वृत्ताकार फलन

सम्मिश्र विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में वृत्ताकार फलन एक विशेष प्रकार के मेरोमोर्फिक फलन फलन होते हैं, जो दो आवधिकता नियमो को पूरा करते हैं। इन्हें वृत्ताकार फलन नाम दिया गया है क्योंकि ये वृत्ताकार समाकलन से आते हैं। मूल रूप से वे अभिन्न अंग एक दीर्घवृत्त की चाप लंबाई की गणना पर घटित हुए थे।

महत्वपूर्ण वृत्ताकार कार्य जैकोबी वृत्ताकार कार्य और वीयरस्ट्रैस ℘\wp -फलन हैं।

इस सिद्धांत के आगे विकास से हाइपरलिप्टिक वक्र और मॉड्यूलर रूप सामने आते है।

परिभाषा

एक मेरोमॉर्फिक फलन को वृत्ताकार फलन कहा जाता है, यदि दो $\mathbb {R}$ -रैखिक स्वतंत्र सम्मिश्र संख्याएं $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ हों जैसे कि

$f(z+\omega _{1})=f(z)$ और $f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}$.

अतः वृत्ताकार फलनों के दो आवर्त होते हैं और इसलिए वे दोहरे आवर्त फलन होते हैं।

अवधि जालक और मौलिक डोमेन

समांतर चतुर्भुज जहां विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है

यदि $f$ आवर्त $\omega _{1},\omega _{2}$ वाला एक वृत्ताकार फलन है तो यह भी माना जाता है कि

$f(z+\gamma )=f(z)$

प्रत्येक रैखिक संयोजन के लिए $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ साथ $m,n\in \mathbb {Z}$.

एबेलियन समूह

$\Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}$

आवर्त जालक कहलाता है।

$\omega _{1}$और $\omega _{2}$द्वारा उत्पन्न समांतर चतुर्भुज है।

$\{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}$

$\Lambda$ का एक मौलिक डोमेन $\mathbb {C}$ पर कार्य कर रहा है।

ज्यामितीय रूप से सम्मिश्र तल को समांतर चतुर्भुजों से टाइल किया गया है। जो कुछ भी एक मौलिक क्षेत्र में होता है वह अन्य सभी में दोहराया जाता है। इस कारण से हम वृत्ताकार फलन को भागफल समूह $\mathbb {C} /\Lambda$ के साथ उनके डोमेन के रूप में देख सकते हैं। इस भागफल समूह को, जिसे वृत्ताकार वक्र कहा जाता है, एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखा जा सकता है जहाँ विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है, जो स्थलाकृतिक रूप से एक टोरस है।

लिउविले के प्रमेय

निम्नलिखित तीन प्रमेयों को जोसेफ लिउविले के प्रमेय (1847) के रूप में जाना जाता है।

पहला प्रमेय

एक होलोमोर्फिक वृत्ताकार फलन स्थिर होता है।

]यह लिउविल प्रमेय (सम्मिश्र विश्लेषण) का मूल रूप है|लिउविल प्रमेय और इसे इससे प्राप्त किया जा सकता है। एक होलोमोर्फिक वृत्ताकार फलन परिबद्ध है क्योंकि यह मौलिक डोमेन पर अपने सभी मान लेता है जो कॉम्पैक्ट है। तो यह लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है।

दूसरा प्रमेय

प्रत्येक वृत्ताकार फलन के $\mathbb {C} /\Lambda$ में परिमित रूप से कई ध्रुव होते हैं और इसके अवशेषों का योग शून्य होता है।

इस प्रमेय का तात्पर्य यह है कि मौलिक डोमेन में ऑर्डर एक के बिल्कुल एक ध्रुव या ऑर्डर एक के बिल्कुल एक शून्य के साथ शून्य के समान कोई वृत्ताकार फलन नहीं है।

तीसरा प्रमेय

एक गैर-स्थिर वृत्ताकार फलन प्रत्येक मान को बहुलता के साथ गिनने पर $\mathbb {C} /\Lambda$ में समान संख्या में लेता है।

वीयरस्ट्रैस ℘-फलन

Main article: वीयरस्ट्रैस वृत्ताकार फलन

सबसे महत्वपूर्ण वृत्ताकार कार्यों में से एक वीयरस्ट्रैस $\wp$ -फलन है। किसी दी गई अवधि जाली $\Lambda$ के लिए इसे परिभाषित किया गया है

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).$

इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है कि इसके प्रत्येक जाली बिंदु पर क्रम दो का एक खंभा है। शृंखला को अभिसरण बनाने के लिए शब्द $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ उपस्थित है।

$\wp$ एक सम वृत्ताकार फलनहै जो $\wp (-z)=\wp (z)$ है।

इसका व्युत्पन्न

$\wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}$

एक विचित्र कार्य है, अर्थात $\wp '(-z)=-\wp '(z).$

वृत्ताकार कार्यों के सिद्धांत के मुख्य परिणामों में से एक निम्नलिखित है: किसी दिए गए अवधि जाली $\Lambda$ के संबंध में प्रत्येक वृत्ताकार फलन को $\wp$ और $\wp '$ के संदर्भ में एक तर्कसंगत फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\wp$वें>-फलन अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है

$\wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.$

जहां $g_{2}$ और $g_{3}$ स्थिरांक हैं जो $\Lambda$ पर निर्भर करते हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ और $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$, जहां $G_{4}$ और $G_{6}$ तथाकथित आइज़ेंस्टीन श्रृंखला हैं।

बीजगणितीय भाषा में: वृत्ताकार फलनों का क्षेत्र, क्षेत्र के समरूपी होता है

$\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})$,

जहां समरूपता $\wp$ से $X$ और $\wp '$ से $Y$ तक मैप होती है।

• 

  विअरस्ट्रास $\wp$-आवर्त जाली के साथ कार्य $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$

• 

  की व्युत्पत्ति $\wp$-समारोह

वृत्ताकार समाकलन से संबंध

वृत्ताकार अभिन्नों के संबंध में मुख्य रूप से एक ऐतिहासिक पृष्ठभूमि है। एलिप्टिक इंटीग्रल्स का अध्ययन लीजेंड्रे द्वारा किया गया था, जिसका काम नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकोबी ने लिया था।

एबेल ने वृत्ताकार अभिन्न फलन का व्युत्क्रम फलन $\varphi$ लेकर वृत्ताकार फलन की खोज की थी

$\alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}$

साथ $x=\varphi (\alpha )$.

इसके अतिरिक्त उन्होंने कार्यों को भी परिभाषित किया था

$f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}$

और

$F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}$.

सम्मिश्र तल की निरंतरता के बाद वे दोगुने आवधिक हो गए और एबेल वृत्ताकार फलन के रूप में जाने जाते हैं।

जैकोबी वृत्ताकार फलन को वृत्ताकार समाकलन के व्युत्क्रम फलन के समान ही प्राप्त किया जाता है।

जैकोबी ने अभिन्न कार्य पर विचार किया

$\xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$

और इसे उलट दिया: $x=\operatorname {sn} (\xi )$. $\operatorname {sn}$ साइनस आयाम को दर्शाता है और यह नए फलन का नाम है। इसके बाद उन्होंने कोसाइन आयाम और डेल्टा आयाम फलन प्रस्तुत किए, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया

$\operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}$.

केवल यह कदम उठाकर, जैकोबी 1827 में वृत्ताकार अभिन्नों के अपने सामान्य परिवर्तन सूत्र को सिद्ध कर सकते है ।

इतिहास

कैलकुलस के विकास के तुरंत बाद वृत्ताकार कार्यों का सिद्धांत इतालवी गणितज्ञ गिउलिओ डि फागनानो और स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रारंभ किया गया था। जब उन्होंने लेम्निस्केट की चाप लंबाई की गणना करने की प्रयाश की तो उन्हें अभिन्नों से जुड़ी समस्याओं का सामना करना पड़ा जिसमें डिग्री 3 और 4 के बहुपदों का वर्गमूल सम्मिलित था। यह स्पष्ट था कि उन तथाकथित वृत्ताकार अभिन्नों को प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। फाग्नानो ने वृत्ताकार इंटीग्रल्स के बीच एक बीजगणितीय संबंध देखा, जिसे उन्होंने 1750 में प्रकाशित किया था। यूलर ने तुरंत फाग्नानो के परिणामों को सामान्यीकृत किया और वृत्ताकार अभिन्नों के लिए अपने बीजगणितीय जोड़ प्रमेय को प्रस्तुत किया था।

जॉन लैंडेन की एक टिप्पणी को छोड़कर उनके विचारों को 1786 तक आगे नहीं बढ़ाया गया, जब एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने आर्क्स ऑफ एलिप्से द्वारा एकीकरण पर अपना पेपर मेमोयर्स प्रकाशित किया गया था। लीजेंड्रे ने बाद में वृत्ताकार इंटीग्रल्स का अध्ययन किया और उन्हें वृत्ताकार कार्य कहा। लिजेंड्रे ने तीन प्रकार का वर्गीकरण प्रस्तुत किया - जो उस समय के अपेक्षाकृत सम्मिश्र सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण सरलीकरण था। लिजेंड्रे की अन्य महत्वपूर्ण कृतियाँ हैं: मेमोइरे सुर लेस ट्रान्सेंडैंटेस इलिप्टिक्स (1792), इंटीग्रल कैलकुलस में अभ्यास (1811-1817), वृत्ताकार कार्यों पर ग्रंथ (1825-1832)। 1826 तक लिजेंड्रे का काम ज्यादातर गणितज्ञों द्वारा अप्रभावित रहा था।

इसके बाद, नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने जांच फिर से प्रारंभ की और तुरंत नए परिणाम खोजे। सबसे पहले उन्होंने वृत्ताकार अभिन्न फलन को विपरीत कर दिया। 1829 में जैकोबी के एक सुझाव के बाद इन व्युत्क्रम फलनों को अब वृत्ताकार फलन कहा जाता है। जैकोबी की सबसे महत्वपूर्ण कृतियों में से एक है फंडामेंटा नोवा थियोरिया फंक्शनम एलिप्टिकेरम जो 1829 में प्रकाशित हुई थी। यूलर द्वारा पाया गया अतिरिक्त प्रमेय 1829 में एबेल द्वारा प्रस्तुत और उसके सामान्य रूप में सिद्ध किया गया था। ध्यान दें कि उन दिनों वृत्ताकार कार्यों के सिद्धांत और दोगुने आवधिक कार्यों के सिद्धांत को अलग-अलग सिद्धांत माना जाता था। उन्हें 1856 में चार्ल्स अगस्टे ब्रिओट और जीन-क्लाउड बाउक्वेट द्वारा एक साथ लाया गया था। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 30 साल पहले वृत्ताकार कार्यों के कई गुणों की खोज की थी किंतु इस विषय पर कभी कुछ भी प्रकाशित नहीं किया था ।

यह भी देखें

• वृत्ताकार अभिन्न
• वृत्ताकार वक्र
• मॉड्यूलर समूह
• थीटा फलन

साहित्य

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 16". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253. See also chapter 18. (केवल वास्तविक अपरिवर्तनीयों के मामले पर विचार करता है)।
• नौम अखिएज़र|एन. आई. अख़िएज़र, एलिमेंट्स ऑफ़ द थ्योरी ऑफ़ एलिप्टिक फ़ंक्शंस, (1970) मॉस्को, एएमएस ट्रांसलेशन्स ऑफ़ मैथमेटिकल मोनोग्राफ्स वॉल्यूम 79 (1990) एएमएस, रोड आइलैंड के रूप में अंग्रेजी में अनुवादित ISBN 0-8218-4532-2 }
• टॉम एम. अपोस्टोल, मॉड्यूलर फ़ंक्शंस और नंबर थ्योरी में डिरिचलेट सीरीज़, स्प्रिंगर-वेरलाग, न्यूयॉर्क, 1976। ISBN 0-387-97127-0 (अध्याय 1 देखें)
• ई. टी. व्हिटेकर और जी. एन. वॉटसन। व्हिटेकर और वॉटसन, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1952

बाहरी संबंध

• "Elliptic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MAA, Translation of Abel's paper on elliptic functions.
• Elliptic Functions and Elliptic Integrals on YouTube, lecture by William A. Schwalm (4 hours)
• Johansson, Fredrik (2018). "Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms". arXiv:1806.06725 [cs.NA].