लूप बीजगणित

Not to be confused with quasigroup with an identity element, also called an algebraic loop.

गणित में, लूप बीजगणित कुछ प्रकार के लाई बीजगणित हैं, जो सैद्धांतिक भौतिकी में विशेष रुचि रखते हैं।

परिभाषा

एक क्षेत्र $K$ पर लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के लिए यदि $K[t,t^{-1}]$ लॉरेंट बहुपद का समष्टि है, तो

$$L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],$$

निहित कोष्ठक के साथ

$$[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.$$

ज्यामितीय परिभाषा

यदि ${\mathfrak {g}}$ एक लाई बीजगणित है, जिसमें ${\mathfrak {g}}$ के साथ C^∞(S¹) का प्रदिश गुणनफल है, तो वृत्त मैनिफोल्ड S¹ पर (सम्मिश्र) सुचारु फलनों का बीजगणित (तुल्यतः, किसी दिए गए अवधि के सुचारु सम्मिश्र-मान आवधिक फलन),

$${\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),$$

लाई कोष्ठक द्वारा दिया गया एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है

$$[g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.$$

यहाँ g₁ और g₂, ${\mathfrak {g}}$ के तत्व हैं तथा f₁ और f₂, C^∞(S¹) के तत्व हैं .

यह यथावत् वैसा नहीं है जो सुचारुता प्रतिबंध के कारण S¹ में प्रत्येक बिंदु के लिए एक ${\mathfrak {g}}$, के अनंत प्रतियों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुरूप होगा। इसके अलावा, इसे S¹ से ${\mathfrak {g}}$ तक के सुचारू मैप अर्थात् ${\mathfrak {g}}$, पैरामिट्रीकृत लूप के संदर्भ में विचारा जा सकता है। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।

पदक्रम

परिभाषित ${\mathfrak {g}}_{i}$ रैखिक उपस्थान होना ${\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},$ ब्रैकेट किसी उत्पाद तक सीमित है

$$[\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},$$

इसलिए लूप बीजगणित a दिया जा रहा है $\mathbb {Z}$-वर्गीकृत झूठ बीजगणित संरचना।

विशेष रूप से, ब्रैकेट 'शून्य-मोड' उपबीजगणित तक सीमित है ${\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}$.

व्युत्पत्ति

See also: Derivation (differential algebra)

लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से दर्शाया गया है $d$ के रूप में कार्य

$$d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}$$

$$d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}$$

और औपचारिक रूप से ऐसा सोचा जा सकता है $d=t{\frac {d}{dt}}$.

एफ़िन लाई बीजगणित को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में किया जाता है।

लूप समूह

इसी प्रकार, सभी सुचारू मानचित्रों का एक सेट S¹ एक झूठ समूह के लिए G एक अनंत-आयामी झूठ समूह बनाता है (झूठ समूह इस अर्थ में कि हम इसके ऊपर कार्यात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का झूठ बीजगणित संगत लूप बीजगणित है।

लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन लाई बीजगणित

See also: Lie algebra extension § Polynomial loop-algebra, and Affine Lie algebra

अगर ${\mathfrak {g}}$ एक अर्धसरल झूठ बीजगणित है, फिर एक गैर-तुच्छ समूह विस्तार#इसके लूप बीजगणित का केंद्रीय विस्तार $L{\mathfrak {g}}$ एक एफ़िन लाई बीजगणित को जन्म देता है। इसके अलावा यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है। केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व को जोड़कर दिया जाता है ${\hat {k}}$, अर्थात सभी के लिए $X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}$,

$$[{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,$$

और लूप बीजगणित पर ब्रैकेट को संशोधित करना

$$[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},$$

कहाँ $B(\cdot ,\cdot )$ संहार रूप है.

केंद्रीय विस्तार, एक सदिश समष्टि के रूप में है, $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ (इसकी सामान्य परिभाषा में, जैसा कि आम तौर पर होता है, $\mathbb {C}$ एक मनमाना क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है)।

कोसाइकिल

See also: Lie algebra extension § Central

झूठ बीजगणित सहसंरचना की भाषा का उपयोग करते हुए, केंद्रीय विस्तार को लूप बीजगणित पर 2-कोसायकल का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह नक्शा है

$$\varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C}$$

संतुष्टि देने वाला

$$\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.$$

फिर कोष्ठक में जोड़ा गया अतिरिक्त शब्द है $\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.$

एफ़िन लाई बीजगणित

भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ इसे कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में, यह अपर्याप्त है, और पूर्ण एफ़िन ले बीजगणित वेक्टर स्थान है

$${\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d$$

कहाँ $d$ ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।

इस स्थान पर, किलिंग फॉर्म को गैर-पतित फॉर्म तक बढ़ाया जा सकता है, और इस प्रकार एफ़िन लाई बीजगणित के रूट सिस्टम विश्लेषण की अनुमति मिलती है।

संदर्भ

• Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X