सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म

गणित में, जटिल सह-बॉर्डिज्म एक सामान्यीकृत सह-समरूपता सिद्धांत है जो बहुखण्डों के सह-बॉर्डिज्म से संबंधित है। इसके स्पेक्ट्रम (होमोटोपी सिद्धांत) को एमयू द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक असाधारण रूप से शक्तिशाली कोहोमोलॉजी सिद्धांत है, लेकिन इसकी गणना करना काफी कठिन हो सकता है, इसलिए अक्सर इसे सीधे उपयोग करने के बजाय इससे प्राप्त कुछ कमजोर सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है, जैसे कि ब्राउन-पीटरसन कोहोमोलॉजी या मोरवा के-सिद्धांत, जिनकी गणना करना आसान होता है .

सामान्यीकृत होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी जटिल कोबॉर्डिज्म सिद्धांत पेश किए गए थे Michael Atiyah (1961) थॉम स्पेक्ट्रम का उपयोग करना।

जटिल सह-बॉर्डिज्म का स्पेक्ट्रम

जटिल बोर्डिज्म $MU^{*}(X)$ एक स्थान का $X$ मोटे तौर पर बहुखण्ड अधिक बोर्डिज्म वर्गों का समूह है $X$ स्थिर सामान्य बंडल पर एक जटिल रैखिक संरचना के साथ। कॉम्प्लेक्स बोर्डिज़्म एक सामान्यीकृत होमोलॉजी सिद्धांत है, जो एक स्पेक्ट्रम एमयू के अनुरूप है जिसे थॉम रिक्त स्थान के संदर्भ में स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।

अंतरिक्ष $MU(n)$ सार्वभौमिक का थॉम स्थान है $n$वर्गीकृत स्थान पर -प्लेन बंडल $BU(n)$ एकात्मक समूह का $U(n)$. से प्राकृतिक समावेशन $U(n)$ में $U(n+1)$ डबल निलंबन (टोपोलॉजी) से एक मानचित्र तैयार करता है $\Sigma ^{2}MU(n)$ को $MU(n+1)$. ये मानचित्र मिलकर स्पेक्ट्रम देते हैं $MU$; अर्थात्, यह का समरूप कोलिमिट है $MU(n)$.

उदाहरण: $MU(0)$ गोलाकार स्पेक्ट्रम है. $MU(1)$ निलंबन है $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ का $\mathbb {CP} ^{\infty }$.

निलपोटेंस प्रमेय बताता है कि, किसी भी रिंग स्पेक्ट्रम के लिए $R$, का कर्नेल $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ शून्यशक्तिशाली तत्वों से युक्त है। प्रमेय का तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि, यदि $\mathbb {S}$ गोला स्पेक्ट्रम है, फिर किसी के लिए $n>0$, का प्रत्येक तत्व $\pi _{n}\mathbb {S}$ निलपोटेंट (ग्राउंडर निशिदा का एक प्रमेय) है। (प्रमाण: यदि $x$ में है $\pi _{n}S$, तब $x$ एक मरोड़ है लेकिन इसकी छवि में है $\operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L$, लैजार्ड वलय, तब से मरोड़ नहीं सकता $L$ एक बहुपद वलय है. इस प्रकार, $x$ कर्नेल में होना चाहिए.)

औपचारिक समूह कानून

John Milnor (1960) और Sergei Novikov (1960, 1962)दिखाया कि गुणांक वलय $\pi _{*}(\operatorname {MU} )$ (एक बिंदु के जटिल कोबॉर्डिज़्म के बराबर, या समकक्ष रूप से जटिल मैनिफोल्ड्स के कोबॉर्डिज़्म वर्गों की अंगूठी) एक बहुपद अंगूठी है $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ अनंत रूप से अनेक जनरेटरों पर $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ सकारात्मक सम डिग्री का.

लिखना $\mathbb {CP} ^{\infty }$ अनंत आयामी जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए, जो जटिल रेखा बंडलों के लिए वर्गीकृत स्थान है, ताकि रेखा बंडलों का टेंसर उत्पाद एक मानचित्र को प्रेरित कर सके $\mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.$ एसोसिएटिव क्रमविनिमेय वलय स्पेक्ट्रम ई पर एक जटिल अभिविन्यास एक तत्व x है $E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ किसका प्रतिबंध $E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})$ 1 है, यदि बाद वाली रिंग की पहचान E के गुणांक रिंग से की जाती है। ऐसे तत्व x वाले स्पेक्ट्रम E को 'कॉम्प्लेक्स ओरिएंटेड रिंग स्पेक्ट्रम' कहा जाता है।

यदि E एक जटिल उन्मुख रिंग स्पेक्ट्रम है, तो

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]$

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$

और $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ रिंग पर एक औपचारिक समूह कानून है $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$.

जटिल सह-बॉर्डिज़्म में एक प्राकृतिक जटिल अभिविन्यास होता है। Daniel Quillen (1969)दिखाया गया कि इसके गुणांक वलय से लेज़ार्ड के सार्वभौमिक वलय तक एक प्राकृतिक समरूपता है, जो जटिल कोबर्डिज्म के औपचारिक समूह कानून को सार्वभौमिक औपचारिक समूह कानून में बदल देती है। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रमविनिमेय वलय R पर किसी औपचारिक समूह नियम F के लिए, MU से एक अद्वितीय वलय समरूपता है^*(बिंदु) R की ओर इस प्रकार कि F जटिल सह-बॉर्डिज्म के औपचारिक समूह कानून का प्रतिरूप है।

See also: complex-orientable cohomology theory

ब्राउन-पीटरसन कोहोमोलॉजी

तर्कसंगतों पर जटिल सह-बॉर्डिज्म को तर्कसंगतों पर सामान्य सह-समरूपता में कम किया जा सकता है, इसलिए मुख्य रुचि जटिल सह-बॉर्डिज्म के मरोड़ में है। प्राइम पी पर एमयू को स्थानीयकृत करके एक समय में एक प्राइम में मरोड़ का अध्ययन करना अक्सर आसान होता है; मोटे तौर पर इसका मतलब यह है कि कोई व्यक्ति मरोड़ प्राइम को पी तक खत्म कर देता है। स्थानीयकरण एमयू_p प्राइम पी पर एमयू का विभाजन ब्राउन-पीटरसन कोहोमोलॉजी नामक एक सरल कोहोमोलॉजी सिद्धांत के निलंबन के योग के रूप में होता है, जिसे पहले वर्णित किया गया था Brown & Peterson (1966). व्यवहार में व्यक्ति अक्सर जटिल कोबॉर्डिज्म के बजाय ब्राउन-पीटरसन कोहोलॉजी के साथ गणना करता है। सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए किसी स्थान के ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता का ज्ञान मोटे तौर पर इसके जटिल सह-बॉर्डिज्म के ज्ञान के बराबर है।

कोनर-फ्लोयड कक्षाएं

अंगूठी $\operatorname {MU} ^{*}(BU)$ औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय के समरूपी है $\operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]$ जहां तत्व cf कोनर-फ्लोयड वर्ग कहा जाता है। वे जटिल सह-बॉर्डिज्म के लिए चेर्न कक्षाओं के अनुरूप हैं। द्वारा उनका परिचय कराया गया Conner & Floyd (1966).

उसी प्रकार $\operatorname {MU} _{*}(BU)$ बहुपद वलय का समरूपी है $\operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]$

सहसंगति संचालन

हॉपफ बीजगणित एमयू_*(MU) बहुपद बीजगणित R[b का समरूपी है₁, बी₂, ...], जहां आर 0-गोले की कम हुई बोर्डिज्म रिंग है।

सहउत्पाद द्वारा दिया जाता है

$\psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}$

जहां अंकन ()_2i मतलब डिग्री 2i का टुकड़ा ले लो. इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। वो नक्शा

$x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots$

एक्स में औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी और एमयू के सह-उत्पाद का एक निरंतर ऑटोमोर्फिज्म है_*(एमयू) ऐसे दो ऑटोमोर्फिज्म की संरचना देता है।

यह भी देखें

• एडम्स-नोविकोव वर्णक्रमीय अनुक्रम
• कोहोमोलॉजी सिद्धांतों की सूची
• बीजगणितीय सहबॉर्डिज्म

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Complex bordism at the manifold atlas
• cobordism cohomology theory at the nLab