फ़िल्टरिंग समस्या (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं)

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, फ़िल्टरिंग अपूर्ण और संभावित शोर (सिग्नल प्रोसेसिंग) अवलोकनों के सेट से सिस्टम की स्थिति (नियंत्रण) निर्धारित करने की समस्या का वर्णन करता है। जबकि मूल रूप से इंजीनियरिंग की समस्याओं से प्रेरित होकर, फ़िल्टरिंग को सिग्नल प्रोसेसिंग से लेकर वित्त तक कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला।

इष्टतम गैर-रैखिक फ़िल्टरिंग की समस्या (यहां तक ​​कि गैर-स्थिर मामले के लिए भी) रुस्लान एल. स्ट्रैटोनोविच (1959) द्वारा हल की गई थी। 1960), हेरोल्ड जे. कुशनर का काम भी देखें और मोशे ज़काई, जिन्होंने फ़िल्टर के असामान्य सशर्त कानून के लिए सरलीकृत गतिशीलता पेश की ज़काई समीकरण के नाम से जाना जाता है। हालाँकि, सामान्य मामले में समाधान अनंत-आयामी है। कुछ सन्निकटन और विशेष मामले अच्छी तरह से समझे जाते हैं: उदाहरण के लिए, रैखिक फ़िल्टर गॉसियन यादृच्छिक चर के लिए इष्टतम हैं, और इन्हें विनीज़ फ़िल्टर और कलमन-बुसी फ़िल्टर के रूप में जाना जाता है। अधिक सामान्यतः, चूंकि समाधान अनंत आयामी है, इसलिए इसे सीमित मेमोरी वाले कंप्यूटर में लागू करने के लिए सीमित आयामी सन्निकटन की आवश्यकता होती है। परिमित आयामी अनुमानित अरेखीय फ़िल्टर अनुमानों पर आधारित हो सकता है, जैसे कि विस्तारित कलमैन फ़िल्टर या अनुमानित घनत्व फ़िल्टर, या अधिक पद्धतिगत रूप से उन्मुख जैसे उदाहरण के लिए प्रोजेक्शन फ़िल्टर, जिनमें से कुछ उप-परिवारों को अनुमानित घनत्व फ़िल्टर के साथ मेल खाते हुए दिखाया गया है। कण फिल्टर अनंत आयामी फ़िल्टरिंग समस्या पर हमला करने के लिए अन्य विकल्प हैं और अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधियों पर आधारित हैं।

सामान्य तौर पर, यदि पृथक्करण सिद्धांत लागू होता है, तो इष्टतम नियंत्रण समस्या के समाधान के हिस्से के रूप में फ़िल्टरिंग भी उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, कलमन फ़िल्टर रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण समस्या के इष्टतम नियंत्रण समाधान का अनुमान हिस्सा है।

गणितीय औपचारिकता

एक संभाव्यता स्थान (Ω,Σ,P) पर विचार करें और मान लें कि (यादृच्छिक) स्थिति Y_t एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्थान 'आर' में^{समय t पर रुचि की प्रणाली का n} यादृच्छिक चर Y है_t: Ω → आर^एन फॉर्म के कियोशी इटो|इटो स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण के समाधान द्वारा दिया गया

$\mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},$

जहां B मानक पी-आयामी प्रकार कि गति को दर्शाता है, b : [0, +∞)×'R'ⁿ‍→'R'ⁿ बहाव क्षेत्र है, और σ : [0, +∞)×'R'ⁿ‍→'R'^n×p प्रसार क्षेत्र है। यह माना जाता है कि अवलोकन एच_t आर में^m (ध्यान दें कि m और n, सामान्य तौर पर, असमान हो सकते हैं) प्रत्येक समय t के अनुसार लिया जाता है

$H_{t}=c(t,Y_{t})+\gamma (t,Y_{t})\cdot {\mbox{noise}}.$

स्टोकेस्टिक अंतर और सेटिंग की इटो व्याख्या को अपनाना

$Z_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,\mathrm {d} s,$

यह प्रेक्षणों Z के लिए निम्नलिखित स्टोकेस्टिक अभिन्न प्रतिनिधित्व देता है_t:

$\mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\gamma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} W_{t},$

जहां W मानक r-आयामी ब्राउनियन गति को दर्शाता है, जो B और प्रारंभिक स्थिति Y से स्वतंत्र है₀, और c : [0, +∞)×'R'ⁿ‍→'R'ⁿ और γ: [0, +∞) × 'R'ⁿ‍→'R'^n×r संतुष्ट करें

${\big |}c(t,x){\big |}+{\big |}\gamma (t,x){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}$

सभी t और x और कुछ स्थिरांक C के लिए।

'फ़िल्टरिंग समस्या' निम्नलिखित है: दिए गए अवलोकन Z_s 0 ≤ s ≤ t के लिए, सबसे अच्छा अनुमान क्या है?_t वास्तविक अवस्था का Y_t उन अवलोकनों के आधार पर प्रणाली का?

उन अवलोकनों के आधार पर यह अभिप्राय है कि Ŷ_t सिग्मा बीजगणित|σ-बीजगणित जी के संबंध में मापने योग्य कार्य है_t प्रेक्षणों द्वारा उत्पन्न Z_s, 0 ≤ s ≤ t. सभी 'R' के संग्रह को K = K(Z, t) से निरूपित करेंⁿ-मूल्यवान यादृच्छिक चर Y जो वर्ग-अभिन्न और G हैं_t-मापने योग्य:

$K=K(Z,t)=L^{2}(\Omega ,G_{t},\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n}).$

सर्वोत्तम अनुमान से इसका तात्पर्य यह है कि Ŷ_t Y के बीच माध्य-वर्ग दूरी को न्यूनतम करता है_t और K में सभी उम्मीदवार:

$\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-{\hat {Y}}_{t}{\big |}^{2}\right]=\inf _{Y\in K}\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-Y{\big |}^{2}\right].\qquad {\mbox{(M)}}$

मूल परिणाम: ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण

उम्मीदवारों का स्थान K(Z,t) हिल्बर्ट स्थान है, और हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सामान्य सिद्धांत का तात्पर्य है कि समाधान Ŷ_t न्यूनतमकरण समस्या (एम) द्वारा दी गई है

${\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )},$

जहां पी_K(Z,t) एल के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को दर्शाता है²(ओ, एस, पी; आरⁿ) रैखिक उपस्थान K(Z, t) = L पर²(ओह, जी_t, पी; आरⁿ). इसके अलावा, सशर्त अपेक्षाओं के बारे में यह सामान्य तथ्य है कि यदि F Σ का कोई उप-σ-बीजगणित है तो ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण

$P_{K}:L^{2}(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})$

वास्तव में सशर्त अपेक्षा ऑपरेटर E[·|F] है, यानी,

$P_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big |}F{\big ]}.$

इस तरह,

${\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )}=\mathbf {E} {\big [}Y_{t}{\big |}G_{t}{\big ]}.$

यह प्रारंभिक परिणाम फ़िल्टरिंग सिद्धांत के सामान्य फुजिसाकी-कल्लियानपुर-कुनीता समीकरण का आधार है।

अधिक उन्नत परिणाम: नॉनलाइनियर फ़िल्टरिंग एसपीडीई

एक समय t पर फ़िल्टर का पूरा ज्ञान सिग्नल Y के संभाव्यता नियम द्वारा दिया जाएगा_t सिग्मा-फ़ील्ड जी पर सशर्त_t समय t तक प्रेक्षण Z द्वारा उत्पन्न। यदि यह संभाव्यता कानून अनौपचारिक रूप से घनत्व को स्वीकार करता है

$p_{t}(y)\ dy={\bf {P}}(Y_{t}\in dy|G_{t}),$

फिर कुछ नियमितता मान्यताओं के तहत घनत्व $p_{t}(y)$ द्वारा संचालित गैर-रेखीय स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण (एसपीडीई) को संतुष्ट करता है $dZ_{t}$ और इसे कुशनर_समीकरण|कुशनर-स्ट्रेटोनोविच समीकरण कहा जाता है, या असामान्य संस्करण $q_{t}(y)$ घनत्व का $p_{t}(y)$ ज़काई समीकरण नामक रैखिक एसपीडीई को संतुष्ट करता है। ये समीकरण उपरोक्त प्रणाली के लिए तैयार किए जा सकते हैं, लेकिन व्याख्या को सरल बनाने के लिए कोई यह मान सकता है कि न देखे गए सिग्नल Y और आंशिक रूप से देखे गए शोर सिग्नल Z समीकरणों को संतुष्ट करते हैं

$\mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},$

$\mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}.$

दूसरे शब्दों में, यह मानकर प्रणाली को सरल बनाया गया है कि अवलोकन शोर W राज्य पर निर्भर नहीं है।

कोई नियतिवादी समय पर निर्भर रख सकता है $\gamma$ के सामने $dW$ लेकिन हम मानते हैं कि इसे पुनः स्केलिंग द्वारा हटा दिया गया है।

इस विशेष प्रणाली के लिए, घनत्व के लिए कुशनर-स्ट्रैटोनोविच एसपीडीई $p_{t}$ पढ़ता

$\mathrm {d} p_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[c(t,\cdot )-E_{p_{t}}(c(t,\cdot ))]^{T}[dZ_{t}-E_{p_{t}}(c(t,\cdot ))dt]$

जहाँ T स्थानान्तरण को दर्शाता है, $E_{p}$ घनत्व पी के संबंध में अपेक्षा को दर्शाता है,

 $E_{p}[f]=\int f(y)p(y)dy,$ और आगे प्रसार ऑपरेटर ${\cal {L}}_{t}^{*}$ है

${\cal {L}}_{t}^{*}f(t,y)=-\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}[b_{i}(t,y)f(t,y)]+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}[a_{ij}(t,y)f(t,y)]$

कहाँ $a=\sigma \sigma ^{T}$. यदि हम असामान्य घनत्व चुनते हैं $q_{t}(y)$, उसी सिस्टम के लिए ज़काई एसपीडीई पढ़ता है

$\mathrm {d} q_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}q_{t}\ dt+q_{t}[c(t,\cdot )]^{T}dZ_{t}.$

पी और क्यू के लिए ये एसपीडीई इटो कैलकुलस फॉर्म में लिखे गए हैं। उन्हें स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस फॉर्म में लिखना संभव है, जो प्रक्षेपण फिल्टर की तरह, अंतर ज्यामिति के आधार पर फ़िल्टरिंग अनुमान प्राप्त करते समय सहायक साबित होता है। उदाहरण के लिए, स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस में लिखा गया कुशनर-स्ट्रैटोनोविच समीकरण पढ़ता है

$dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p_{t}\,dt-{\frac {1}{2}}\,p_{t}\,[\vert c\vert ^{2}-E_{p}(\vert c\vert ^{2})]\,dt+p\,[c-E_{p}(c)]^{T}\circ dZ\ .$

किसी भी घनत्व p और q से कोई सिग्नल Y के सभी आँकड़ों की गणना कर सकता है_t समय t तक अवलोकन Z द्वारा उत्पन्न सिग्मा-क्षेत्र पर सशर्त, ताकि घनत्व फ़िल्टर का पूरा ज्ञान दे सके। Y के संबंध में विशेष रैखिक-स्थिर धारणाओं के तहत, जहां सिस्टम गुणांक b और c, Y के रैखिक कार्य हैं और जहां $\sigma$ और $\gamma$ वाई पर निर्भर न रहें, सिग्नल वाई के लिए प्रारंभिक शर्त गॉसियन या नियतात्मक, घनत्व है $p_{t}(y)$ गॉसियन है और इसे इसके माध्य और विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसके विकास का वर्णन कलमैन_फिल्टर#कलमैन-बुसी_फिल्टर|कलमैन-बुसी फिल्टर द्वारा किया गया है, जो परिमित आयामी है।अधिक सामान्यतः, फ़िल्टर घनत्व का विकास अनंत-आयामी फ़ंक्शन स्थान में होता है,और इसे परिमित आयामी सन्निकटन के माध्यम से अनुमानित किया जाना चाहिए, जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है।

यह भी देखें

• स्मूथिंग समस्या, फ़िल्टरिंग समस्या से निकटता से संबंधित है
• फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• कलमन फ़िल्टर, प्रसिद्ध फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम जो फ़िल्टरिंग समस्या और स्मूथिंग समस्या दोनों से संबंधित है
• चौरसाई करना
• प्रोजेक्शन फिल्टर
• कण फिल्टर

अग्रिम पठन

• Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (See Section 6.1)