मोलिफ़ायर

आयाम (गणित) में एक मोलिफ़ायर (शीर्ष)। सबसे नीचे, लाल रंग में एक कोने (बाएं) और तेज छलांग (दाएं) के साथ एक फ़ंक्शन है, और नीले रंग में इसका पिघला हुआ संस्करण है।

गणित में, मोलिफ़ायर (सर्वसमिका के सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है) विशेष गुणों के साथ स्मूथ फंक्शन होते हैं, उदाहरण के लिए वितरण सिद्धांत में कनवल्शन के माध्यम से नॉनस्मूथ (सामान्यीकृत) फंक्शन को अनुमानित करने वाले स्मूथ फंक्शन के अनुक्रम बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। सहज रूप से, एक फ़ंक्शन दिया गया है जो काफी अनियमित है, इसे मोलिफ़ायर के साथ घुमाने से फ़ंक्शन "मोलिफ़ाइड" हो जाता है, यानी, इसकी तेज विशेषताएं स्मूथ हो जाती हैं, जबकि अभी भी मूल नॉनस्मूथ (सामान्यीकृत) फ़ंक्शन के करीब रहती हैं।

इन्हें कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स के नाम पर फ्रेडरिक्स मोलिफायर्स के नाम से भी जाना जाता है, जिन्होंने इन्हें प्रस्तुत किया था।

ऐतिहासिक नोट्स

कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स ने अपने पेपर (फ्रेडरिक्स 1944, पृ. 136-139) में मोलिफायर्स की शुरुआत की थी, जिसे आंशिक अंतर समीकरणों के आधुनिक सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण मोड़ माना जाता है। इस गणितीय वस्तु के नाम की उत्पत्ति विचित्र थी, और पीटर लैक्स ने फ्रेडरिक्स के "सेलेक्टा" में प्रकाशित उस पेपर पर अपनी टिप्पणी में पूरी कहानी बताई है। उनके अनुसार, उस समय, गणितज्ञ डोनाल्ड अलेक्जेंडर फ़्लैंडर्स फ्रेडरिक्स के सहयोगी थे: चूँकि उन्हें अंग्रेजी के उपयोग के बारे में सहकर्मियों से परामर्श करना पसंद था, इसलिए उन्होंने फ़्लैंडर्स से सलाह मांगी कि वह जिस स्मूथिंग ऑपरेटर का उपयोग कर रहे थे उसका नाम कैसे रखा जाए।[3] फ़्लैंडर्स एक शुद्धतावादी थे, उनके दोस्तों ने उनके नैतिक गुणों को पहचानने के लिए उन्हें मोल फ़्लैंडर्स के नाम पर मोल उपनाम दिया था: उन्होंने नई गणितीय अवधारणा को एक वाक्य के रूप में "मोलिफ़ायर" कहने का सुझाव दिया, जिसमें फ़्लैंडर्स का उपनाम और क्रिया 'टू मॉलिफ़ाई', जिसका अर्थ लाक्षणिक अर्थ में 'स्मूथ करना' है, दोनों शामिल थे।

इससे पहले, सर्गेई सोबोलेव ने अपने युग-निर्माण 1938 पेपर में मोलिफायर्स का उपयोग किया था, जिसमें सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का प्रमाण शामिल है: फ्रेडरिक्स ने खुद मोलिफायर्स पर सोबोलेव के काम को स्वीकार करते हुए कहा था कि: - "ये मोलिफायर सोबोलेव और लेखक द्वारा पेश किए गए थे..."।

यह बताया जाना चाहिए कि "मोलिफ़ायर" शब्द इन मूलभूत फंक्शन्स के समय से भाषाई विचलन से गुजर रहा है: फ्रेडरिक्स ने "मोलिफ़ायर" को इंटीग्रल ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया है जिसका कर्नेल आजकल मोलिफ़ायर नामक फंक्शन्समें से एक है। हालाँकि, चूंकि एक लीनियर इंटीग्रल ऑपरेटर के गुण पूरी तरह से उसके कर्नेल द्वारा निर्धारित होते हैं, इसलिए सामान्य उपयोग के परिणामस्वरूप नाम मोलिफ़ायर कर्नेल द्वारा ही विरासत में मिला था।

परिभाषा

प्रगतिशील मोलीकरण के दौर से गुजर रहा एक फंक्शन।

आधुनिक (वितरण आधारित) परिभाषा

Definition 1. यदि $\varphi$ ℝⁿ, n ≥ 1 पर एक स्मूथ फंक्शन है, तो निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करता है

(1)  यह सघन रूप से समर्थित है

(2)  $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1$

(3)  $\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)$

जहाँ $\delta (x)$ डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है और सीमा को श्वार्ट्ज वितरण (गणित) के स्थान में समझा जाना चाहिए, फिर $\varphi$ एक 'मोलिफ़ायर' है. फ़ंक्शन $\varphi$ आगे की शर्तों को भी पूरा कर सकता है: उदाहरण के लिए, यदि यह संतुष्ट करता है

(4)  $\varphi$$(x)$ ≥ 0 सभी x ∈ ℝⁿ के लिए, तो इसे 'पॉजिटिव मोलिफ़ायर' कहा जाता है

(5)  $\varphi$$(x)$=$\mu$$(|x|)$ कुछ असीम रूप से भिन्न फ़ंक्शन के लिए $\mu$: ℝ⁺ → ℝ, तो इसे सममित मोलिफ़ायर कहा जाता है

फ्रेडरिक की परिभाषा पर नोट्स

नोट 1. जब वितरण का सिद्धांत अभी भी व्यापक रूप से ज्ञात नहीं था और न ही उपयोग किया जाता था, ऊपर दी गई गुण (3) को यह कहकर तैयार किया गया था कि उचित हिल्बर्ट या बानाच स्थान से संबंधित किसी दिए गए फ़ंक्शन के साथ फ़ंक्शन $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }$ का कनवल्शन उस फ़ंक्शन के लिए ε → 0 के रूप में परिवर्तित होता है: यह बिल्कुल वही है जो फ्रेडरिक्स ने किया था। इससे यह भी स्पष्ट होता है कि मोलिफ़ायर अनुमानित सर्वसमिका से संबंधित क्यों हैं।

नोट 2. जैसा कि इस प्रविष्टि के मोलिफायर#ऐतिहासिक नोट्स अनुभाग में संक्षेप में बताया गया है, मूल रूप से, मोलिफायर शब्द ने निम्नलिखित कन्वोल्यूशन की सर्वसमिका की:

$\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y$

जहाँ $\varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ और $\varphi$ ऊपर बताई गई पहली तीन शर्तों और धनात्मक और समरूपता के रूप में एक या अधिक पूरक शर्तों को पूरा करने वाला एक स्मूथ फंक्शन है।

ठोस उदाहरण

ℝⁿ द्वारा परिभाषित एक वेरिएबल के बम्प फ़ंक्शन $\varphi$$(x)$ पर विचार करें

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}$

जहां संख्यात्मक स्थिरांक $I_{n}$ सामान्यीकरण सुनिश्चित करता है। यह फ़ंक्शन असीम रूप से भिन्न है, गैर-विश्लेषणात्मक है और |x| = 1 के लिए लुप्त व्युत्पन्न है जैसा कि ऊपर बताया गया है, $\varphi$ को मोलिफ़ायर के रूप में उपयोग किया जा सकता है: कोई देख सकता है कि $\varphi$$(x)$ एक धनात्मक और सममित मोलिफ़ायर को परिभाषित करता है।

फ़ंक्शन$\varphi$$(x)$ आयाम (गणित) में एक

गुण

एक मोलिफायर के सभी गुण कनवल्शन के संचालन के तहत उसके व्यवहार से संबंधित होते हैं: हम निम्नलिखित को सूचीबद्ध करते हैं, जिनके प्रमाण वितरण सिद्धांत पर प्रत्येक पाठ में पाए जा सकते हैं।

समरेखण गुण

किसी भी वितरण के लिए $T$, वास्तविक संख्या $\epsilon$ द्वारा अनुक्रमित कनवल्शन का निम्नलिखित परिवार

$T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }$

जहाँ $\ast$ कनवल्शन को दर्शाता है, यह स्मूथ फंक्शन्सका एक परिवार है।

सर्वसमिका का अनुमान

किसी भी वितरण $T$ के लिए, वास्तविक संख्या $\epsilon$ एप्सिलॉन द्वारा अनुक्रमित कनवल्शन का निम्नलिखित परिवार $T$ में परिवर्तित हो जाता है।

$\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$

कनवल्शन का समर्थन

किसी भी वितरण $T$ के लिए ,

$\operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }$,

जहाँ $\operatorname {supp}$ वितरण के अर्थ में वितरण का समर्थन इंगित करता है, और $+$ उनके मिन्कोव्स्की योग को इंगित करता है।

अनुप्रयोग

मोलिफ़ायर का मूल अनुप्रयोग यह सिद्ध करना है कि स्मूथ फंक्शन्स के लिए मान्य गुण गैर-स्मूथ स्थितियों में भी मान्य हैं:

वितरण गुणनफल

सामान्यीकृत फंक्शन्स के कुछ सिद्धांतों में, वितरण के गुणन को परिभाषित करने के लिए मोलिफायर का उपयोग किया जाता है: सटीक रूप से, दो वितरण $S$ और $T$ दिए जाने पर, एक स्मूथ कार्य और एक वितरण के गुणनफल की सीमा

$\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T$

सामान्यीकृत फंक्शन्स के विभिन्न सिद्धांतों में उनके गुणनफल को परिभाषित करता है (यदि यह मौजूद है)।

"वीक= स्ट्रांग" प्रमेय

बहुत ही अनौपचारिक रूप से, मोलिफायर का उपयोग अंतर ऑपरेटरों के दो अलग-अलग प्रकार के विस्तार की पहचान साबित करने के लिए किया जाता है: स्ट्रांग विस्तार और वीक विस्तार। पेपर (फ्रेडरिक्स 1944) इस अवधारणा को अच्छी तरह से चित्रित करता है: हालाँकि इसका वास्तव में क्या मतलब है यह दिखाने के लिए आवश्यक तकनीकी विवरणों की उच्च संख्या उन्हें इस संक्षिप्त विवरण में औपचारिक रूप से विस्तृत होने से रोकती है।

स्मूथ कटऑफ फ़ंक्शन

यूनिट बॉल के संकेतक फ़ंक्शन के कनवल्शन द्वारा $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ स्मूथ फंक्शन $\varphi _{1/2}$ के साथ(के रूप में परिभाषित किया गया है (3) साथ $\epsilon =1/2$), कोई फ़ंक्शन प्राप्त करता है

$\chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})$

जो कि एक सुचारु फंक्शन के बराबर है $1$ पर $B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}$, में निहित समर्थन के साथ $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$. इसका अवलोकन करके आसानी से देखा जा सकता है कि यदि $|x|$ ≤ $1/2$ और $|y|$ ≤ $1/2$ तब $|x-y|$ ≤ $1$. इसलिए $|x|$ ≤ $1/2$, के लिए

$\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1$.

कोई यह देख सकता है कि इस निर्माण को किसी दिए गए कॉम्पैक्ट सेट के परिवेश में एक के समान एक स्मूथ फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और प्रत्येक बिंदु पर शून्य के बराबर है जिसकी इस सेट से दूरी किसी दिए गए $\epsilon$ से अधिक है। ऐसे फ़ंक्शन को (स्मूथ) कटऑफ फ़ंक्शन कहा जाता है: उन कार्यों का उपयोग गुणन द्वारा दिए गए (सामान्यीकृत) फ़ंक्शन की विलक्षणताओं को खत्म करने के लिए किया जाता है। वे (सामान्यीकृत) फ़ंक्शन के मूल्य को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, वे केवल दिए गए सेट पर गुणा करते हैं, इस प्रकार इसके समर्थन को संशोधित करते हैं: कटऑफ फ़ंक्शन भी एकता के स्मूथ विभाजन के मूल भाग हैं।

यह भी देखें

• अनुमानित सर्वसमिका
• बम्प फ़ंक्शन
• कनवल्शन
• वितरण (गणित)
• सामान्यीकृत फ़ंक्शन
• कर्ट ओट्टो फ्रेडरिक्स
• गैर-विश्लेषणात्मक स्मूथ फंक्शन
• सेर्गेई सोबोलेव
• वीयरस्ट्रास परिवर्तन

संदर्भ

• Friedrichs, Kurt Otto (January 1944), "The identity of weak and strong extensions of differential operators", Transactions of the American Mathematical Society, 55 (1): 132–151, doi:10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0, JSTOR 1990143, MR 0009701, Zbl 0061.26201. The first paper where mollifiers were introduced.
• Friedrichs, Kurt Otto (1953), "On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations", Communications on Pure and Applied Mathematics, VI (3): 299–326, doi:10.1002/cpa.3160060301, MR 0058828, Zbl 0051.32703, archived from the original on 2013-01-05. A paper where the differentiability of solutions of elliptic partial differential equations is investigated by using mollifiers.
• Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S. (ed.), Selecta, Contemporary Mathematicians, Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, pp. 427 (Vol. 1), pp. 608 (Vol. 2), ISBN 0-8176-3270-0, Zbl 0613.01020. A selection from Friedrichs' works with a biography and commentaries of David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
• Giusti, Enrico (1984), Minimal surfaces and functions of bounded variations, Monographs in Mathematics, vol. 80, Basel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, pp. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4, MR 0775682, Zbl 0545.49018.
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2nd ed.), Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136, Zbl 0712.35001.
• Sobolev, Sergei L. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle", Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (in Russian and French), 4(46) (3): 471–497, Zbl 0022.14803{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). The paper where Sergei Sobolev proved his embedding theorem, introducing and using integral operators very similar to mollifiers, without naming them.