अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

गणित में, क्रम $n$ का एक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण एक आंशिक अवकल समीकरण (PDE) है, जो मोटे तौर पर बोलते हुए, पहले $n-1$ डेरिवेटिव के लिए एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या है। अधिक सटीक रूप से कॉची समस्या को किसी भी गैर-विशेषता हाइपरसर्फेस के साथ मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण अतिपरवलयिक हैं, और इसलिए अतिपरवलयिक समीकरणों का अध्ययन समकालीन रुचि का विषय है। मॉडल अतिपरवलयिक समीकरण तरंग समीकरण है। एक स्थानिक आयाम में, यह है

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

समीकरण में यह गुण है कि, यदि u और इसके पहली बार व्युत्पन्न को लाइन t = 0 (पर्याप्त चिकनाई गुणों के साथ) पर मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट किया जाता है, तो सभी समय t के लिए एक समाधान मौजूद है।

अतिपरवलयिक समीकरणों के समाधान "तरंग-सदृश" होते हैं। यदि अतिपरवलयिक अवकल समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है। एक निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की एक सीमित प्रसार गति होती है। वे समीकरण की विशेषताओं के साथ यात्रा करते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिपरवलयिक समीकरणों को दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों से अलग करती है। किसी दीर्घवृत्तीय या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी अनिवार्य रूप से डोमेन के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में महसूस की जाती है।

यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अवकल समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अंतर संक्रियकों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैररेखीय विभेदक समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनके रैखिककरण गार्डिंग के अर्थ में अतिपरवलयिक हों। संरक्षण नियम (भौतिकी) की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत है।

परिभाषा

एक आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु $P$ पर अतिपरवलयिक है, बशर्ते कि कॉची समस्या $P$ से गुजरने वाले गैर-विशेषता हाइपरसतह पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए $P$ के पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो। यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अवकल समीकरण के क्रम से एक कम तक सतह पर फ़ंक्शन के सभी (अनुप्रस्थ) डेरिवेटिव शामिल हैं।

उदाहरण

चरों के रैखिक परिवर्तन द्वारा किसी भी समीकरण का रूप

$$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$$

साथ

$$B^{2}-AC>0$$

निचले क्रम के शब्दों के अलावा, जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक हैं, तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।  यह परिभाषा एक समतल हाइपरबोला की परिभाषा के अनुरूप है।

एक आयामी तरंग समीकरण:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$$

अतिपरवलयिक समीकरण का एक उदाहरण है. द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिपरवलयिक पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण को पहले क्रम के अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली में बदला जा सकता है।

आंशिक अवकल समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली

निम्नलिखित $s$ अज्ञात फलन ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$, ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$, के लिए $s$ प्रथम क्रम आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है जहां ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$:

$${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,$$

(∗)

जहां ${\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ एक बार सामान्य रूप से लगातार अलग-अलग विभेदक कार्य गैर-रेखीय होते हैं।

प्रत्येक ${\vec {f}}^{j}$ के लिए अगला, $s\times s$ जैकोबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करें

$$A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.$$

सिस्टम (∗) हाइपरबो $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ है, मैट्रिक्स $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ में केवल वास्तविक संख्या ​​​​है और यह विकर्णीय मैट्रिक्स है।

यदि मैट्रिक्स $A$ में s विशिष्ट वास्तविक eigenvalues ​​​​हैं, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्ण योग्य है। इस मामले में सिस्टम (∗) को सख्ती से अतिपरवलयिक कहा जाता है।

यदि मैट्रिक्स $A$ सममित है, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णीय है और स्वदेशी मान वास्तविक हैं। इस मामले में प्रणाली (∗) को सममित अतिपरवलयिक कहा जाता है।

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन $u=u({\vec {x}},t)$ के लिए एक आंशिक अवकल समीकरण की अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें। तब सिस्टम (∗) का रूप होता है

$${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.$$

(∗∗)

यहां $u$ की व्याख्या एक ऐसी मात्रा के रूप में की जा सकती है जो ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$ द्वारा दिए गए फ्लक्स के अनुसार घूमती है। यह देखने के लिए कि मात्रा $u$ संरक्षित है अभिन्न ∗∗ को एक डोमेन $\Omega$ पर एकीकृत करें।

$$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.$$

यदि $u$ और ${\vec {f}}$ पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं तो हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और सामान्य रूप में मात्रा $u$ के लिए संरक्षण नियम प्राप्त करने के लिए एकीकरण और $\partial /\partial t$ के क्रम को बदल सकते हैं।

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,$$

जिसका अर्थ है कि डोमेन $\Omega$ में $u$ के परिवर्तन की समय दर इसकी सीमा $\partial \Omega$ के माध्यम से $u$ के शुद्ध प्रवाह के बराबर है। चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $u$ $\Omega$ के भीतर संरक्षित है।

यह भी देखें

• दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण
• हाइपोएलिप्टिक संक्रियक
• परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

अग्रिम पठन

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

बाहरी संबंध

• "Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.