रेले भागफल

गणित में, किसी दिए गए सम्मिश्र हर्मिटियन आव्यूह $M$ और अशून्य सदिश (ज्यामिति) $x$ के लिए रेले भागफल (/ˈreɪ.li/) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$$

वास्तविक आव्यूहों और सदिशों के लिए, हर्मिटियन होने की स्थिति सममित होने की स्थिति में कम हो जाती है और संयुग्मी परिवर्त $x^{*}$ को सामान्य परिवर्त $x'$ में परिवर्तित कर देता है। ध्यान दें कि किसी भी अशून्य अदिश $c$ के लिए $R(M,cx)=R(M,x)$ है। स्मरण रखें कि हर्मिटियन (अथवा वास्तविक सममित) आव्यूह केवल वास्तविक आइगेन मान ​​​​के साथ विकर्ण योग्य है। यह दिखाया जा सकता है कि, किसी दिए गए आव्यूह के लिए, रेले भागफल अपने न्यूनतम मान $\lambda _{\min }$ ($M$ का सबसे छोटा आइगेन मान) तक पहुँच जाता है जब $x$, $v_{\min }$ (संबंधित आइगेनवेक्टर) होता है। इस प्रकार, $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ और $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$ होता है।

रेले भागफल का उपयोग न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय में सभी आइगेन मानों ​​​​के त्रुटिहीन मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग आइजेनवेक्टर सन्निकटन से आइगेन मान सन्निकटन प्राप्त करने के लिए आइगेन मान एल्गोरिथ्म (जैसे कि रेले भागफल पुनरावृत्ति) में भी किया जाता है।

रेले भागफल की सीमा (किसी भी आव्यूह के लिए यह आवश्यक नहीं कि हर्मिटियन हो) को संख्यात्मक सीमा कहा जाता है और इसमें इसका स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) सम्मिलित होता है। जब आव्यूह हर्मिटियन होता है, तो संख्यात्मक त्रिज्या वर्णक्रमीय मानक के समान होती है। अभी भी कार्यात्मक विश्लेषण में, $\lambda _{\max }$ को वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। $C^{\star }$-बीजगणित अथवा बीजगणितीय क्वांटम यांत्रिकी के सन्दर्भ में, वह फलन जो $M$ बीजगणित के माध्यम से भिन्न होने वाले निश्चित $x$ और $M$ के लिए रेले-रिट्ज भागफल $R(M,x)$ को जोड़ता है, उसे बीजगणित की सदिश स्थिति के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

क्वांटम यांत्रिकी में, रेले भागफल उस प्रणाली के लिए संकारक $M$ के अनुरूप अवलोकन योग्य का अपेक्षित मान देता है जिसकी स्थिति $x$ द्वारा दी गई है।

यदि हम सम्मिश्र आव्यूह $M$ को व्यवस्थित करते हैं, तो परिणामी रेले भागफल मानचित्र (जिसे $x$ के फलन के रूप में माना जाता है) ध्रुवीकरण प्रमाण के माध्यम से $M$ को पूर्ण रूप से निर्धारित करता है; वास्तव में, यह सत्य होगा यदि हम $M$ को गैर-हर्मिटियन होने की अनुमति दें। (यद्यपि, यदि हम अदिशों के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित रखते हैं, तो रेले भागफल केवल $M$ के सममित आव्यूह भाग को निर्धारित करता है।)

हर्मिटियन M के लिए सीमाएं

जिस प्रकार से परिचय में बताया गया है, किसी भी सदिश x के लिए, $R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$ है, जहां $\lambda _{\min },\lambda _{\max }$ क्रमशः $M$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े आइगेन मान ​​​​हैं। यह देखने के तत्पश्चात, रेले भागफल $M$ के आइगेन मान ​​​​का भारित औसत है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

जहाँ $(\lambda _{i},v_{i})$ ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन के पश्चात $i$-th आइगेनपेअर है और $y_{i}=v_{i}^{*}x$ आइगेन आधार में x का $i$th निर्देशांक है। इसके पश्चात यह सत्यापित करना सरल हो जाता है कि सीमा संबंधित आइजनवेक्टर $v_{\min },v_{\max }$ पर प्राप्त हो गए हैं।

तथ्य यह है कि भागफल आइगेन मान ​​​​का भारित औसत है, इसका उपयोग द्वितीय, तृतीय, ... सबसे बड़े आइगेन मान ​​​​की पहचान करने के लिए किया जा सकता है। मान लीजिए $\lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }$ अवरोही क्रम में आइगेन मान ​​​​हैं। यदि $n=2$ और $x$ को $v_{1}$ के ओर्थोगोनल होने के लिए बाध्य किया गया है, तो उस स्थिति में $y_{1}=v_{1}^{*}x=0$, तब $R(M,x)$ का अधिकतम मान $\lambda _{2}$ है, जो $x=v_{2}$ होने पर प्राप्त होता है।

सहप्रसरण आव्यूहों की विशेष स्थिति

अनुभवजन्य सहप्रसरण आव्यूह $M$ को डेटा आव्यूह $A$ के गुणनफल $A'A$ को उसके स्थानान्तरण $A'$ से पूर्व-गुणा करके दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह होने के कारण, $M$ में गैर-ऋणात्मक आइगेन मान, और ऑर्थोगोनल (अथवा ऑर्थोगोनलाइज़ेबल) आइगेनवेक्टर हैं, जिन्हें निम्नानुसार प्रदर्शित किया जा सकता है।

सर्वप्रथम, यह है कि आइगेन मान $\lambda _{i}$ गैर-ऋणात्मक हैं:

$${\begin{aligned}&Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}\\\Rightarrow {}&\lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\geq 0.\end{aligned}}$$

द्वितीय तथ्य यह है कि आइगेनवेक्टर $v_{i}$ एक-दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं:

$${\begin{aligned}&Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{j}'Mv_{i}=v_{j}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(Mv_{j}\right)'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)v_{j}'v_{i}=0\\\Rightarrow {}&v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}$$

यदि आइगेन मान ​​​​भिन्न-भिन्न हैं, तब बहुलता की स्थिति में, आधार को ऑर्थोगोनलाइज़ किया जा सकता है।

अब यह स्थापित करने के लिए कि रेले भागफल को सबसे बड़े आइगेन मान वाले आइगेनवेक्टर द्वारा अधिकतम किया गया है, आइगेनवेक्टर $v_{i}$ के आधार पर आरबिटरेरी वेक्टर $x$ को विघटित करने पर विचार करें:

$$x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i},$$

जहाँ

$$\alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}$$

$v_{i}$ पर ऑर्थोगोनल रूप से प्रक्षेपित $x$ का निर्देशांक है। इसलिए, हमारे निकट है:

$${\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x'A'Ax}{x'x}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'\left(A'A\right){\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(A'A)v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}{v_{i}}'{v_{i}}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\|{v_{i}}\|^{2}{\Bigr )}}}\end{aligned}}$$

जो, आइगेनवेक्टरों की ऑर्थोनॉर्मलिटी से, बन जाता है:

$${\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)}}\end{aligned}}$$

अंतिम प्रतिनिधित्व स्थापित करता है कि रेले भागफल वेक्टर $x$ और प्रत्येक आइगेनवेक्टर $v_{i}$ द्वारा बनाए गए कोणों के वर्ग कोज्या का योग है, जो संबंधित आइगेन मानों ​​​​द्वारा भारित होता है।

यदि वेक्टर $x$, $R(M,x)$ को अधिकतम करता है, तो कोई भी अशून्य अदिश गुणक $kx$ भी $R$ को अधिकतम करता है, इसलिए समस्या को ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}$ की बाधा के अंतर्गत ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1}$ को अधिकतम करने की लैग्रेंज समस्या में कम किया जा सकता है।

$\beta _{i}=\alpha _{i}^{2}$ को परिभाषित करें, यह तब रैखिक फलन बन जाता है, जो सदैव डोमेन के किसी शीर्ष पर अपनी अधिकतम सीमा प्राप्त करता है। अधिकतम बिंदु में सभी $i>1$ के लिए $\alpha _{1}=\pm 1$ और $\alpha _{i}=0$ होगा (जब आइगेन मान अवरोही परिमाण के अनुसार क्रमित किया जाता है)।

इस प्रकार, रेले भागफल को सबसे बड़े आइगेन मान वाले आइगेनवेक्टर द्वारा अधिकतम किया जाता है।

लैग्रेंज गुणकों का उपयोग करके सूत्रीकरण

वैकल्पिक रूप से, इस परिणाम पर लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि द्वारा पहुंचा जा सकता है। प्रथम भाग यह दर्शाना है कि स्केलिंग $x\to cx$ के अंतर्गत भागफल स्थिर है, जहाँ $c$ अदिश राशि है

$$R(M,cx)={\frac {(cx)^{*}Mcx}{(cx)^{*}cx}}={\frac {c^{*}c}{c^{*}c}}{\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}=R(M,x).$$

इस अपरिवर्तनशीलता के कारण, यह विशेष स्थिति $\|x\|^{2}=x^{T}x=1$ का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है। तब समस्या फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) को शोधित करने की है

$$R(M,x)=x^{\mathsf {T}}Mx,$$

बाधा $\|x\|^{2}=x^{T}x=1.$ के अधीन है। अन्य शब्दों में, यह महत्वपूर्ण बिंदुओं को शोधित करना है

$${\mathcal {L}}(x)=x^{\mathsf {T}}Mx-\lambda \left(x^{\mathsf {T}}x-1\right),$$

जहाँ $\lambda$ लैग्रेंज गुणक है। ${\mathcal {L}}(x)$ के स्थिर बिंदु निम्नलिखित समीकरणों से प्राप्त होते हैं

$${\begin{aligned}&{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0\\\Rightarrow {}&2x^{\mathsf {T}}M-2\lambda x^{\mathsf {T}}=0\\\Rightarrow {}&2Mx-2\lambda x=0{\text{ (taking the transpose of both sides and noting that M is Hermitian)}}\\\Rightarrow {}&Mx=\lambda x\end{aligned}}$$

और

$$\therefore R(M,x)={\frac {x^{\mathsf {T}}Mx}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda {\frac {x^{\mathsf {T}}x}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda .$$

इसलिए, $M$ के आइगेनवेक्टर $x_{1},\ldots ,x_{n}$, रेले भागफल के महत्वपूर्ण बिंदु और उनके संबंधित आइगेन मान $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, ${\mathcal {L}}$ के स्थिर मान हैं। यह गुण प्रमुख घटक विश्लेषण और विहित सहसंबंध का आधार है।

स्टर्म-लिउविल सिद्धांत में उपयोग

स्टर्म-लिउविले सिद्धांत रैखिक संकारक की क्रिया से संबंधित है-

$$L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right)$$

उपरोक्त समीकरण द्वारा परिभाषित आंतरिक गुणनफल समष्टि है-

$$\langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx$$

जो a और b पर कुछ निर्दिष्ट सीमा स्थितियों को पूर्ण करने वाले फलनों से संबंधित है। इस स्थिति में रेले भागफल है-

$${\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.$$

इसे कभी-कभी समतुल्य रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे अंश में अभिन्न को पृथक करके और खण्डशः समाकलन का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

1. आव्यूह के दिए गए जोड़े (A, B) और दिए गए अशून्य वेक्टर x के लिए, सामान्यीकृत रेले भागफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
   $$R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}.$$
   परिवर्तन $D=C^{-1}A{C^{*}}^{-1}$ के माध्यम से सामान्यीकृत रेले भागफल को रेले भागफल $R(D,C^{*}x)$ तक कम किया जा सकता है, जहाँ $CC^{*}$ हर्मिटियन धनात्मक-निश्चित आव्यूह B का चोल्स्की अपघटन है।
2. अशून्य सदिशों की दी गई जोड़ी (x, y) और दिए गए हर्मिटियन आव्यूह H के लिए, सामान्यीकृत रेले भागफल को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
   $$R(H;x,y):={\frac {y^{*}Hx}{\sqrt {y^{*}y\cdot x^{*}x}}}$$
   जो R(H,x) के साथ युग्मित होता है जब x = y होता है। क्वांटम यांत्रिकी में, इस मात्रा को आव्यूह तत्व अथवा कभी-कभी संक्र्रांति आयाम कहा जाता है।

यह भी देखें

• संख्यात्मक सीमा
• न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय
• कंपन विश्लेषण में रेले का भागफल
• डिरिचलेट आइजेनमान

अग्रिम पठन

• Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau, Kernel-based Data Fusion for Machine Learning: Methods and Applications in Bioinformatics and Text Mining, Ch. 2, Springer, 2011.