मेट्रिजेबल समष्टि

संस्थितिकी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, मातृतीक समष्टि एक सस्थितिक समष्टि है जो मात्रिक समष्टि के लिए होमियोमोर्फिज्म है। अर्थात संस्थितिक समष्टि $(X,\tau )$ यदि कोई मात्रिक (गणित) $d:X\times X\to [0,\infty )$ है जैसा की $d$ द्वारा संयोजित संस्थितिक $\tau$ हैं, तो इसे मातृतीक कहा जाता है। मातृतीक प्रमेय वे प्रमेय हैं जो संस्थितिक समष्टि को मातृतीक होने के लिए पर्याप्त कारण देते हैं।

गुण

मातृतीक समष्टि मात्रिक समष्टि से सभी संस्थितिक गुणों को प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, वे हॉसडॉर्फ़ परसंक्षिप्त समष्टि (और इसलिए सामान्य समष्टि और टाइकोनोफ़ समष्टि) और प्रथम-गणनीय समष्टि हैं। यद्यपि की, मात्रिक के कुछ गुण, जैसे पूर्णता, को पहले से में मिला हुआ नहीं कहा जा सकता है। यह मात्रिक से जुड़ी अन्य संरचनाओं के विषय में भी सत्य हैं। उदाहरण के लिए, मातृतीक एकसमान समष्टि में एक मात्रिक समष्टि की तुलना में संकुचन मानचित्रण का अलग समुच्चय हो सकता है जिसके लिए यह होमियोमोर्फिक है।

मातृतीक प्रमेय

उरिसोन्स मातृतीक प्रमेय पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मातृतीक प्रमेयों में से एक था। इसमें कहा गया है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ द्वितीय-गणनीय नियमित समष्टि मातृतीक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेकंड-गणनीय विविध मातृतीक है। (ऐतिहासिक नोट: यहां दिखाए गए प्रमेय का रूप वास्तव में 1926 में एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़ द्वारा सिद्ध किया गया था। 1925 में मरणोपरांत प्रकाशित पेपर में पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन ने जो दिखाया था, वह यह था कि प्रत्येक सेकंड-गणनीय सामान्य समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि मातृतीक है)। इसका विलोम मान्य नहीं है: ऐसे मात्रिक समष्टि उपस्थित हैं जो दूसरे गणनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मात्रिक से संपन्न अगणनीय समुच्चय हैं। नागाटा-स्मिरनोव मातृतीक प्रमेय, जिसका नीचे वर्णन किया गया है, अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां विरुद्ध प्रभाव पड़ता है।

कई अन्य मातृतीक प्रमेय उरिसोन्स के प्रमेय के सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, संक्षिप्त समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि मातृतीक है, यदि और केवल यदि यह दूसरी-गणना योग्य है।

उरिसोन्स के प्रमेय को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: एक संस्थितिक समष्टि अलग करने योग्य और मातृतीक है यदि और केवल यदि यह नियमित, हॉसडॉर्फ और दूसरा-गणनीय है। नागाटा-स्मिरनोव मातृतीक प्रमेय इसे अवियोज्य स्थिति तक विस्तारित करता है। इसमें कहा गया है कि संस्थितिक समष्टि मातृतीक है यदि और केवल यदि यह नियमित है, हॉसडॉर्फ और इसका σ-आधारभूत रूप से सीमित आधार है। σ-स्थानीय रूप से परिमित आधार एक आधार है जो मुक्त समुच्चयों के अनगिनत स्थानीय रूप से परिमित संग्रहों का संघ है। निकट से संबंधित प्रमेय के लिए बिंग मातृतीक प्रमेय देखते हैं।

अलग-अलग मातृतीक समष्टि को उन समष्टियो के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो हिल्बर्ट घन के उप-समष्टि $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} }$ के लिए होम्योमॉर्फिक हैं, अर्थात् इकाई अंतराल का गणनीय अनंत गुणन (वास्तविकता से इसकी प्राकृतिक उप-समष्टि संस्थितिकी के साथ), गुणन संस्थितिकी से संपन्न है।

किसी समष्टि को आधारभूत रूप से मातृतीक कहा जाता है यदि आसपास का प्रत्येक बिंदु मातृतीक होता हैं। स्मिरनोव ने सिद्ध किया कि आधारभूत रूप से मातृतीक स्थान मातृतीक है यदि और केवल यदि वह हॉसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट है। विशेष रूप से, मैनिफ़ोल्ड मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल यदि यह पैराकॉम्पैक्ट है।

उदाहरण

एकात्मक संचालकों का समूह $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्थान पर ${\mathcal {H}}$ संपन्न मजबूत ऑपरेटर के साथ टोपोलॉजी मेट्रिज़ेबल है (प्रस्ताव II.1 देखें)। ).

गैर-मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के उदाहरण

गैर-सामान्य स्थान मेट्रिज़ेबल नहीं हो सकते; महत्वपूर्ण उदाहरणों में शामिल हैं

• बीजगणितीय विविधता पर या रिंग के स्पेक्ट्रम पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है,
• वास्तविक रेखा से सभी फ़ंक्शन (गणित) का टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस $\mathbb {R}$ स्वयं के लिए, बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ।

निचली सीमा टोपोलॉजी के साथ वास्तविक रेखा मेट्रिज़ेबल नहीं है। सामान्य दूरी फ़ंक्शन इस स्थान पर एक मीट्रिक नहीं है क्योंकि यह जिस टोपोलॉजी को निर्धारित करता है वह सामान्य टोपोलॉजी है, न कि निचली सीमा टोपोलॉजी। यह स्थान हॉसडॉर्फ, पैराकॉम्पैक्ट और प्रथम गणनीय है।

स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल लेकिन मेट्रिज़ेबल नहीं

दो मूलों वाली रेखा, जिसे 'द' भी कहा जाता हैbug-eyed line एक गैर-हॉसडॉर्फ़ मैनिफोल्ड है (और इस प्रकार मेट्रिज़ेबल नहीं हो सकता)। सभी मैनिफोल्ड्स की तरह, यह यूक्लिडियन स्थान के लिए स्थानीय रूप से होमोमोर्फिक है और इस प्रकार स्थानीय रूप स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल स्थान (लेकिन मेट्रिजेबल नहीं) और स्थानीय रूप से हॉसडॉर्फ स्पेस (स्थानीय रूप से हॉसडॉर्फ़ स्थान नहीं) है। यह एक T1 स्पेस|T भी है₁स्थानीय रूप से नियमित स्थान लेकिन अर्धनियमित स्थान नहीं।

लंबी लाइन (टोपोलॉजी) स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल है लेकिन मेट्रिज़ेबल नहीं है; एक तरह से यह बहुत लंबा है.

यह भी देखें

• Apollonian metric – Romanian mathematician and poet
• Bing metrization theorem
• Metrizable topological vector space
• Moore space (topology)
• Nagata–Smirnov metrization theorem
• Uniformizability, एक समान स्थान के लिए होमोमोर्फिक होने की एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संपत्ति, या समकक्ष टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक स्पेस के एक परिवार द्वारा परिभाषित किया जा रहा है

संदर्भ

This article incorporates material from Metrizable on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.