बीजगणितीय चक्रों पर मानक अनुमान

गणित में, बीजगणितीय चक्रों के बारे में मानक अनुमान बीजगणितीय चक्रों और वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांतों के संबंध का वर्णन करने वाले अनेक अनुमान हैं। इन अनुमानों के मूल अनुप्रयोगों में से एक, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा परिकल्पित, यह सिद्ध करना करना था कि उनके शुद्ध उद्देश्यों के निर्माण ने एबेलियन श्रेणी दी जो कि अर्धसरल श्रेणी है। इसके अतिरिक्त, जैसा कि उन्होंने बताया, मानक अनुमान वेइल अनुमान का सबसे कठिन हिस्सा भी दर्शाते हैं, अर्थात् "रीमैन परिकल्पना" अनुमान जो सत्र 1960 के दशक के अंत में खुला रहा और पश्चात् में पियरे डेलिग्ने द्वारा सिद्ध किया गया; वेइल और मानक अनुमानों के मध्य लिंक पर विवरण के लिए देखें क्लेमन (1968) देखें। मानक अनुमान खुली समस्याएँ बने रहते हैं, जिससे उनका अनुप्रयोग केवल परिणामों का सशर्त प्रमाण देता है। वेइल अनुमान सहित कुछ स्थितियों में, ऐसे परिणामों को बिना शर्त सिद्ध करना करने के लिए अन्य तरीके पाए गए हैं।

मानक अनुमानों के मौलिक सूत्रीकरण में निश्चित वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत सम्मिलित होता है। सभी अनुमान "बीजगणितीय" सह-समरूपता वर्गों से संबंधित हैं, जिसका अर्थ है सुचारु प्रक्षेप्य प्रकार के सह-समरूपता पर रूपवाद

H^∗(X) → H^∗(X)

उत्पाद पर तर्कसंगत गुणांकों के साथ बीजगणितीय चक्र द्वारा प्रेरित X × X चक्र वर्ग मानचित्र के माध्यम से, जो वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत की संरचना का एक भाग है।

अनुमान ए, अनुमान बी के सामान्तर है (देखें)। ग्रोथेंडिक (1969), पृष्ठ 196), और इसलिए सूचीबद्ध नहीं है।

लेफ्शेट्ज़ प्रकार मानक अनुमान (अनुमान बी)

वेइल सिद्धांत के सिद्धांतों में से तथाकथित कठिन लेफ्शेट्ज़ प्रमेय (या स्वयंसिद्ध) है:

एक निश्चित चिकने हाइपरप्लेन अनुभाग से प्रारम्भ करें

W = H ∩ X,

कहाँ X परिवेशीय प्रक्षेप्य स्थान में दी गई सहज प्रक्षेप्य विविधता है P^N और H हाइपरप्लेन है. फिर के लिए i ≤ n = dim(X), लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर

L : Hⁱ(X) → Hⁱ⁺²(X),

जिसे W के साथ सह-समरूपता वर्गों के साथ प्रतिच्छेद करके परिभाषित किया गया है, इस प्रकार जो एक समरूपता देता है

Lⁿ⁻ⁱ : Hⁱ(X) → H²ⁿ⁻ⁱ(X).

अभी, के लिए i ≤ n परिभाषित करना:

Λ = (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ) : Hⁱ(X) → Hⁱ⁻²(X)

Λ = (Lⁿ⁻ⁱ) ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ : H²ⁿ⁻ⁱ⁺²(X) → H²ⁿ⁻ⁱ(X)

अनुमान में कहा गया है कि लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर (Λ) बीजगणितीय चक्र से प्रेरित है।

कुनेथ प्रकार मानक अनुमान (अनुमान सी)

यह अनुमान लगाया गया है कि प्रोजेक्टर

H^∗(X) ↠ Hⁱ(X) ↣ H^∗(X)

बीजगणितीय हैं, अर्थात तर्कसंगत गुणांक वाले चक्र πⁱ ⊂ X × X से प्रेरित हैं। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सहज प्रक्षेप्य विविधता का मकसद (और अधिक सामान्यतः, हर मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति)) के रूप में विघटित होता है

$h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).$

मकसद $h^{0}(X)$ और $h^{2dim(X)}$ इसे सदैव सीधे सारांश के रूप में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए अनुमान तुरंत वक्रों के लिए मान्य होता है। यह मुर्रे (1990) द्वारा सतहों के लिए सिद्ध करना हुआ था .

काट्ज़ & मेसिंग (1974) ने मनमाने आयाम में, सीमित क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय प्रकारो के लिए अनुमान दिखाने के लिए वेइल अनुमान का उपयोग किया है।

सेरमेनेव (1974) एबेलियन प्रकारो ए के लिए कुनेथ अपघटन को सिद्ध करना हुआ।

डेनिंगर & मुर्रे (1991) ने ए के चाउ मकसद के कार्यात्मक कुनेथ अपघटन को प्रदर्शित करके इस परिणाम को परिष्कृत किया, जैसे कि एबेलियन प्रकार पर एन-गुणा कार्य करता है $n^{i}$ i-वें सारांश पर $h^{i}(A)$.

डी कैटाल्डो & मिग्लिओरिनी (2002) चिकनी सतह में बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना के लिए कुनेथ अपघटन सिद्ध करना हुआ।

अनुमान डी (संख्यात्मक तुल्यता बनाम समरूप तुल्यता)

अनुमान डी बताता है कि संख्यात्मक और घरेलू तुल्यता सहमत हैं। (इसका तात्पर्य यह है कि विशेष रूप से उत्तरार्द्ध वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। यह अनुमान लेफ्शेट्ज़ अनुमान का तात्पर्य है। यदि हॉज मानक अनुमान मान्य है, तब लेफ्शेट्ज़ अनुमान और अनुमान डी समकक्ष हैं।

यह अनुमान लिबरमैन द्वारा अधिकतम 4 आयाम वाले प्रकारो और एबेलियन प्रकार के लिए दिखाया गया था।

हॉज मानक अनुमान

हॉज मानक अनुमान हॉज सूचकांक प्रमेय पर आधारित है। यह आदिम बीजगणितीय सहविज्ञान वर्गों पर कप उत्पाद युग्मन की निश्चितता (धनात्मक या ऋणात्मक, आयाम के अनुसार) बताता है। यदि यह मान्य है, तब लेफ्शेट्ज़ अनुमान अनुमान डी का तात्पर्य है। विशेषता शून्य में हॉज मानक अनुमान हॉज सिद्धांत का परिणाम है। धनात्मक विशेषता में हॉज मानक अनुमान सतहों के लिए जाना जाता है (ग्रोथेंडिक (1958)) और आयाम 4 की एबेलियन प्रकारो के लिए (एंकोना (2020) के लिए जाना जाता है।

हॉज मानक अनुमान को हॉज अनुमान के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो बताता है कि चिकनी प्रक्षेप्य प्रकारो के लिए C, हर तर्कसंगत (p, p)-वर्ग बीजगणितीय है। हॉज अनुमान का तात्पर्य विशेषता शून्य के क्षेत्रों में प्रकारो के लिए लेफ्शेट्ज़ और कुनेथ अनुमान और अनुमान डी से है। टेट अनुमान का तात्पर्य सभी क्षेत्रों में लेफ्शेट्ज़, कुनेथ और एटेल कोहोमोलॉजी|ℓ-एडिक कोहोमोलॉजी के लिए अनुमान डी से है।

मानक अनुमानों के स्थायित्व गुण

दो बीजगणितीय प्रकारो X और Y के लिए, अरपुरा (2006) ने शर्त प्रस्तुत की है कि Y, उदाहरण के लिए, यदि कोई विशेषण रूपवाद है तब Y प्रेरित होता है $X^{n}\to Y$. यदि Y श्रेणी में नहीं पाया जाता है, तब यह उस संदर्भ में अप्रयुक्त है। सुचारु प्रक्षेप्य समष्टि बीजगणितीय प्रकारो X और Y के लिए, जैसे कि Y, X की सभी शक्तियाँ इस तथ्य को दिखाने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, बीजगणितीय सतह पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना के लिए लेफ्शेट्ज़ अनुमान।

अन्य अनुमानों से संबंध

बेइलिंसन (2012) ने दिखाया है कि उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणी पर तथाकथित प्रेरक टी-संरचना का (अनुमानात्मक) अस्तित्व लेफ्शेट्ज़ और कुनेथ मानक अनुमान बी और सी का तात्पर्य है।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• बीजगणितीय चक्रों पर मानक अनुमानों पर प्रगति
• एनालॉग्स काहलेरीन्स डे निश्चित अनुमान डी वेइल। जे.-पी सेरे (एक्स्ट्रेट डी'यून लेट्रे ए ए. वेइल, 9 नवंबर 1959) स्कैन