लेबेस्ग्यू स्थिरांक

गणित में, लेबेस्ग स्थिरांक (नोड्स के एक सेट और उसके आकार के आधार पर) यह अंदाजा देते हैं कि किसी फ़ंक्शन (गणित) (दिए गए नोड्स पर) का प्रक्षेप फ़ंक्शन के सर्वोत्तम बहुपद सन्निकटन (बहुपदों की डिग्री तय होती है) की तुलना में कितना अच्छा है। अधिक से अधिक घात वाले बहुपदों के लिए लेबेस्ग स्थिरांक n और के सेट के लिए n + 1 नोड्स T को सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है Λ_n(T ). इन स्थिरांकों का नाम हेनरी लेबेस्गुए के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

हम इंटरपोलेशन नोड्स को ठीक करते हैं $x_{0},...,x_{n}$और एक अंतराल (गणित) $[a,\,b]$ जिसमें सभी इंटरपोलेशन नोड्स शामिल हैं। इंटरपोलेशन की प्रक्रिया फ़ंक्शन को मैप करती है $f$ एक बहुपद के लिए $p$. यह मैपिंग को परिभाषित करता है $X$ $[a,\,b]$ पर सभी निरंतर कार्यों के स्थान C $[a,\,b]$ से स्वयं तक है। मानचित्र X रैखिक है और यह घात n या उससे कम के बहुपदों के उपसमष्टि Πn पर एक प्रक्षेपण है।

लेब्सग्यू स्थिरांक $\Lambda _{n}(T)$ इसे X के ऑपरेटर मानदंड के रूप में परिभाषित किया गया है। इस परिभाषा के लिए हमें C([a, b]) पर एक मानदंड निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। एक समान मानदंड आमतौर पर सबसे सुविधाजनक होता है।

गुण

लेबेस्ग्यू स्थिरांक प्रक्षेप त्रुटि को सीमित करता है: मान लीजिए कि p^∗ डिग्री n या उससे कम के बहुपदों के बीच f के सर्वोत्तम सन्निकटन को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, p^∗ न्यूनतम करता है || p −  f || Π में सभी पी के बीच_n. तब

$\|f-X(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|f-p^{*}\right\|.$

हम यहां इस कथन को अधिकतम मानक के साथ सिद्ध करेंगे।

$\|f-X(f)\|\leq \|f-p^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|$

त्रिभुज असमानता द्वारा. लेकिन X, Π पर एक प्रक्षेपण है_n, इसलिए

p^∗ − X( f ) = X(p^∗) − X( f ) = X(p^∗ − f ).

इससे प्रमाण समाप्त हो जाता है $\|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|f-p^{*}\|$. ध्यान दें कि यह संबंध लेब्सग्यूज़ लेम्मा के एक विशेष मामले के रूप में भी आता है।

दूसरे शब्दों में, प्रक्षेप बहुपद अधिकतम एक कारक है Λ_n(T ) + 1 सर्वोत्तम संभव अनुमान से भी बदतर। इससे पता चलता है कि हम एक छोटे लेबेसेग स्थिरांक के साथ इंटरपोलेशन नोड्स के एक सेट की तलाश कर रहे हैं।

लेबेस्ग स्थिरांक को लैग्रेंज बहुपद बहुपद के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$\ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.$

वास्तव में, हमारे पास लेब्सग फ़ंक्शन है

$\lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.$

और ग्रिड के लिए लेबेस्गु स्थिरांक (या लेबेस्गु संख्या) इसका अधिकतम मूल्य है

$\Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)$

फिर भी, इसके लिए कोई स्पष्ट अभिव्यक्ति ढूँढना आसान नहीं है Λ_n(T ).

न्यूनतम लेबेस्ग स्थिरांक

समदूरस्थ नोड्स के मामले में, लेबेस्ग निरंतर घातीय वृद्धि करता है। अधिक सटीक रूप से, हमारे पास निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख अनुमान है

$\Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{en\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .$

दूसरी ओर, यदि चेबीशेव नोड्स का उपयोग किया जाता है, तो लेबेस्ग स्थिरांक केवल लघुगणकीय रूप से बढ़ता है, क्योंकि हमारे पास है

${\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots$

हम फिर से निष्कर्ष निकालते हैं कि चेबीशेव नोड्स बहुपद प्रक्षेप के लिए एक बहुत अच्छा विकल्प हैं। हालाँकि, चेबीशेव नोड्स का एक आसान (रैखिक) परिवर्तन है जो एक बेहतर लेबेसेग स्थिरांक देता है। होने देना t_i निरूपित करें i-चेबीशेव नोड्स। फिर, परिभाषित करें

$s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.$

ऐसे नोड्स के लिए:

$\Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots$

हालाँकि, वे नोड्स इष्टतम नहीं हैं (अर्थात वे लेबेस्ग स्थिरांक को कम नहीं करते हैं) और नोड्स के इष्टतम सेट की खोज (जो पहले से ही कुछ मान्यताओं के तहत अद्वितीय साबित हुई है) आज भी गणित में एक दिलचस्प विषय है। हालाँकि, नोड्स का यह सेट इंटरपोलेशन के लिए इष्टतम है $C_{M}^{n}[-1,1]$ के समुच्चय n बार अवकलनीय फलन जिनका n-वें व्युत्पन्न एक स्थिरांक द्वारा निरपेक्ष मानों में बंधे होते हैं M जैसा कि एन.एस. होआंग द्वारा दिखाया गया है। कंप्यूटर का उपयोग करके, कोई यहां विहित अंतराल के लिए न्यूनतम लेबेस्ग स्थिरांक के मानों का अनुमान लगा सकता है [−1, 1]:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λn(T)	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

[−1,1] में नोड्स के अनगिनत अनंत सेट हैं जो निश्चित के लिए न्यूनतम करते हैं n > 1, लेबेस्ग स्थिरांक। हालाँकि अगर हम मानते हैं कि हम हमेशा प्रक्षेप के लिए -1 और 1 को नोड्स के रूप में लेते हैं (जिसे कैनोनिकल नोड कॉन्फ़िगरेशन कहा जाता है), तो ऐसा सेट अद्वितीय और शून्य-सममित है। इस संपत्ति को स्पष्ट करने के लिए, हम देखेंगे कि क्या होता है जब n = 2 (यानी हम 3 इंटरपोलेशन नोड्स पर विचार करते हैं जिस स्थिति में संपत्ति तुच्छ नहीं है)। कोई यह जांच सकता है कि (शून्य-सममित) प्रकार के नोड्स का प्रत्येक सेट (−a, 0, a) इष्टतम है जब √8/3 ≤ a ≤ 1 (हम केवल [−1, 1] में नोड्स पर विचार करते हैं)। यदि हम नोड्स के सेट को इस प्रकार के होने के लिए बाध्य करते हैं (−1, b, 1), तो b को 0 के बराबर होना चाहिए (Lebesgue फ़ंक्शन को देखें, जिसका अधिकतम Lebesgue स्थिरांक है)। [−1,1] में नोड्स के सभी मनमाने (यानी शून्य-सममित या शून्य-असममित) इष्टतम सेट, जब एन = 2 एफ शूरर द्वारा निर्धारित किए गए हैं, और वैकल्पिक तरीके से एच.-जे द्वारा निर्धारित किए गए हैं। रैक और आर. वाजदा (2014)।

यदि हम मान लें कि हम प्रक्षेप के लिए -1 और 1 को नोड्स के रूप में लेते हैं, तो जैसा कि H.-J द्वारा दिखाया गया है। रैक (1984 और 2013), मामले n = 3 के लिए, इष्टतम (अद्वितीय और शून्य-सममित) 4 इंटरपोलेशन नोड्स के स्पष्ट मान और न्यूनतम लेबेस्ग स्थिरांक के स्पष्ट मान ज्ञात हैं। [1,1] में 4 इंटरपोलेशन नोड्स के सभी मनमाने ढंग से इष्टतम सेट, जब एन = 3 को एच.-जे द्वारा दो अलग-अलग लेकिन समकक्ष फैशन में स्पष्ट रूप से निर्धारित किया गया है। रैक और आर. वाजदा (2015)।

पडुआ अंक धीमी वृद्धि के साथ नोड्स का एक और सेट प्रदान करते हैं (हालांकि चेबीशेव नोड्स जितना धीमा नहीं) और एक अघुलनशील बिंदु सेट होने की अतिरिक्त संपत्ति के साथ।

बहुपद के मानों की संवेदनशीलता

लेबेस्ग स्थिरांक एक अन्य समस्या में भी उत्पन्न होते हैं। मान लीजिए p(x) घात वाला एक बहुपद है n वेक्टर t में बिंदुओं से जुड़े लैग्रेंज बहुपद में व्यक्त किया गया है (अर्थात इसके गुणांकों का वेक्टर u वह वेक्टर है जिसमें मान शामिल हैं) $p(t_{i})$). होने देना ${\hat {p}}(x)$ मूल बहुपद p(x) के गुणांक u को थोड़ा बदलकर प्राप्त किया जाने वाला बहुपद हो ${\hat {u}}$. असमानता पर विचार करें:

${\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}$

इसका मतलब है कि के मानों में (सापेक्ष) त्रुटि ${\hat {p}}(x)$ गुणांकों में सापेक्ष त्रुटि के अनुरूप लेबेस्ग स्थिरांक से अधिक नहीं होगा। इस अर्थ में, लेबेस्ग स्थिरांक को लैग्रेंज रूप में गुणांक यू के साथ बहुपद के मानों के सेट पर प्रत्येक गुणांक वेक्टर यू को मैप करने वाले ऑपरेटर की सापेक्ष स्थिति संख्या के रूप में देखा जा सकता है। हम वास्तव में प्रत्येक बहुपद आधार के लिए ऐसे ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं लेकिन इसकी स्थिति संख्या सबसे सुविधाजनक आधारों के लिए इष्टतम लेबेस्ग स्थिरांक से अधिक है।

संदर्भ

• Brutman, L. (1997), "Lebesgue functions for polynomial interpolation — a survey", Annals of Numerical Mathematics, 4: 111–127, ISSN 1021-2655
• Smith, Simon J. (2006), "Lebesgue constants in polynomial interpolation" (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 33: 109–123, ISSN 1787-5021
• Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), "Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation", Journal of Inequalities and Applications, 2016: 2016:93, doi:10.1186/s13660-016-1030-3, ISSN 1029-242X
• Rack, H.-J. (1984), "An example of optimal nodes for interpolation", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 15 (3): 355–357, doi:10.1080/0020739840150312, ISSN 1464-5211
• Rack, H.-J. (2013), "An example of optimal nodes for interpolation revisited", Advances in Applied Mathematics and Approximation Theory, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 41: 117–120, doi:10.1007/978-1-4614-6393-1_7, ISBN 978-1-4614-6392-4, ISSN 2194-1009
• Rack, H.-J.; Vajda, R. (2014), "On optimal quadratic Lagrange interpolation: Extremal node systems with minimal Lebesgue constant via symbolic computation", Serdica Journal of Computing, 8: 71–96, doi:10.55630/sjc.2014.8.71-96, ISSN 1312-6555, S2CID 55568122
• Rack, H.-J.; Vajda, R. (2015), "On optimal cubic Lagrange interpolation: Extremal node systems with minimal Lebesgue constant" (PDF), Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica, 60 (2): 151–171, ISSN 0252-1938
• Schurer, F. (1974), "A remark on extremal sets in the theory of polynomial interpolation", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 9: 77–79, ISSN 0081-6906
• Hoang, N. S. (2013), On node distribution for interpolation and spectral methods., arXiv:1305.6104, Bibcode:2013arXiv1305.6104H

• Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), "Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation.", J. Inequalities and Applications, 2016 (93), doi:10.1186/s13660-016-1030-3, S2CID 256244753

• Lebesgue constants on MathWorld.