अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, अपरिवर्तनीय अवकलन ऑपरेटर कुछ वस्तुओं से समान प्रकार की वस्तु तक का प्रकार का गणितीय मानचित्र होता है। यह ऑब्जेक्ट सामान्यतः $\mathbb {R} ^{n}$ पर फलन, मैनिफ़ोल्ड पर फलन, सदिश मान फलन, सदिश क्षेत्र, या, अधिक सामान्यतः, सदिश बंडल के अनुभाग होते हैं।

अपरिवर्तनीय अवकलन ऑपरेटर $D$ में, शब्द अवकलन ऑपरेटर संकेत करता है कि मानचित्र का मान $Df$ केवल $f(x)$ और $x$ में $f$ के डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। अपरिवर्तनीय शब्द संकेत करता है कि ऑपरेटर में कुछ समरूपता सम्मिलित है। इसका कारण यह है कि फलन (या प्रश्न में अन्य वस्तुओं) पर समूह फलन के साथ समूह $G$ है और यह क्रिया ऑपरेटर द्वारा संरक्षित है:

$D(g\cdot f)=g\cdot (Df).$

सामान्यतः, समूह की फलन में निर्देशांक के परिवर्तन (पर्यवेक्षक के परिवर्तन) का अर्थ होता है और अपरिवर्तनीयता का अर्थ है कि ऑपरेटर के पास सभी स्वीकार्य निर्देशांक में समान अभिव्यक्ति होती है।

सजातीय समिष्ट पर अपरिवर्तनीयता

मान लीजिए M = G/H Lie समूह G और Lie उपसमूह H के लिए सजातीय समिष्ट है। प्रत्येक प्रतिनिधित्व (गणित) $\rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )$ सदिश बंडल को जन्म देता है

$V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{where}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{and}}\;v\in \mathbb {V} .$

अनुभागों को $\varphi \in \Gamma (V)$ से पहचाना जा सकता है

$\Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.$

इस रूप में समूह G अनुभागों पर कार्य करता है

$(\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').$

अब मान लीजिए कि V और W, M के ऊपर दो सदिश बंडल हैं। फिर अवकलन ऑपरेटर

$d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)$

जो V के अनुभागों को W के अनुभागों में मैप करता है उसे अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि

$d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).$

सभी वर्गों के लिए $\varphi$ में $\Gamma (V)$ और G में अवयव G सजातीय परवलयिक ज्यामिति (अवकलन ज्यामिति) पर सभी रैखिक अपरिवर्तनीय अवकलन ऑपरेटर, अर्थात जब G अर्ध-सरल है और H परवलयिक उपसमूह है, सामान्यीकृत वर्मा मॉड्यूल के समरूपता द्वारा दोहरे रूप से दिए गए हैं।

एब्स्ट्रेक्ट सूचकांकों के संदर्भ में अपरिवर्तनीयता

दो सम्बन्ध दिए गए हैं $\nabla$ और ${\hat {\nabla }}$ और रूप $\omega$, हमारे पास है

$\nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}$

कुछ टेंसर के लिए $Q_{ab}{}^{c}$ सम्बन्ध के समतुल्य वर्ग $[\nabla ]$ को देखते हुए, हम कहते हैं कि ऑपरेटर अपरिवर्तनीय है यदि समतुल्य वर्ग में सम्बन्ध से दूसरे सम्बन्ध में परिवर्तित करने पर ऑपरेटर का रूप नहीं परिवर्तित होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सभी टोशन मुक्त सम्बन्ध के समतुल्य वर्ग पर विचार करते हैं, तो टेंसर Q अपने निचले सूचकांक अर्थात $Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}$ में सममित है। इसलिए हम गणना कर सकते हैं

$\nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},$

जहां कोष्ठक विषम समरूपता दर्शाते हैं। यह किसी रूप पर कार्य करते समय बाहरी व्युत्पन्न की अपरिवर्तनीयता को दर्शाता है। अवकलन ज्यामिति में सम्बन्ध के समतुल्य वर्ग स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए:

• कांफोर्मल ज्यामिति में कांफोर्मल वर्ग में सभी मीट्रिक (गणित) के लेवी सिविता सम्बन्ध द्वारा सम्बन्ध का समतुल्य वर्ग दिया जाता है;
• प्रक्षेप्य ज्यामिति में सम्बन्ध का समतुल्य वर्ग उन सभी सम्बन्ध द्वारा दिया जाता है जिनकी जियोडेसिक्स समान होती है;
• सीआर ज्यामिति में स्यूडोहर्मिटियन संरचना के प्रत्येक विकल्प के लिए तनाका-वेबस्टर सम्बन्ध द्वारा सम्बन्ध का समतुल्य वर्ग दिया जाता है

उदाहरण

1. यूक्लिडियन समिष्ट पर वास्तविक मूल्यवान कार्यों पर कार्य करने वाला सामान्य ग्रेडिएंट ऑपरेटर $\nabla$ सभी यूक्लिडियन परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय है।
2. 1-रूपों में मानो के साथ मैनिफोल्ड पर कार्य करने वाला अवकलन इसकी अभिव्यक्ति है
   $d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}$
   किसी भी स्थानीय निर्देशांक में) मैनिफोल्ड के सभी स्मूथ परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है (अवकलन रूप पर परिवर्तन की क्रिया केवल पुलबैक (अवकलन ज्यामिति) है)।
3. अधिक सामान्यतः, बाहरी व्युत्पन्न
   $d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)$
   जो किसी भी स्मूथ मैनिफोल्ड m के n-रूपों पर कार्य करता है, वह सभी स्मूथ परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है। यह दिखाया जा सकता है कि बाहरी व्युत्पन्न उन बंडलों के मध्य एकमात्र रैखिक अपरिवर्तनीय अवकलन ऑपरेटर है।
4. भौतिकी में डिराक ऑपरेटर पोंकारे समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है (यदि हम स्पिनर मूल्यवान कार्यों पर पोंकारे समूह की उचित समूह फलन (गणित) चुनते हैं। चूँकि, यह सूक्ष्म प्रश्न है और यदि हम इसे गणितीय रूप से कठोर बनाना चाहते हैं, तो हमें कहना चाहिए कि यह उस समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है जो पोंकारे समूह का डबल कवरिंग समूह है)
5. कांफोर्मल किलिंग समीकरण
   $X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}$
   सदिश क्षेत्र और सममित ट्रेस-मुक्त टेंसर के मध्य कांफोर्मल रूप से अपरिवर्तनीय रैखिक अवकलन ऑपरेटर है।

कांफोर्मल अपरिवर्तन

• 

  गोला (यहां एक लाल वृत्त के रूप में दिखाया गया है) एक अनुरूप सजातीय मैनिफोल्ड के रूप में।

एक मीट्रिक दिया गया

$g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}$

$\mathbb {R} ^{n+2}$ पर, हम गोले $S^{n}$ को शून्य शंकु के जनरेटर के स्थान के रूप में लिख सकते हैं

$S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.$

इस प्रकार, अनुरूप ज्यामिति का समतल मॉडल गोला $S^{n}=G/P$ है जिसमें $G=SO_{0}(n+1,1)$ और P बिंदु का स्टेबलाइजर है। $\mathbb {R} ^{n+2}$ गोले पर सभी रैखिक अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटरों का वर्गीकरण ज्ञात है (ईस्टवुड और राइस, 1987)।

यह भी देखें

• अवकलन ऑपरेटर
• लाप्लास अपरिवर्तनीय
• एलपीडीओ का अपरिवर्तनीय गुणनखंडन

संदर्भ

• Slovák, Jan (1993). Invariant Operators on Conformal Manifolds. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation). {{cite book}}: External link in |title= (help)
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Natural operators in differential geometry (PDF). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Archived from the original (PDF) on 2017-03-30. Retrieved 2011-01-05.
• Eastwood, M. G.; Rice, J. W. (1987). "Conformally invariant differential operators on Minkowski space and their curved analogues". Commun. Math. Phys. 109 (2): 207–228. Bibcode:1987CMaPh.109..207E. doi:10.1007/BF01215221. S2CID 121161256.
• Kroeske, Jens (2008). "Invariant bilinear differential pairings on parabolic geometries". PhD Thesis from the University of Adelaide. arXiv:0904.3311. Bibcode:2009PhDT.......274K.