लेबेस्ग्यू स्थिरांक

गणित में, लेबेस्ग स्थिरांक (नोड्स के एक समुच्चय और उसके आकार के आधार पर) यह विचार देते हैं कि किसी फलन (गणित) (दिए गए नोड्स पर) का प्रक्षेप फलन के सर्वोत्तम बहुपद सन्निकटन (बहुपदों की डिग्री तय होती है) की तुलना में कितना अच्छा है। अधिक से अधिक घात वाले बहुपदों के लिए लेबेस्ग स्थिरांक n और के समुच्चय के लिए n + 1 नोड्स T को सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है Λ_n(T ). इन स्थिरांकों का नाम हेनरी लेबेस्गुए के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

हम अंतर्वेशन नोड्स को ठीक करते हैं $x_{0},...,x_{n}$और एक अंतराल (गणित) $[a,\,b]$ जिसमें सभी अंतर्वेशन नोड्स सम्मिलित हैं। अंतर्वेशन (इंटरपोलेशन) की प्रक्रिया फलन को मैप करती है $f$ एक बहुपद के लिए $p$. यह मैपिंग को परिभाषित करता है $X$ $[a,\,b]$ पर सभी निरंतर कार्यों के स्थान C $[a,\,b]$ से स्वयं तक है। मानचित्र X रैखिक है और यह घात n या उससे कम के बहुपदों के उपसमष्टि Πn पर एक प्रक्षेपण है।

लेब्सग्यू स्थिरांक $\Lambda _{n}(T)$ इसे X के ऑपरेटर मानदंड के रूप में परिभाषित किया गया है। इस परिभाषा के लिए हमें C([a, b]) पर एक मानदंड निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। एक समान मानदंड सामान्यतया सबसे सुविधाजनक होता है।

गुण

लेबेस्ग्यू स्थिरांक प्रक्षेप त्रुटि को सीमित करता है: मान लीजिए कि p^∗ डिग्री n या उससे कम के बहुपदों के बीच f के सर्वोत्तम सन्निकटन को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, p^∗ न्यूनतम करता है || p −  f || Π में सभी p के बीच Π_n. तब

$\|f-X(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|f-p^{*}\right\|.$

हम यहां इस कथन को अधिकतम मानक के साथ सिद्ध करेंगे।

$\|f-X(f)\|\leq \|f-p^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|$

त्रिभुज असमानता द्वारा. लेकिन X, Π_n पर एक प्रक्षेपण है, इसलिए

p^∗ − X( f ) = X(p^∗) − X( f ) = X(p^∗ − f ).

इससे प्रमाण समाप्त हो जाता है $\|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|f-p^{*}\|$. ध्यान दें कि यह संबंध लेब्सग्यूज़ लेम्मा के एक विशेष मामले के रूप में भी आता है।

दूसरे शब्दों में, प्रक्षेप बहुपद अधिक से अधिक एक कारक Λ_n(T ) + 1 है जो सर्वोत्तम संभव सन्निकटन से भी खराब है। इससे पता चलता है कि हम एक लघु लेबेसेग स्थिरांक के साथ अंतर्वेशन नोड्स के एक समुच्चय की खोज कर रहे हैं।

लेबेस्ग स्थिरांक को लैग्रेंज बहुपद बहुपद के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$\ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.$

वास्तव में, हमारे पास लेब्सग फलन है

$\lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.$

और ग्रिड के लिए लेबेस्गु स्थिरांक (या लेबेस्गु संख्या) इसका अधिकतम मूल्य है

$\Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)$

फिर भी, इसके लिए कोई स्पष्ट व्यंजक (गणित) ढूँढना आसान नहीं है Λ_n(T ).

न्यूनतम लेबेस्ग स्थिरांक

समदूरस्थ नोड्स के मामले में, लेबेस्ग निरंतर घातीय वृद्धि करता है। अधिक सटीक रूप से, हमारे पास निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख अनुमान है

$\Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{en\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .$

दूसरी ओर, यदि चेबीशेव नोड्स का उपयोग किया जाता है, तो लेबेस्ग स्थिरांक केवल लघुगणकीय रूप से बढ़ता है, क्योंकि हमारे पास है

${\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots$

हम फिर से निष्कर्ष निकालते हैं कि चेबीशेव नोड्स बहुपद प्रक्षेप के लिए एक बहुत अच्छा विकल्प हैं। हालाँकि, चेबीशेव नोड्स का एक आसान (रैखिक) परिवर्तन है जो एक उच्च लेबेसेग स्थिरांक देता है। मान लीजिए t_i निरूपित करें i-चेबीशेव नोड्स। फिर, परिभाषित करें

हम फिर से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद प्रक्षेप के लिए चेबीशेव नोड्स एक बहुत अच्छा विकल्प हैं। हालाँकि, चेबीशेव नोड्स का एक आसान (रैखिक) परिवर्तन है जो एक उच्च लेबेसेग स्थिरांक देता है। आइए मान लीजिए t_i, i-th चेबीशेव नोड को निरूपित करें। फिर, परिभाषित करें

$s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.$

ऐसे नोड्स के लिए:

$\Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots$

हालाँकि, वे नोड्स इष्टतम नहीं हैं (अर्थात वे लेबेस्ग स्थिरांक को कम नहीं करते हैं) और नोड्स के एक इष्टतम समुच्चय की खोज (जो पहले से ही कुछ मान्यताओं के तहत अद्वितीय साबित हुई है) आज भी गणित में एक रोचक विषय है। हालाँकि, नोड्स का यह समुच्चय $C_{M}^{n}[-1,1]$ पर अंतर्वेशन के लिए इष्टतम है, जो n गुना भिन्न-भिन्न कार्यों का समुच्चय है, जिनके n-th डेरिवेटिव एक स्थिर M द्वारा निरपेक्ष मानों में बंधे हैं जैसा कि N. S. द्वारा दिखाया गया है। होआंग कंप्यूटर का उपयोग करके, यहां विहित अंतराल [−1, 1] के लिए न्यूनतम लेबेस्ग स्थिरांक के मानों का अनुमान लगाया जा सकता है:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λn(T)	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

[−1,1] में नोड्स के अनगिनत अनगिनत समुच्चय हैं जो निश्चित n > 1 के लिए, लेबेस्ग स्थिरांक को न्यूनतम करते हैं। हालाँकि यदि हम मानते हैं कि हम सदैव अंतर्वेशन के लिए -1 और 1 को नोड्स के रूप में लेते हैं (जिसे कैनोनिकल नोड कॉन्फ़िगरेशन कहा जाता है), तो ऐसा समुच्चय अद्वितीय और शून्य-सममित होता है। इस संपत्ति को स्पष्ट करने के लिए, हम देखेंगे कि क्या होता है जब n = 2 (यानी हम 3 अंतर्वेशन नोड्स पर विचार करते हैं जिस स्थिति में संपत्ति तुच्छ नहीं है)। कोई यह जांच सकता है कि (−a, 0, a) प्रकार के (शून्य-सममित) नोड्स का प्रत्येक समुच्चय इष्टतम है जब √8/3 ≤ a ≤ 1 (हम केवल [−1, 1] में नोड्स पर विचार करते हैं)। यदि हम नोड्स के समुच्चय को (−1, b, 1) प्रकार के होने के लिए बाध्य करते हैं, तो b को 0 के बराबर होना चाहिए (लेबेस्ग्यू फलन को देखें, जिसका अधिकतम लेबेस्गु स्थिरांक है)। [−1,1] जब n = 2 में नोड्स के सभी स्वेच्छा (यानी शून्य-सममित या शून्य-असममित) इष्टतम समुच्चय एफ शूरर द्वारा निर्धारित किए गए हैं, और वैकल्पिक तरीके से एच-जे रैक और आर वाज्दा (2014) द्वारा निर्धारित किए गए हैं

यदि हम मान लें कि हम प्रक्षेप के लिए -1 और 1 को नोड्स के रूप में लेते हैं, तो जैसा कि H.-J द्वारा दिखाया गया है। रैक (1984 और 2013), मामले n = 3 के लिए, इष्टतम (अद्वितीय और शून्य-सममित) 4 अंतर्वेशन नोड्स के स्पष्ट मान और न्यूनतम लेबेस्ग स्थिरांक के स्पष्ट मान ज्ञात हैं। [1,1] में 4 अंतर्वेशन नोड्स के सभी स्वेच्छा तरीके से इष्टतम समुच्चय, जब एन = 3 को एच.-जे रैक और आर. वाज्दा (2015) द्वारा दो अलग-अलग लेकिन समकक्ष फैशन में स्पष्ट रूप से निर्धारित किया गया है।

पडुआ बिंदु धीमी वृद्धि (हालांकि चेबीशेव नोड्स जितना धीमा नहीं) के साथ और अघुलनशील बिंदु समुच्चय होने की अतिरिक्त संपत्ति के साथ नोड्स का एक और समुच्चय प्रदान करते हैं।

बहुपद के मानों की संवेदनशीलता

लेबेस्ग स्थिरांक एक अन्य समस्या में भी उत्पन्न होते हैं। मान लीजिए p(x) घात वाला एक बहुपद है n सदिश t में बिंदुओं से जुड़े लैग्रेंज बहुपद में व्यक्त किया गया है (अर्थात इसके गुणांकों का सदिश u वह सदिश है जिसमें मान सम्मिलित हैं) $p(t_{i})$). मान लीजिए ${\hat {p}}(x)$ मूल बहुपद p(x) के गुणांक u को थोड़ा बदलकर प्राप्त किया जाने वाला बहुपद हो ${\hat {u}}$. असमानता पर विचार करें:

${\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}$

इसका मतलब यह है कि ${\hat {p}}(x)$ के मानों में (सापेक्ष) त्रुटि गुणांक में सापेक्ष त्रुटि के उचित लेबेस्ग स्थिरांक से अधिक नहीं होगी। इस अर्थ में, लेबेस्ग स्थिरांक को लैग्रेंज रूप में गुणांक u के साथ बहुपद के मानों के समुच्चय पर प्रत्येक गुणांक सदिश u को मैप करने वाले ऑपरेटर की सापेक्ष स्थिति संख्या के रूप में देखा जा सकता है। हम वास्तव में प्रत्येक बहुपद आधार के लिए इस तरह के एक ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं लेकिन इसकी स्थिति संख्या सबसे सुविधाजनक आधारों के लिए इष्टतम लेबेस्ग स्थिरांक से अधिक है।

संदर्भ

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• Lebesgue constants on MathWorld.