प्राकृतिक संख्या ऑब्जेक्ट

श्रेणी सिद्धांत में, एक प्राकृतिक संख्या वस्तु (एनएनओ) प्राकृतिक संख्याओं के समान रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) गणितीय संरचना से संपन्न एक वस्तु है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 के साथ श्रेणी (गणित) E में अधिक शुद्ध रूप से, एक NNO N इस प्रकार दिया जाता है::

1. एक व्यापक तत्व z : 1 → N, और
2. एक तीर s : N → N,

ऐसा कि E के किसी भी ऑब्जेक्ट A के लिए, व्यापक तत्व q: 1 → A और तीर f: A → A, एक अद्वितीय तीर u: N → A उपस्थित है जैसे:

1. u ∘ z = q, और
2. u ∘ s = f ∘ u.

अन्य शब्दों में, निम्नलिखित चित्र में त्रिभुज और वर्ग परिवर्तित होते हैं।

युग्म (q, f) को कभी-कभी पुनरावर्ती परिभाषा के रूप में दिए गए यू के लिए पुनरावर्ती (रिकर्शन) डेटा कहा जाता है:

1. ⊢ u (z) = q
2. y ∈_E N ⊢ u (s y) = f (u (y))

उपरोक्त परिभाषा NNO की सार्वभौमिक गुण है जिसका अर्थ है कि उन्हें कैनानिकल समाकारिकता तक परिभाषित किया गया है। यदि उपरोक्त परिभाषित तीर u का केवल अस्तित्व होना है अर्थात विशिष्टता की आवश्यकता नहीं है, तो N को अशक्त NNO कहा जाता है।

समतुल्य परिभाषाएँ

कार्टेशियन बंद श्रेणी (सीसीसी) या टोपोस में एनएनओ को कभी-कभी निम्नलिखित समकक्ष तरीके से परिभाषित किया जाता है (लॉवर के कारण): तीरों की प्रत्येक जोड़ी के लिए जी: ए → बी और एफ: बी → बी, एक अद्वितीय एच: एन × ए है → बी इस प्रकार है कि निम्नलिखित आरेख में वर्ग कम्यूट होते हैं।

alternate NNO definition

यही निर्माण कार्टेशियन श्रेणियों में अशक्त एनएनओ को परिभाषित करता है जो कार्टेशियन संवृत नहीं हैं।

टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 और बाइनरी सहउत्पाद ्स (+ द्वारा चिह्नित) वाली श्रेणी में, एक एनएनओ को एंडोफन्क्टर के प्रारंभिक बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो ऑब्जेक्ट पर कार्य करता है X ↦ 1 + X और द्वारा तीरों पर f ↦ id₁ + f.

गुण

• प्रत्येक एनएनओ प्रपत्र के आरेख (श्रेणी सिद्धांत) की श्रेणी की प्रारंभिक वस्तु है

$1\xrightarrow {~\quad q\quad ~} A\xrightarrow {~\quad f\quad ~} A$

• यदि किसी कार्टेशियन बंद श्रेणी में कमजोर एनएनओ है, तो उसकी प्रत्येक स्लाइस श्रेणी में भी कमजोर एनएनओ है।
• एनएनओ का उपयोग विश्लेषण के गैर-मानक मॉडल के समान प्रकार के सिद्धांत के गैर-मानक मॉडल के लिए किया जा सकता है। ऐसी श्रेणियों (या टोपोई) में अपरिमित रूप से कई गैर-मानक प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं। (हमेशा की तरह, गैर-मानक एनएनओ प्राप्त करने के सरल तरीके हैं; उदाहरण के लिए, यदि z = s z, तो उस स्थिति में श्रेणी या टॉपोस 'ई' तुच्छ है।)
• पीटर फ्रायड ने दिखाया कि z और s एनएनओ के लिए एक सह-उत्पाद आरेख बनाते हैं; भी, !_N : N → 1, s और 1 का सहतुल्यकारक है_N, यानी, एन के वैश्विक तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एस के माध्यम से जुड़ी हुई है; इसके अलावा, तथ्यों की यह जोड़ी सभी एनएनओ की विशेषता बताती है।

उदाहरण

• सेट में, सेट की श्रेणी, मानक प्राकृतिक संख्याएँ एक एनएनओ हैं। सेट में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट एक सिंगलटन (गणित) है, और सिंगलटन में से एक फ़ंक्शन सेट के एक एकल तत्व (सेट सिद्धांत) को चुनता है। प्राकृतिक संख्याएँ 𝐍 एक NNO हैं जहाँ z एक सिंगलटन से 𝐍 तक एक फ़ंक्शन है जिसकी छवि (गणित) शून्य है, और s उत्तराधिकारी कार्य है। (हम वास्तव में अनुमति दे सकते हैं z 𝐍 के किसी भी तत्व को चुनने के लिए, और परिणामी एनएनओ इस के लिए समरूपी होगा।) कोई यह साबित कर सकता है कि परिभाषा में आरेख गणितीय प्रेरण का उपयोग करके बदलता है।
• मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत के प्रकारों की श्रेणी में (वस्तुओं के रूप में प्रकार और तीरों के रूप में कार्यों के साथ), मानक प्राकृतिक संख्या प्रकार 'नैट' एक एनएनओ है। यह दिखाने के लिए कि उपयुक्त आरेख आवागमन करता है, कोई 'nat' के लिए पुनरावर्तक का उपयोग कर सकता है।
• ये मान लीजिए ${\mathcal {E}}$ टर्मिनल ऑब्जेक्ट के साथ ग्रोथेंडिक टोपोस है $\top$ ओर वो ${\mathcal {E}}\simeq \mathbf {Shv} ({\mathfrak {C}},J)$ कुछ ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के लिए $J$ श्रेणी पर ${\mathfrak {C}}$. तो अगर $\Gamma _{\mathbb {N} }$ निरंतर प्रीशीफ चालू है ${\mathfrak {C}}$, फिर एनएनओ में ${\mathcal {E}}$ का शीफ़ीकरण है $\Gamma _{\mathbb {N} }$ और फॉर्म लेने के लिए दिखाया जा सकता है
  $$\mathbb {N} _{\mathcal {E}}\cong \left(\Gamma _{\mathbb {N} }\right)^{++}\cong \coprod _{n\in \mathbb {N} }\top .$$

यह भी देखें

• पीनो के अंकगणित के अभिगृहीत
• श्रेणीबद्ध तर्क

संदर्भ

• Johnstone, Peter T. (2002). Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0198534256. OCLC 50164783.
• Lawvere, William (2005) [1964]. "An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary". Reprints in Theory and Applications of Categories. 11: 1–35.

बाहरी संबंध

• Lecture notes from Robert Harper which discuss NNOs in Section 2.2: https://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/notes/notes_week3.pdf
• A blog post by Clive Newstead on the n-Category Cafe: https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/01/an_elementary_theory_of_the_ca.html
• Notes on datatypes as algebras for endofunctors by computer scientist Philip Wadler: http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt
• Notes on the nLab: https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS