अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस को अल्ट्राकनेक्टेड कहा जाता है यदि कोई भी दो गैर-रिक्त बंद सेट असंयुक्त (सेट) नहीं हैं। समान रूप से, स्थान अल्ट्राकनेक्टेड होता है यदि और केवल तभी जब दो अलग-अलग बिंदुओं के बंद होने पर हमेशा गैर-तुच्छ प्रतिच्छेदन होता है। इसलिए, कोई T1 स्थान नहीं|T₁ से अधिक बिंदुओं वाला स्थान अल्ट्राकनेक्टेड होता है।

गुण

प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड स्थान $X$ पथ से जुड़ा हुआ है (लेकिन जरूरी नहीं कि चाप जुड़ा हुआ हो)। अगर $a$ और $b$ के दो बिंदु हैं $X$ और $p$ चौराहे पर बिंदु है $\operatorname {cl} \{a\}\cap \operatorname {cl} \{b\}$, कार्यक्रम $f:[0,1]\to X$ द्वारा परिभाषित $f(t)=a$ अगर $0\leq t<1/2$, $f(1/2)=p$ और $f(t)=b$ अगर $1/2<t\leq 1$, के बीच सतत पथ है $a$ और $b$.

प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस सामान्य स्पेस, सीमा बिंदु सघन और छद्मकॉम्पैक्ट स्थान है।

उदाहरण

निम्नलिखित अल्ट्राकनेक्टेड टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण हैं।

• अविवेकी टोपोलॉजी वाला सेट।
• सिएरपिंस्की स्थान।
• बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी वाला सेट।
• वास्तविक लाइन पर सही क्रम टोपोलॉजी।

यह भी देखें

• हाइपरकनेक्टेड स्थान

संदर्भ

• This article incorporates material from Ultraconnected space on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).