पूर्ण गैलोज़ समूह

वास्तविक संख्याओं का पूर्ण गैलोज़ समूह समष्टि संयुग्मन द्वारा उत्पन्न क्रम 2 का एक चक्रीय समूह है, क्योंकि C, R और [C:R] = 2 का वियोज्य समापन है।

गणित में, पूर्ण गैलोज़ समूह G_K जी एक क्षेत्र (गणित) का K, K का गैलोज़ समूह है K^sep के ऊपर, जहां K^sep K का एक पृथक्करणीय समापन है। वैकल्पिक रूप से यह K के बीजगणितीय समापन के आंतरिक स्वचालितता का समूह है जो K को ठीक करता है। पूर्ण गैलोज़ समूह को आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म तक अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। यह एक अनंत समूह है.

(जब K एक आदर्श क्षेत्र है, K^sepबीजगणितीय समापन K के समान है ^{K alg}। यह उदाहरण रखता है। विशेषता शून्य के K के लिए, या K एक परिमित क्षेत्र के लिए।)

उदाहरण

• बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र का पूर्ण गैलोज़ समूह नगण्य है।
• वास्तविक संख्याओं का पूर्ण गैलोज़ समूह दो तत्वों (समष्टि संयुग्मन और पहचान मानचित्र) का एक चक्रीय समूह है, क्योंकि C, R और [C:R] = 2 का वियोज्य समापन है।
• एक परिमित क्षेत्र K का पूर्ण गैलोज़ समूह समूह के लिए समरूपी है

${\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .$

(नोटेशन के लिए, व्युत्क्रम सीमा देखें।)

फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म Fr, G_K का एक विहित (टोपोलॉजिकल) जनरेटर है. (याद रखें कि Fr(x) = x^q for all x in K^alg,जहां q, K में तत्वों की संख्या है।)

• समष्टि गुणांक वाले तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र का पूर्ण गैलोज़ समूह मुफ़्त है, (एक अनंत समूह के रूप में)। यह परिणाम एड्रियन डौडी के कारण है और इसकी व्युत्पत्ति रीमैन के अस्तित्व प्रमेय में हुई है
• अधिक सामान्यतः, मान लीजिए कि C बीजगणितीय रूप से संवृत फ़ील्ड है और x एक चर है। तब K = C(x) का पूर्ण गैलोज़ समूह C की कार्डिनैलिटी के बराबर रैंक से मुक्त है। यह परिणाम डेविड हार्बेटर और फ्लोरियन पॉप के कारण है, और बाद में बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करके डैन हरन और मोशे जार्डन द्वारा भी सिद्ध किया गया था।
• मान लीजिए K, p-एडिक संख्या 'Q' का एक सीमित विस्तार है_p. पी ≠ 2 के लिए, इसका पूर्ण गैलोज़ समूह [K:'Q' द्वारा उत्पन्न होता है_p] + 3 तत्व और जनरेटर संबंधों द्वारा स्पष्ट विवरण है। यह उवे जैनसेन और के विंगबर्ग का परिणाम है। पी = 2 की स्थिति में कुछ परिणाम ज्ञात हैं, लेकिन 'क्यू' की संरचना₂ ज्ञात नहीं है।
• एक और मामला जिसमें पूर्ण गैलोज़ समूह निर्धारित किया गया है वह बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र के सबसे बड़े पूर्णतः वास्तविक उपक्षेत्र के लिए है।

समस्याएँ

• परिमेय संख्याओं के पूर्ण गैलोज़ समूह के लिए कोई प्रत्यक्ष विवरण ज्ञात नहीं है। इस मामले में, बेली के प्रमेय से यह पता चलता है कि पूर्ण गैलोज़ समूह का ग्रोथेंडिक (सतहों पर मानचित्र) के डेसिन्स डी एनफैंट्स पर एक वफादार कार्रवाई है, जो हमें बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों के गैलोज़ सिद्धांत को देखने में सक्षम बनाता है।
• मान लीजिए K परिमेय संख्याओं का अधिकतम एबेलियन विस्तार है। फिर 'शफ़ारेविच का अनुमान' दावा करता है कि K का पूर्ण गैलोज़ समूह एक स्वतंत्र अनंत समूह है।

कुछ सामान्य परिणाम

• प्रत्येक अनंत समूह कुछ गैलोज़ विस्तार के गैलोज़ समूह के रूप में होता है, हालाँकि, प्रत्येक अनंत समूह पूर्ण गैलोज़ समूह के रूप में नहीं होता है। उदाहरण के लिए, रियल क्लोज्ड फील्ड|आर्टिन-श्रेयर प्रमेय का दावा है कि एकमात्र परिमित निरपेक्ष गैलोज़ समूह या तो तुच्छ हैं या क्रम 2 के हैं, यानी केवल दो समरूपता वर्ग हैं।
• प्रत्येक प्रक्षेप्य अनंत समूह को छद्म बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र के पूर्ण गैलोज़ समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है। यह परिणाम अलेक्जेंडर लुबोट्ज़की और लुई वैन डेन ड्रीस के कारण है।

संदर्भ

स्रोत

• Douady, Adrien (1964), "Détermination d'un groupe de Galois", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 258: 5305–5308, MR 0162796
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001
• Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), "The absolute Galois group of C(x)", Pacific Journal of Mathematics, 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445, MR 1800587
• Harbater, David (1995), "Fundamental groups and embedding problems in characteristic p", Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993), Contemporary Mathematics, vol. 186, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 353–369, MR 1352282
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\mathfrak {p}}$-adischer Zahlkörper" (PDF), Inventiones Mathematicae, 70: 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, S2CID 119378923
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
• Pop, Florian (1995), "Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture", Inventiones Mathematicae, 120 (3): 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, doi:10.1007/bf01241142, MR 1334484, S2CID 128157587

श्रेणी:गैलोइस सिद्धांत