आर्किमिडीज़ संपत्ति

This article is about abstract algebra. For the physical law, see Archimedes' principle.

आर्किमिडीज़ संपत्ति का चित्रण।

अमूर्त बीजगणित और गणितीय विश्लेषण में, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ऑफ सिरैक्यूज़, इटली के नाम पर रखा गया आर्किमिडीयन गुण, कुछ बीजगणितीय संरचनाओं, जैसे आदेशित या आदर्श समूह (बीजगणित), और फ़ील्ड (गणित) द्वारा धारित संपत्ति है।

संपत्ति, आम तौर पर समझा जाता है, बताता है कि दो सकारात्मक संख्याएं दी गई हैं $x$ और $y$, एक पूर्णांक है $n$ ऐसा है कि $nx>y$. इसका अर्थ यह भी है कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय ऊपर परिबद्ध नहीं है। मोटे तौर पर बोलना, यह असीम रूप से बड़े या असीम रूप से छोटे तत्वों के न होने का गुण है। यह ओटो स्टोल्ज़ था जिसने आर्किमिडीज़ के स्वयंसिद्ध को अपना नाम दिया क्योंकि यह आर्किमिडीज़ के स्वयंसिद्ध V के रूप में स्फीयर और सिलेंडर पर प्रकट होता है। यह धारणा प्राचीन ग्रीस के परिमाण (गणित) के सिद्धांत से उत्पन्न हुई; यह अभी भी आधुनिक गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है जैसे कि डेविड हिल्बर्ट के हिल्बर्ट के स्वयंसिद्ध, और रैखिक रूप से आदेशित समूह के सिद्धांत, आदेशित क्षेत्र और स्थानीय क्षेत्र।

एक बीजगणितीय संरचना जिसमें कोई भी दो गैर-शून्य तत्व तुलनीय हैं, इस अर्थ में कि उनमें से कोई भी दूसरे के संबंध में अपरिमेय नहीं है, उसे 'आर्किमिडीयन' कहा जाता है। एक संरचना जिसमें गैर-शून्य तत्वों की एक जोड़ी होती है, जिनमें से एक दूसरे के संबंध में अतिसूक्ष्म है, 'गैर-आर्किमिडीज' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक रैखिक रूप से आदेशित समूह जो कि आर्किमिडीज़ है, एक आर्किमिडीज़ समूह है।

इसे अलग-अलग संदर्भों में थोड़ा अलग फॉर्मूलेशन के साथ सटीक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आदेशित क्षेत्रों के संदर्भ में, किसी के पास 'आर्किमिडीज़ का स्वयंसिद्ध' है जो इस संपत्ति को तैयार करता है, जहाँ वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र आर्किमिडीज़ है, लेकिन वास्तविक गुणांकों में तर्कसंगत कार्यों का नहीं है।

आर्किमिडीज़ संपत्ति के नाम का इतिहास और उत्पत्ति

इस अवधारणा का नाम ओटो स्टोल्ज़ (1880 के दशक में) ने प्राचीन ग्रीस के जियोमीटर और सिरैक्यूज़, इटली के भौतिक विज्ञानी आर्किमिडीज़ के नाम पर रखा था।

आर्किमिडीयन गुण यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक V में प्रकट होता है | परिभाषा 4 के रूप में यूक्लिड के तत्व:

Magnitudes are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another.

क्योंकि आर्किमिडीज़ ने इसका श्रेय कनिडस के यूडोक्सस को दिया, इसे यूडोक्सस के प्रमेय या यूडोक्सस स्वयंसिद्ध के रूप में भी जाना जाता है। आर्किमिडीज़ ने अनुमानी तर्कों में इनफिनिटिमल्स का उपयोग किया, हालांकि उन्होंने इनकार किया कि वे पूर्ण गणितीय प्रमाण थे।

रैखिक रूप से आदेशित समूहों के लिए परिभाषा

Main article: Archimedean group

होने देना x और y रैखिक रूप से आदेशित समूह # रैखिक रूप से आदेशित समूह G की परिभाषाएँ। फिर $x$ के संबंध में अपरिमेय है $y$ (या समकक्ष, $y$ के संबंध में अनंत है $x$) यदि, किसी प्राकृतिक संख्या के लिए $n$, बहु $nx$ मै रुक जाना $y$, अर्थात्, निम्नलिखित असमानता रखती है:

$$\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}<y.\,$$

निरपेक्ष मान लेकर इस परिभाषा को पूरे समूह तक बढ़ाया जा सकता है।

समूह $G$ आर्किमिडीज़ है अगर कोई जोड़ी नहीं है $(x,y)$ ऐसा है कि $x$ के संबंध में अपरिमेय है $y$.

इसके अतिरिक्त, अगर $K$ एक इकाई (1) के साथ एक बीजगणितीय संरचना है - उदाहरण के लिए, एक अंगूठी (गणित) - एक समान परिभाषा लागू होती है $K$. यदि x के संबंध में अपरिमेय है $1$, तब $1$ अतिसूक्ष्म तत्व है। इसी तरह अगर $y$ के संबंध में अनंत है $1$, तब $y$ अनंत तत्व है। बीजगणितीय संरचना $K$ आर्किमिडीज़ है अगर इसमें कोई अनंत तत्व नहीं है और कोई अतिसूक्ष्म तत्व नहीं है।

ऑर्डर किए गए फ़ील्ड

आदेशित फ़ील्ड में कुछ अतिरिक्त गुण होते हैं:

• परिमेय संख्याएँ किसी भी क्रमित फ़ील्ड में एम्बेडिंग हो रही हैं। अर्थात्, किसी भी क्रमित क्षेत्र में अभिलक्षणिक (बीजगणित) शून्य होता है।
• यदि $x$ अनंत है, तो $1/x$ अनंत है, और इसके विपरीत। इसलिए, यह सत्यापित करने के लिए कि एक क्षेत्र आर्किमिडीयन है, यह केवल यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि कोई अतिसूक्ष्म तत्व नहीं हैं, या यह जाँचने के लिए कि कोई अनंत तत्व नहीं हैं।
• यदि $x$ अतिसूक्ष्म है और $r$ तब एक परिमेय संख्या है $rx$ अतिसूक्ष्म भी है। नतीजतन, एक सामान्य तत्व दिया $c$, तीन नंबर $c/2$, $c$, और $2c$ या तो सभी अपरिमित हैं या सभी अपरिमित हैं।

इस सेटिंग में, एक आदेशित फ़ील्ड K आर्किमिडीज़ ठीक है जब निम्न कथन, जिसे आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत कहा जाता है, धारण करता है:

होने देना $x$ का कोई भी तत्व हो $K$. फिर एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n$ ऐसा है कि $n>x$.

वैकल्पिक रूप से कोई निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग कर सकता है:

$$\forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.$$

आदर्श क्षेत्रों के लिए परिभाषा

क्वालिफायर आर्किमिडीज़ को वैल्यूएशन रिंग के सिद्धांत में भी तैयार किया गया है और रैंक वन वैल्यू वाले फ़ील्ड्स पर नॉर्म्ड स्पेस निम्नानुसार है। होने देना $K$ एक ऐसा क्षेत्र हो जो एक निरपेक्ष मान फ़ंक्शन से संपन्न हो, यानी एक ऐसा फ़ंक्शन जो वास्तविक संख्या को जोड़ता हो $0$ क्षेत्र तत्व 0 के साथ और एक सकारात्मक वास्तविक संख्या को संबद्ध करता है $|x|$ प्रत्येक शून्य के साथ $x\in K$ और संतुष्ट करता है $|xy|=|x||y|$ और $|x+y|\leq |x|+|y|$. फिर, $K$ यदि किसी अशून्य के लिए आर्किमिडीयन कहा जाता है $x\in K$ एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n$ ऐसा है कि

$$|\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}|>1.$$

इसी तरह, एक आदर्श स्थान आर्किमिडीयन है यदि का योग $n$ शर्तें, प्रत्येक एक गैर-शून्य वेक्टर के बराबर है $x$, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए एक से अधिक का मानदंड है $n$. एक निरपेक्ष मान या एक आदर्श स्थान वाला क्षेत्र या तो आर्किमिडीयन है या मजबूत स्थिति को संतुष्ट करता है, जिसे अल्ट्रामेट्रिक त्रिकोण असमानता कहा जाता है,

$$|x+y|\leq \max(|x|,|y|),$$

क्रमश। अल्ट्रामैट्रिक त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र या आदर्श स्थान को गैर-आर्किमिडीयन कहा जाता है।

एक गैर-आर्किमिडीयन मानक रैखिक स्थान की अवधारणा ए.एफ. मोन्ना द्वारा पेश की गई थी।

उदाहरण और गैर उदाहरण

वास्तविक संख्या का आर्किमिडीयन गुण

परिमेय संख्याओं के क्षेत्र को तुच्छ कार्य सहित कई निरपेक्ष मान कार्यों में से एक सौंपा जा सकता है $|x|=1$, जब $x\neq 0$, अधिक सामान्य ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$, और यह $p$-adic निरपेक्ष मूल्य कार्य करता है। ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय के अनुसार, परिमेय संख्याओं पर प्रत्येक गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान या तो सामान्य निरपेक्ष मान या कुछ के बराबर होता है $p$-एडिक निरपेक्ष मूल्य। गैर-तुच्छ निरपेक्ष मूल्यों के संबंध में तर्कसंगत क्षेत्र पूर्ण नहीं है; तुच्छ निरपेक्ष मूल्य के संबंध में, तर्कसंगत क्षेत्र एक असतत स्थलीय स्थान है, इसलिए पूर्ण है। सामान्य निरपेक्ष मान (आदेश से) के संबंध में पूर्णता वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है। इस निर्माण के द्वारा वास्तविक संख्या का क्षेत्र एक आदेशित क्षेत्र और एक मानक क्षेत्र के रूप में आर्किमिडीयन है। दूसरी ओर, अन्य गैर-तुच्छ निरपेक्ष मूल्यों के संबंध में पूर्णता मेरा मतलब संख्या हैों के क्षेत्र देती है। पी-एडिक नंबर, जहां $p$ एक अभाज्य पूर्णांक संख्या है (नीचे देखें); के बाद से $p$-adic निरपेक्ष मान अल्ट्रामेट्रिक संपत्ति को संतुष्ट करते हैं, फिर $p$-ऐडिक संख्या फ़ील्ड गैर-आर्किमिडीयन हैं जो मानक फ़ील्ड के रूप में हैं (उन्हें आदेशित फ़ील्ड में नहीं बनाया जा सकता है)।

वास्तविक संख्याओं के स्वयंसिद्ध सिद्धांत में, शून्येतर अतिसूक्ष्म वास्तविक संख्याओं की गैर-मौजूदगी निम्नतम ऊपरी बाध्य संपत्ति द्वारा निहित है। द्वारा निरूपित करें $Z$ वह सेट जिसमें सभी धनात्मक अपरिमित गुण होते हैं। यह सेट ऊपर से घिरा है $1$. अब विरोधाभास से सबूत है कि $Z$ खाली नहीं है। फिर इसकी कम से कम ऊपरी सीमा होती है $c$, जो सकारात्मक भी है, इसलिए $c/2<c<2c$. तब से c की ऊपरी सीमा है $Z$ और $2c$ से सख्ती से बड़ा है $c$, $2c$ एक सकारात्मक अपरिमेय नहीं है। यानी कुछ प्राकृतिक संख्या है $n$ जिसके लिए $1/n<2c$. दूसरी ओर, $c/2$ एक धनात्मक अतिसूक्ष्म है, क्योंकि कम से कम ऊपरी सीमा की परिभाषा के अनुसार एक अतिसूक्ष्म होना चाहिए $x$ के बीच $c/2$ और $c$, और अगर $1/k<c/2\leq x$ तब $x$ अतिसूक्ष्म नहीं है। परंतु $1/(4n)<c/2$, इसलिए $c/2$ अतिसूक्ष्म नहीं है, और यह एक विरोधाभास है। इस का मतलब है कि $Z$ आखिर खाली है: कोई धनात्मक, अतिसूक्ष्म वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं।

वास्तविक संख्याओं की आर्किमिडीयन संपत्ति भी रचनात्मक विश्लेषण में रखती है, भले ही उस संदर्भ में कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति विफल हो सकती है।

गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र

Main article: Non-Archimedean ordered field

एक आदेशित क्षेत्र के उदाहरण के लिए जो आर्किमिडीयन नहीं है, वास्तविक गुणांक वाले तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र को लें। (एक परिमेय फलन कोई भी ऐसा फलन है जिसे एक बहुपद द्वारा दूसरे बहुपद से विभाजित करके व्यक्त किया जा सकता है; हम मानेंगे कि यह इस तरह से किया गया है कि हर का प्रमुख गुणांक धनात्मक है।) इसे एक आदेशित क्षेत्र बनाने के लिए, किसी को जोड़ और गुणा संचालन के साथ संगत आदेश देना होगा। अभी $f>g$ अगर और केवल अगर $f-g>0$, इसलिए हमें केवल यह कहना है कि कौन से तर्कसंगत कार्यों को सकारात्मक माना जाता है। यदि अंश का प्रमुख गुणांक धनात्मक है, तो फलन को धनात्मक कहें। (किसी को यह जांचना चाहिए कि यह क्रम अच्छी तरह से परिभाषित है और जोड़ और गुणा के साथ संगत है।) इस परिभाषा के अनुसार, तर्कसंगत कार्य $1/x$ सकारात्मक है लेकिन तर्कसंगत कार्य से कम है $1$. वास्तव में, अगर $n$ कोई प्राकृतिक संख्या है, तो $n(1/x)=n/x$ सकारात्मक है लेकिन अभी भी कम है $1$, चाहे कितना भी बड़ा क्यों न हो $n$ है। इसलिए, $1/x$ इस क्षेत्र में एक अपरिमेय है।

यह उदाहरण अन्य गुणांकों का सामान्यीकरण करता है। वास्तविक गुणांकों के बजाय तर्कसंगत कार्यों को तर्कसंगत के साथ लेने से एक गणनीय गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र उत्पन्न होता है। गुणांकों को एक अलग चर में तर्कसंगत कार्यों के रूप में लेते हुए, कहते हैं $y$, भिन्न ऑर्डर प्रकार के साथ एक उदाहरण बनाता है।

गैर-आर्किमिडीयन मूल्यवान क्षेत्र

p-adic मेट्रिक और p-adic नंबर फ़ील्ड से संपन्न परिमेय संख्याओं का क्षेत्र जो पूर्णताएँ हैं, उनके पास निरपेक्ष मान वाले फ़ील्ड के रूप में आर्किमिडीज़ गुण नहीं है। सभी आर्किमिडीयन मूल्यवान फ़ील्ड सामान्य निरपेक्ष मान की शक्ति के साथ जटिल संख्याओं के एक उपक्षेत्र के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं।

=== आर्किमिडीयन आदेशित फ़ील्ड === की समतुल्य परिभाषाएँ

प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित क्षेत्र $K$ एक आदेशित सबफ़ील्ड के रूप में परिमेय (एक आइसोमोर्फिक कॉपी) शामिल हैं, अर्थात् गुणक इकाई द्वारा उत्पन्न सबफ़ील्ड $1$ का $K$, जिसमें क्रमित उपसमूह के रूप में पूर्णांक होते हैं, जिसमें क्रमित मोनोइड के रूप में प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं. परिमेय का एम्बेडिंग तब परिमेय, पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बोलने का एक तरीका देता है $K$. इन अवसंरचनाओं के संदर्भ में आर्किमिडीयन क्षेत्रों के समतुल्य लक्षण निम्नलिखित हैं।

1. प्राकृतिक संख्याएं कोफिनल (गणित) में होती हैं $K$. यानी हर तत्व $K$ किसी प्राकृतिक संख्या से कम है। (यह मामला नहीं है जब अनंत तत्व मौजूद हों।) इस प्रकार एक आर्किमिडीयन क्षेत्र वह है जिसकी प्राकृतिक संख्या बिना किसी सीमा के बढ़ती है।
2. शून्य सबसे कम है $K$ सेट का $\{1/2,1/3,1/4,\dots \}$. (यदि $K$ एक धनात्मक अपरिमेय समाहित करता है, यह सेट के लिए एक निचली सीमा होगी जहाँ से शून्य सबसे बड़ी निचली सीमा नहीं होगी।)
3. के तत्वों का सेट $K$ धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय के बीच खुला नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समुच्चय में सभी अपरिमेय होते हैं, जो कि केवल समुच्चय है $\{0\}$ जब कोई शून्येतर अतिसूक्ष्म नहीं होता है, और अन्यथा खुला होता है, तो न तो कोई न्यूनतम और न ही सबसे बड़ा अशून्य अतिसूक्ष्म होता है। ध्यान दें कि दोनों मामलों में, इनफिनिटिमल्स का सेट बंद है। बाद वाले मामले में, (i) प्रत्येक अतिसूक्ष्म प्रत्येक सकारात्मक परिमेय से कम है, (ii) न तो सबसे बड़ा अत्यल्प है और न ही सबसे कम सकारात्मक परिमेय है, और (iii) बीच में और कुछ नहीं है। नतीजतन, कोई भी गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र अधूरा और डिस्कनेक्ट दोनों है।
4. किसी के लिए $x$ में $K$ से अधिक पूर्णांकों का समूह $x$ सबसे कम तत्व होता है। (यदि $x$ एक ऋणात्मक अनंत मात्रा थी तो प्रत्येक पूर्णांक इससे बड़ा होगा।)
5. हर गैर-खाली खुला अंतराल $K$ एक तर्कसंगत शामिल है। (यदि $x$ एक धनात्मक अतिसूक्ष्म, खुला अंतराल है $(x,2x)$ अपरिमित रूप से अनेक अपरिमित हैं लेकिन एक भी परिमेय नहीं है।)
6. परिमेय घने सेट हैं $K$ sup और inf दोनों के संबंध में। (यानी, का हर तत्व $K$ परिमेय के कुछ समुच्चय का समर्थन है, और परिमेय के कुछ अन्य समुच्चय का inf है।) इस प्रकार एक आर्किमिडीयन क्षेत्र किसी भी क्रमित क्षेत्र के अर्थ में परिमेय का कोई सघन क्रमित विस्तार है, जो अपने परिमेय तत्वों को घनीभूत रूप से एम्बेड करता है।

यह भी देखें

• 0.999...
• Archimedean ordered vector space
• Construction of the real numbers

संदर्भ

• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. Archived from the original on 2015-03-07. Retrieved 2009-01-30.