रिंग लेम्मा
यूक्लिडियन विमान में सर्कल पैकिंग प्रमेय की ज्यामिति में, रिंग लेम्मा सर्कल पैकिंग में आसन्न सर्कल के आकार पर निचली सीमा देता है।[1]
कथन
लेम्मा कहता है: चलो तीन से बड़ा या उसके बराबर कोई भी पूर्णांक हो। मान लीजिए कि इकाई वृत्त वलय से घिरा हुआ है आंतरिक-असंयुक्त वृत्त, सभी इसके स्पर्शरेखा, रिंग में लगातार वृत्त दूसरे के स्पर्शरेखा के साथ। तब वलय में किसी भी वृत्त की न्यूनतम त्रिज्या कम से कम इकाई अंश होती है
न्यूनतम त्रिज्या का क्रम, से , शुरू करना
त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सामान्यीकरण भी ज्ञात हैं।[3]
निर्माण
वृत्तों का अनंत क्रम बनाया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक के लिए वलय हों यह बिल्कुल रिंग लेम्मा की सीमा से मिलता है, जिससे पता चलता है कि यह तंग है। निर्माण आधे-अंतरिक्ष (ज्यामिति) को अनंत त्रिज्या के साथ डीजेनरेसी (गणित) सर्कल के रूप में विचार करने की अनुमति देता है, और लेम्मा के बयान में आवश्यक से परे सर्कल के बीच अतिरिक्त स्पर्शरेखाएं शामिल करता है। इसकी शुरुआत यूनिट सर्कल को दो समानांतर आधे तलों के बीच सैंडविच करने से होती है; व्युत्क्रम ज्यामिति में, इन्हें अनंत बिंदु पर दूसरे के स्पर्शरेखा माना जाता है। इन पहले दो के बाद प्रत्येक क्रमिक वृत्त केंद्रीय इकाई वृत्त और दो सबसे हाल ही में जोड़े गए वृत्तों की स्पर्शरेखा है; इस प्रकार निर्मित पहले छह वृत्तों (दो अर्धतलों सहित) का चित्रण देखें। पहला इस निर्माण के वृत्त वलय बनाते हैं, जिसकी न्यूनतम त्रिज्या की गणना डेसकार्टेस के प्रमेय द्वारा वलय लेम्मा में निर्दिष्ट त्रिज्या के समान की जा सकती है। इस निर्माण को रिंग तक परेशान किया जा सकता है अतिरिक्त स्पर्शरेखाओं के बिना परिमित वृत्त, जिनकी न्यूनतम त्रिज्या मनमाने ढंग से इस सीमा के करीब है।[4]
इतिहास
कमजोर सीमा के साथ रिंग लेम्मा का संस्करण पहली बार विलियम थर्स्टन के अनुमान के प्रमाण के हिस्से के रूप में बर्टन रोडिन और डेनिस सुलिवान द्वारा सिद्ध किया गया था कि सर्कल पैकिंग का उपयोग लगभग अनुरूप मानचित्रों के लिए किया जा सकता है।[5] लोवेल हेन्सन ने सबसे कड़ी संभव निचली सीमा के लिए पुनरावृत्ति संबंध दिया,[6] और डोव अहरोनोव को उसी सीमा के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति मिली।[2]
अनुप्रयोग
अनुरूप मानचित्रण के लिए इसके मूल अनुप्रयोग से परे,[5] सर्कल पैकिंग प्रमेय और रिंग लेम्मा केस्ज़ेघ, पच और पाल्वोल्गी के प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं कि परिबद्ध डिग्री के समतलीय ग्राफ़ परिबद्ध ढलान संख्या के साथ खींचे जा सकते हैं।[7]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Stephenson, Kenneth (2005), Introduction to Circle Packing: The Theory of Discrete Analytic Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82356-2, MR 2131318; see especially Lemma 8.2 (Ring Lemma), pp. 73–74, and Appendix B, The Ring Lemma, pp. 318–321.
- ↑ 2.0 2.1 Aharonov, Dov (1997), "The sharp constant in the ring lemma", Complex Variables, 33 (1–4): 27–31, doi:10.1080/17476939708815009, MR 1624890
- ↑ Vasilis, Jonatan (2011), "The ring lemma in three dimensions", Geometriae Dedicata, 152: 51–62, doi:10.1007/s10711-010-9545-0, MR 2795235, S2CID 120113578
- ↑ Aharonov, D.; Stephenson, K. (1997), "Geometric sequences of discs in the Apollonian packing", Algebra i Analiz, 9 (3): 104–140, MR 1466797
- ↑ 5.0 5.1 Rodin, Burt; Sullivan, Dennis (1987), "The convergence of circle packings to the Riemann mapping", Journal of Differential Geometry, 26 (2): 349–360, doi:10.4310/jdg/1214441375, MR 0906396
- ↑ Hansen, Lowell J. (1988), "On the Rodin and Sullivan ring lemma", Complex Variables, 10 (1): 23–30, doi:10.1080/17476938808814284, MR 0946096
- ↑ Keszegh, Balázs; Pach, János; Pálvölgyi, Dömötör (2011), "Drawing planar graphs of bounded degree with few slopes", in Brandes, Ulrik; Cornelsen, Sabine (eds.), Graph Drawing: 18th International Symposium, GD 2010, Konstanz, Germany, September 21-24, 2010, Revised Selected Papers, Lecture Notes in Computer Science, vol. 6502, Heidelberg: Springer, pp. 293–304, arXiv:1009.1315, doi:10.1007/978-3-642-18469-7_27, MR 2781274
