प्रत्याशा मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में, प्रत्याशा मान प्रयोग के परिणाम (माप) का संभावित अपेक्षित मान है। इसे माप के सभी संभावित परिणामों के औसत के रूप में उनकी संभावना के आधार पर विचार किया जा सकता है, और इस प्रकार यह माप का अधिक संभावित मान नहीं है; अतः वास्तव में प्रत्याशा मान के घटित होने की शून्य संभावना हो सकती है (उदाहरण के लिए माप जो की केवल पूर्णांक मान प्राप्त कर सकते हैं उनका गैर-पूर्णांक माध्य हो सकता है)। यह क्वांटम भौतिकी के सभी क्षेत्रों में मौलिक अवधारणा है।

परिचालन परिभाषा

ऑपरेटर (भौतिकी) $A$ पर विचार करें, तब अपेक्षा मान $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ नोटेशन में $|\psi \rangle$के साथ सामान्यीकरण (सांख्यिकी) स्थान सदिश है।

क्वांटम यांत्रिकी में औपचारिकता

क्वांटम सिद्धांत में, एक प्रयोगात्मक समुच्चय अप को मापने के लिए अवलोकन योग्य $A$ और प्रणाली की स्थिति $\sigma$ द्वारा वर्णित किया गया है।तथा $\sigma$ अवस्था में A का प्रत्याशित मान $\langle A\rangle _{\sigma }$ के रूप में दर्शाया जाता है।

गणितीय रूप से, $A$ हिल्बर्ट स्थान पर स्व-सहायक ऑपरेटर है। क्वांटम यांत्रिकी में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले स्तिथ में, $\sigma$ शुद्ध अवस्था है, जिसे सामान्यीकृत द्वारा वर्णित किया गया है सदिश $\psi$ हिल्बर्ट क्षेत्र में. की अपेक्षा मान $A$ स्थान में $\psi$ परिभाषित किया जाता है

$$\langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .$$

(1)

यदि गतिशीलता (भौतिकी) पर विचार किया जाए, तो या तो सदिश $\psi$ या ऑपरेटर $A$ इसे समय-निर्भर माना जाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि श्रोडिंगर चित्र या हाइजेनबर्ग चित्र का उपयोग किया गया है या नहीं। चूँकि, अपेक्षा मान का विकास इस विकल्प पर निर्भर नहीं करता है।

अगर $A$ आइजन्सदिश का पूरा समुच्चय है $\phi _{j}$, आइजेनवैल्यू ​​​​के साथ $a_{j}$, तब (1) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.$$

(2)

यह अभिव्यक्ति अंकगणित माध्य के समान है, और गणितीय औपचारिकता के भौतिक अर्थ को दर्शाती है: आइजेनवैल्यू $a_{j}$ प्रयोग के संभावित परिणाम हैं, और उनके संगत गुणांक $|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}$ संभावना है कि यह परिणाम घटित होगा; इसे प्रायः संक्रमण संभावना कहा जाता है।

एक विशेष रूप से साधारण स्तिथ तब सामने आता है जहाँ $A$ प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है, और इस प्रकार इसमें केवल आइजेनवैल्यू ​​0 और 1 हैं। यह भौतिक रूप से हाँ-नहीं प्रकार के प्रयोग से मेल खाता है। इस स्तिथ में, अपेक्षा मान वह संभावना है कि प्रयोग का परिणाम 1 है, और इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है

$$\langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.$$

(3)

इस प्रकार से क्वांटम सिद्धांत में, एक ऑपरेटर के लिए गैर-अलग-अलग वर्णमाला होना भी संभव है, जैसे कि क्वांटम यांत्रिकी में स्थिति ऑपरेटर $X$ इस ऑपरेटर के पास पूर्ण रूप से निरंतर वर्णमाला है, जिसमें आइजेनवैल्यू ​​और आइजनसदिश निरंतर पैरामीटर, $x$ पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, ऑपरेटर $X$ एक स्थानिक सदिश $|x\rangle$ पर $X|x\rangle =x|x\rangle$ के रूप में कार्य करता है। इस स्तिथ में, सदिश $\psi$ को एक समष्टि-मान वाले फलन $\psi (x)$ के रूप में लिखा जा सकता है। $X$ का वर्णमाला (सामान्यतः वास्तविक रेखा)। यह औपचारिक रूप से राज्य सदिश $|\psi \rangle$ को ऑपरेटर के आइजेनवैल्यू ​​पर प्रक्षेपित करके प्राप्त किया जाता है, जैसा कि असतत स्तिथ ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$ में होता है। ऐसा होता है कि स्थिति ऑपरेटर के आइजनसदिश राज्यों के सदिश स्थान के लिए एक पूर्ण आधार बनाते हैं, और इसलिए पूर्णता संबंध का पालन करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी में पूर्णता संबंध का पालन करते हैं:

$$\int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I}$$

उपरोक्त का उपयोग अपेक्षित (4) मान के लिए सामान्य, अभिन्न अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है , अपेक्षित मान की सदिश अभिव्यक्ति में पहचान सम्मिलित करके, फिर स्थिति के आधार पर विस्तार करके:

$${\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}$$

जहां स्थिति आधार सदिश की लंबनात्मकता $\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$, दोहरे इंटीग्रल को एकल इंटीग्रल में कम कर देता है।अंतिम पंक्ति $\psi ^{*}\psi$ को $|\psi |^{2}$, से परिवर्तन के लिए एक समष्टि मानवान फलन के मापांक का उपयोग करती है जो क्वांटम-मैकेनिकल इंटीग्रल्स में एक सामान्य प्रतिस्थापन है।

तब प्रत्याशा मान कहा जा सकता है, जहां x सूत्र के रूप में असीमित है

$$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.$$

(4)

एक समान सूत्र गति ऑपरेटर $P$ के लिए प्रयुक्त होता है , उन प्रणालियों में जहां इसका निरंतर वर्णमाला होता है।

इस प्रकार से उपरोक्त सभी सूत्र शुद्ध अवस्थाओं $\sigma$ के लिए मान्य हैं केवल। प्रमुख रूप से ऊष्मप्रवैगिकी और क्वांटम प्रकाशिकी में भी मिश्रित अवस्थाएँ महत्वपूर्ण हैं; इन्हें धनात्मक ट्रेस-वर्ग ऑपरेटर ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ सांख्यिकीय ऑपरेटर या घनत्व आव्युह द्वारा वर्णित किया गया है। तब अपेक्षित मान इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है

$$\langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.$$

(5)

सामान्य सूत्रीकरण

अतः सामान्य रूप से, क्वांटम अवस्थाओं $\sigma$ को वेधशालाओं के समुच्चय पर धनात्मक सामान्यीकृत रैखिक कार्यात्मकताओं द्वारा वर्णित किया जाता है, गणितीय रूप से प्रायः इसे सी*-बीजगणित के रूप में लिया जाता है। एक अवलोकन योग्य $A$ का अपेक्षित मान तब दिया जाता है

$$\langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).$$

(6)

यदि अवलोकन योग्य वस्तुओं का बीजगणित हिल्बर्ट स्थान पर अपरिवर्तनीय रूप से कार्य करता है, और यदि $\sigma$ सामान्य कार्यात्मकता है, अर्थात यह अति निर्बल टोपोलॉजी में निरंतर है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$$\sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )$$

ट्रेस 1 के धनात्मक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर $\rho$ के साथ। यह उपरोक्त सूत्र (5) देता है। शुद्ध अवस्था के मामले में, $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ एक इकाई सदिश $\psi$ फिर $\sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle$ पर एक प्रक्षेपण है जो उपरोक्त सूत्र (1) देता है।

$A$ को स्व-सहायक संचालिका माना जाता है। सामान्य स्थिति में, इसका स्पेक्ट्रम न तो पूर्ण रूप से अलग होगा और न ही पूर्ण रूप से निरंतर। फिर भी, कोई $A$ को वर्णक्रमीय प्रमेय में लिख सकता है,

$$A=\int a\,dP(a)$$

प्रोजेक्टर-मान माप के साथ $P$. की अपेक्षा मान के लिए $A$ शुद्ध अवस्था में $\sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle$, इसका अर्थ यह है

$$\langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,$$

जिसे सूत्रों के सामान्य सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है (2) और (4) ऊपर।

परिमित रूप से कई कणों (क्वांटम यांत्रिकी, सख्त अर्थ में) के गैर-सापेक्षवादी सिद्धांतों में, मानी जाने वाली अवस्थाएँ सामान्यतः सामान्य होती हैं. चूँकि , क्वांटम सिद्धांत के अन्य क्षेत्रों में भी, गैर-सामान्य अवस्थाएँ उपयोग में हैं: उदाहरण के लिए, वे प्रकट होती हैं। असीम रूप से विस्तारित मीडिया के क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में केएमएस स्थान के रूप में, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में आवेशित अवस्थाओं के रूप में। इन स्तिथि में, अपेक्षा मान केवल अधिक सामान्य सूत्र (6) द्वारा निर्धारित किया जाता है .

कॉन्फ़िगरेशन स्थान में उदाहरण

उदाहरण के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी) प्रतिनिधित्व में एक स्थानिक आयाम में एक क्वांटम यांत्रिक कण पर विचार करें। यहां हिल्बर्ट समिष्टि वास्तविक रेखा पर वर्ग-अभिन्न फलन का स्थान ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ है। सदिश $\psi \in {\mathcal {H}}$ को फलन $\psi (x)$ द्वारा दर्शाया जाता है जिन्हें वेव फलन कहा जाता है। अदिश उत्पाद ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$ द्वारा दिया जाता है तरंग फलन की संभाव्यता वितरण के रूप में सीधी व्याख्या होती है:

$$p(x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx$$

किसी बिंदु $dx$ के बारे में लंबाई $x$ के एक अतिसूक्ष्म अंतराल में कण को खोजने की संभावना देता है.

एक अवलोकन के रूप में, स्थिति ऑपरेटर $Q$ पर विचार करें जो तरंग फलन $\psi$ पर कार्य करता है

$$(Q\psi )(x)=x\psi (x).$$

अपेक्षित मान, या माप का औसत मान $Q$ अधिक उच्च संख्या में समान स्वतंत्र प्रणालियों पर प्रदर्शन किया जाएगा

$$\langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,p(x)\,dx.$$

प्रत्याशा मान केवल तभी उपस्तिथ होता है जब अभिन्न अभिसरण होता है, जो सभी सदिशों $\psi$ के लिए स्तिथ नहीं है. ऐसा इसलिए है क्योंकि स्थिति ऑपरेटर असीमित ऑपरेटर है, और $\psi$ इसकी परिभाषा के क्षेत्र से चयन करना है।

सामान्य रूप से, किसी भी अवलोकन योग्य की अपेक्षा की गणना $Q$ को उपयुक्त ऑपरेटर के साथ प्रतिस्थापित करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, औसत गति की गणना करने के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्थान ${\textstyle P=-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$ में गति ऑपरेटर का उपयोग स्पष्ट रूप से किया जाता है, इसकी अपेक्षा मान है

$$\langle P\rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.$$

सामान्य रूप से सभी ऑपरेटर मापने योग्य मान प्रदान नहीं करते हैं। ऑपरेटर जिसका शुद्ध वास्तविक अपेक्षा मान होता है उसे अवलोकन योग्य कहा जाता है और इसका मान सीधे प्रयोग में मापा जा सकता है।

यह भी देखें

• रेले भागफल
• अनिश्चित सिद्धांत
• विरियल प्रमेय

अग्रिम पठन

The expectation value, in particular as presented in the section "Formalism in quantum mechanics", is covered in most elementary textbooks on quantum mechanics.

For a discussion of conceptual aspects, see:

• Isham, Chris J (1995). Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.