्पीडन प्रतिचित्रण को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि 1914 में एमिल बोरेल ने वृत्तीय घूर्णन के अनुरूप किया था किया था,^[1] जो वृत्ताकार को संरक्षित करता है।

लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण

निष्पीडन प्रतिचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण तैयार करता है। अतिपरवलय से घिरे क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे $xy = 1)$ चतुर्भुज (गणित) में से है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट और अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा द्वारा पाए गए हल के लिए प्राकृतिक लघुगणक फलन, नवीन अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि अतिपरवलयिक क्षेत्रों के माध्यम से आती है जिन्हें उनके क्षेत्र को संरक्षित करते हुए निष्पीडन प्रतिचित्रण द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल उस क्षेत्र से जुड़े अतिपरवलयिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक क्षेत्र अवधारणा कोण से अत्यधिक स्वतंत्र है, परन्तु इसके साथ अपरिवर्तनीयता के गुण साझा करती है: जबकि वृत्तीय कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण निष्पीडन प्रतिचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। वृत्ताकार और अतिपरवलयिक दोनों कोण अपरिवर्तनीय माप उत्पन्न करते हैं परन्तु विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में। अतिपरवलयिक फलन, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वही भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ निभाते हैं।^[2]

समूह सिद्धांत

एक निष्पीडन प्रतिचित्रण बैंगनी अतिपरवलयिक सेक्टर को उसी क्षेत्र के साथ दूसरे में ले जाती है।
यह नीले और हरे आयतों को भी निष्पीडित करता है।

1688 में, अमूर्त समूह सिद्धांत से बहुत पहले, यूक्लिड स्पीडेल द्वारा दिन के संदर्भ में निष्पीडन प्रतिचित्रण का वर्णन किया गया था: वर्ग और सतह पर ओब्लांगों की अनंत कंपनी से, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, कैसे वक्र उत्पन्न होता है जो होगा समकोण शंकु के भीतर अंकित किसी भी अतिपरवलय के समान गुण या स्नेह होते हैं।^[3]

अगर $r$ और $s$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, उनके निष्पीडन प्रतिचित्रण की फलन संरचना उनके उत्पाद की निष्पीडन प्रतिचित्रण है। इसलिए, निष्पीडन प्रतिचित्रण का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणक समूह के लिए एक-पैरामीटर समूह आइसोमोर्फिक बनाता है। इस समूह का योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों पर विचार करने से उत्पन्न होता है।

शास्त्रीय समूहों के दृष्टिकोण से, निष्पीडन प्रतिचित्रण का समूह है $SO + (1,1)$ , द्विघात रूप को संरक्षित करते हुए 2×2 वास्तविक मैट्रिक्स के अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह का पहचान घटक $u 2 - v 2$ . यह फॉर्म को संरक्षित करने के बराबर है $xy$ आधार परिवर्तन के माध्यम से

x=u+v,\quad y=u-v\,,

और हाइपरबोले को संरक्षित करने के लिए ज्यामितीय रूप से मेल खाता है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में निष्पीडन प्रतिचित्रण के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह की व्याख्या के अनुरूप है $SO(2)$ (निश्चित ऑर्थोगोनल समूह का जुड़ा घटक) द्विघात रूप को संरक्षित करना $x 2 + y 2$ वृत्ताकार घूर्णन के रूप में।

ध्यान दें कि $SO +$ अंकन इस तथ्य से मेल खाता है कि प्रतिबिंब

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

अनुमति नहीं है, हालांकि वे फॉर्म को सुरक्षित रखते हैं (के संदर्भ में)। $x$ और $y$ ये $x \mapsto y, y \mapsto x$ और $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; अतिरिक्त $+$ अतिपरवलयिक मामले में (वृत्तीय मामले की तुलना में) समूह के रूप में पहचान घटक को निर्दिष्ट करना आवश्यक है $O(1,1)$ है $4$ जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी), जबकि समूह $O(2)$ है $2$ अवयव: $SO(1,1)$ है $2$ घटक, जबकि $SO(2)$ में केवल 1 है। तथ्य यह है कि निष्पीडन संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास को बदल देता है जो उपसमूहों को शामिल करने से मेल खाता है $SO \subset SL$ - इस मामले में $SO(1,1) \subset SL(2)$ - क्षेत्र और अभिविन्यास (एक आयतन रूप) को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक घूर्णनों के उपसमूह का। मोबियस परिवर्तनों की भाषा में, निष्पीडन परिवर्तन तत्वों के SL2(R)#वर्गीकरण में SL2(R)#अतिपरवलयिक तत्व हैं।

एक ज्यामितीय परिवर्तन को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि निष्पीडन प्रतिचित्रण अतिपरवलयिक क्षेत्रों जैसे रूपांतरित क्षेत्रों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है, इसलिए क्षेत्रों का कोण माप संरक्षित होता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में निष्पीडन प्रतिचित्रण अनुरूप हैं।

अनुप्रयोग

यहां कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।

सापेक्षिक स्पेसटाइम

यूक्लिडियन ओर्थोगोनालिटी को बाएं आरेख में घूर्णन द्वारा संरक्षित किया जाता है; अतिपरवलय (बी) के संबंध में अतिपरवलयिक रूढ़िवादिता को सही आरेख में निष्पीडन प्रतिचित्रण द्वारा संरक्षित किया जाता है

स्पेसटाइम ज्यामिति पारंपरिक रूप से इस प्रकार विकसित की गई है: स्पेसटाइम में यहां और अभी के लिए (0,0) का चयन करें। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएं और दाएं चमकती रोशनी स्पेसटाइम में दो रेखाओं को ट्रैक करती है, ऐसी रेखाएं जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेप पथ मूल समयरेखा (0,t) के करीब ट्रैक करते हैं। ऐसे किसी भी वेग को लोरेंत्ज़ बूस्ट नामक निष्पीडन प्रतिचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि विभाजित-जटिल संख्या गुणन और स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्या#विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं की जोड़ी से मेल खाती है।

औपचारिक रूप से, निष्पीडन xy के रूप में व्यक्त अतिपरवलयिक मीट्रिक को संरक्षित करता है; अलग समन्वय प्रणाली में। सापेक्षता के सिद्धांत में इस अनुप्रयोग को 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा नोट किया गया था,^[4] वर्नर ग्रीब द्वारा,^[5] और लुई कॉफ़मैन द्वारा।^[6] इसके अलावा, लोरेंट्ज़ परिवर्तन के निष्पीडन प्रतिचित्रण फॉर्म का उपयोग गुस्ताव हर्ग्लोत्ज़ (1909/10) द्वारा किया गया था।^[7] बोर्न कठोरता पर चर्चा करते समय, और सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में वोल्फगैंग रिंडलर द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग अपनी विशिष्ट संपत्ति के प्रदर्शन में किया था।^[8] निष्पीडन परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में प्रकाशिकी में लोरेंत्ज़ समूह को जोन्स कैलकुलस से जोड़ने वाले लेख में किया गया था।^[9]

कोने का प्रवाह

द्रव गतिकी में असंपीड्य प्रवाह की मूलभूत गतियों में से में अचल दीवार के ऊपर प्रवाहित होने वाले प्रवाह का द्विभाजन सिद्धांत शामिल होता है। अक्ष y = 0 द्वारा दीवार का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर प्रारंभिक द्रव अवस्था पर लागू पैरामीटर r के साथ निष्पीडन प्रतिचित्रण अक्ष के बाएं और दाएं द्विभाजन के साथ प्रवाह उत्पन्न करता है x = 0. समय को पीछे की ओर चलाने पर यही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। वास्तव में, किसी भी अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल निष्पीडित करने के अधीन अपरिवर्तनीय (गणित) होता है।

अतिपरवलयिक स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन के साथ प्रवाह के लिए और दृष्टिकोण के लिए, देखें Potential flow § Power laws with n = 2.

1989 में ओटिनो^[10] रैखिक समद्विबाहु द्वि-आयामी प्रवाह का वर्णन इस प्रकार किया गया है

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धारारेखाएँ वक्रों का अनुसरण करती हैं

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant}

इसलिए ऋणात्मक K दीर्घवृत्त से और धनात्मक K अतिपरवलय से मेल खाता है, निष्पीडन प्रतिचित्रण का आयताकार मामला K = 1 के अनुरूप है।

स्टॉकर और होसोई^[11] कोने के प्रवाह के प्रति उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार किया गया है:

हम अतिपरवलयिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर कोने जैसी ज्यामिति को ध्यान में रखते हुए वैकल्पिक सूत्रीकरण का सुझाव देते हैं, जो पठारी सीमा और संलग्न तरल धागों में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की अनुमति देता है। हम प्रवाह के क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और बाईं ओर और नीचे समरूपता विमानों द्वारा सीमांकित किया गया है।

स्टॉकर और होसोई फिर मोफ़ैट को याद करते हैं^[12] कठोर सीमाओं के बीच कोने में प्रवाह पर विचार, जो बड़ी दूरी पर मनमाने ढंग से अशांति से प्रेरित है। स्टॉकर और होसोई के अनुसार,

एक वर्गाकार कोने में मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफ़ैट का (एंटीसिमेट्रिक) स्ट्रीम फलन ... [संकेत देता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।

पारलौकिकता का पुल

निष्पीडन प्रतिचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण संपत्ति का उपयोग पारलौकिक फलनों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय फलन की नींव स्थापित करने में किया जाता है:

परिभाषा: सेक्टर(ए,बी) केंद्रीय किरणों से (ए, 1/ए) और (बी, 1/बी') प्राप्त अतिपरवलयिक सेक्टर है ').

लेम्मा: यदि बीसी = विज्ञापन, तो निष्पीडन प्रतिचित्रण है जो सेक्टर(ए,बी) को सेक्टर(सी,डी) में ले जाती है।

प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (u,v) = (rx, y/r' ') (ए, 1/ए) से (सी, 1/सी) और (बी, 1/बी) लेता है से (डी, 1/डी).

प्रमेय (सेंट विंसेंट के ग्रेगरी 1647) यदि bc = ad, तो अनंतस्पर्शी के विरुद्ध अतिपरवलय xy = 1 के चतुर्भुज में a और के बीच समान क्षेत्र हैं बी की तुलना सी और डी के बीच से की जाती है।

प्रमाण: क्षेत्रफल के त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क 1⁄2, त्रिभुज {(0,0), (0,1), (1,1)} होने से पता चलता है कि अतिपरवलयिक सेक्टर क्षेत्र अनंतस्पर्शी क्षेत्र के बराबर है। इसके बाद प्रमेय लेम्मा से अनुसरण करता है।

प्रमेय (अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा 1649) जैसे-जैसे अनंतस्पर्शी के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है, अनंतस्पर्शी पर अनुमान ज्यामितीय अनुक्रम में बढ़ते हैं। इस प्रकार क्षेत्र अनंतस्पर्शी सूचकांक के लघुगणक बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (x, 1/x) तक चलता है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण के बराबर कब होता है? उत्तर पारलौकिक संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।

आर = ई के साथ निष्पीडन इकाई कोण को (ई, 1/ई) और (ई, 1/ई) के बीच ले जाता है जो घटता है क्षेत्र का सेक्टर भी एक. ज्यामितीय प्रगति

ई, ई², और³, ..., औरⁿ, ...

प्रत्येक क्षेत्र के योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से मेल खाता है

1,2,3, ..., एन,...

जो आद्य-प्ररूपी अंकगणितीय प्रगति A + nd है जहां A = 0 और d = 1 है।

झूठ परिवर्तन

निरंतर वक्रता वाली सतहों पर पियरे ओसियन बोनट (1867) की जांच के बाद, सोफस झूठ (1879) ने ज्ञात सतह से नवीन छद्मवृत्तीय सतह प्राप्त करने का तरीका खोजा। ऐसी सतहें साइन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करती हैं:

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

कहाँ $(s,\sigma )$ दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और $\Theta$ उनके संबंधित कोण. झूठ ने दिखाया कि अगर $\Theta =f(s,\sigma )$ साइन-गॉर्डन समीकरण का हल है, फिर निम्नलिखित निष्पीडन प्रतिचित्रण (जिसे अब लाई ट्रांसफॉर्म के रूप में जाना जाता है^[13] उस समीकरण के अन्य हल इंगित करता है:^[14]

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

ली (1883) ने छद्मवृत्तीय सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसका संबंध देखा:^[15] बैक्लुंड ट्रांसफॉर्म (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैक्लुंड द्वारा प्रस्तुत) को बियांची ट्रांसफॉर्म (1879 में लुइगी बियानची द्वारा प्रस्तुत) के साथ लाई ट्रांसफॉर्म के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। छद्मवृत्तीय सतहों के ऐसे परिवर्तनों पर अंतर ज्यामिति पर व्याख्यान में विस्तार से चर्चा की गई थी। गैस्टन डार्बौक्स द्वारा (1894),^[16] लुइगी बियानची (1894),^[17] या लूथर फाहलर आइजनहार्ट (1909)।^[18] यह ज्ञात है कि लाई ट्रांसफॉर्म (या निष्पीडन प्रतिचित्रण) प्रकाश-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में लोरेंत्ज़ बूस्ट के अनुरूप है, जैसा कि टर्नग और उहलेनबेक (2000) द्वारा बताया गया है:^[13]

सोफस ली ने देखा कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत एसजीई [साइनस-गॉर्डन समीकरण] अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, लोरेंत्ज़ परिवर्तन है

(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)

.

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

जहां k बॉन्डी k-कैलकुलस में डॉपलर कारक से मेल खाता है|Bondi k-कैलकुलस, η तीव्रता है।

यह भी देखें

अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह
आइसोकोरिक प्रक्रिया

संदर्भ

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↑ Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159
↑ Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms from Google Books
↑ Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401
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↑ Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36
↑ Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208
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↑ H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18
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[1] Émile Borel (1914) Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques, page 29, Gauthier-Villars, link from Cornell University Historical Math Monographs

[2] Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159

[3] Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms from Google Books

[4] Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401

[5] W. H. Greub (1967) Linear Algebra, Springer-Verlag. See pages 272 to 274

[6] Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36

[7] Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208

[8] Wolfgang Rindler, Essential Relativity, equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition

[9] Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8

[10] J. M. Ottino (1989) The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport, page 29, Cambridge University Press

[11] Roman Stocker & A.E. Hosoi (2004) "Corner flow in free liquid films", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88

[12] H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18

[terng-13] 13.0 ^13.1 Terng, C. L., & Uhlenbeck, K. (2000). "सॉलिटॉन की ज्यामिति" (PDF). Notices of the AMS. 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[14] Lie, S. (1881) [1879]. "Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind". Fortschritte der Mathematik. 11: 529–531. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 392–393.

[15] Lie, S. (1884) [1883]. "Untersuchungen über Differentialgleichungen IV". Christ. Forh.. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 556–560.

[16] Darboux, G. (1894). Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie. Paris: Gauthier-Villars. pp. 381–382.

[17] Bianchi, L. (1894). विभेदक ज्यामिति पाठ. Pisa: Enrico Spoerri. pp. 433–434.

[18] Eisenhart, L. P. (1909). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति पर एक ग्रंथ. Boston: Ginn and Company. pp. 289–290.

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