अर्ध-सीमित क्षेत्र

गणित में, अर्ध-सीमित क्षेत्र परिमित क्षेत्र का सामान्यीकरण है। मानक स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत सामान्यतः पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (अर्थात गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र), किंतु सिद्धांत समान रूप से प्रारम्भ होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।

औपचारिक परिभाषा

अर्ध-परिमित क्षेत्र टोपोलॉजिकल समूहों की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र K है:

$\phi :{\hat {\mathbb {Z} }}\to \operatorname {Gal} (K_{s}/K),$

जहां K, K_s का बीजगणितीय समापन है (आवश्यक रूप से भिन्न करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार K_s/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार क्रुल टोपोलॉजी दी गई है। समूह ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में पूर्णांकों की अनंत पूर्णता है।

यह परिभाषा कहने के समान है कि K के निकट प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का अद्वितीय (आवश्यक रूप से चक्रीय विस्तार) K_n है और इन विस्तारों का संघ K_s के समान है। इसके अतिरिक्त, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के भाग के रूप में, जनरेटर F_n है प्रत्येक Gal(K_n/K) के लिए, जनरेटर F_n है, और जनरेटर को सुसंगत होना चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F_m से K_n तक का प्रतिबंध F_n के समान है।

उदाहरण

सबसे मूलभूत उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है, अर्थात् K_n = GF(qⁿ), K_n का संघ बीजगणितीय समापन K_s है। हम F_n को फ्रोबेनियस तत्व मानते हैं; अर्थात्, F_n(x) = x^q है।

अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का वलय है। (ये केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं जिसमें हम ऋणात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है:

$K_{n}=\mathbf {C} ((T^{1/n}))$

प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका संघ K का बीजगणितीय समापन है जिसे पुइसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र कहा जाता है, और यह Gal(K_n/K) जनरेटर द्वारा दिया जाता है:

$F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.$

यह निर्माण तब कार्य करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र C से परिवर्तित कर दिया जाता है।

संदर्भ

• Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, Zbl 1179.11040
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, translated by Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237, Zbl 0423.12016