स्मूथ परिमित अवयव विधियाँ

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स्मूथ परिमित अवयव विधियाँ (एस-एफईएम)[1] भौतिक घटनाओं के अनुकरण के लिए संख्यात्मक विश्लेषण का विशेष वर्ग है। इसे मेशफ्री विधियों को मिलाकर विकसित किया गया था[2] परिमित अवयव विधि के साथ. एस-एफईएम ठोस यांत्रिकी के साथ-साथ द्रव गतिशीलता समस्याओं पर भी प्रयुक्त होते हैं, चूँकि अब तक उन्हें मुख्य रूप से पूर्व पर प्रयुक्त किया गया है।

विवरण

एस-एफईएम में आवश्यक विचार अच्छे प्रदर्शन के संख्यात्मक मॉडल बनाने के लिए परिमित अवयव जाल (विशेष रूप से त्रिकोणीय जाल) का उपयोग करना है। यह संगत तनाव क्षेत्र को संशोधित करके या केवल विस्थापन का उपयोग करके तनाव क्षेत्र का निर्माण करके प्राप्त किया जाता है, उम्मीद है कि संशोधित/निर्मित तनाव क्षेत्र का उपयोग करके गैलेरकिन मॉडल कुछ अच्छे गुण प्रदान कर सकता है। इस तरह का संशोधन/निर्माण अवयव के अंदर किया जा सकता है, किंतु अधिकांशतः अवयव से परे (मेशफ्री अवधारणाएं): निकट अवयव से जानकारी लाएं। स्वाभाविक रूप से, तनाव क्षेत्र को कुछ नियम को पूरा करना पड़ता है, और स्थिरता और अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए मानक गैलेरकिन अशक्त रूप को इसलिए संशोधित करने की आवश्यकता होती है। कार्यप्रणाली और अनुप्रयोग दोनों को सम्मिलित करते हुए एस-एफईएम की व्यापक समीक्षा यहां पाई जा सकती है[3] (स्मूथेड फिनाइट एलिमेंट मेथड्स (एस-एफईएम): अवलोकन और वर्तमान विकास है)।

इतिहास

एस-एफईएम का विकास मेशफ्री विधियों पर कार्य से प्रारंभ हुआ, जहां G स्पेस सिद्धांत पर आधारित तथाकथित अशक्त अशक्त (डब्ल्यू 2) सूत्रीकरण[4] विकसित किए गए। W2 सूत्रीकरण विभिन्न (समान रूप से) सॉफ्ट मॉडल तैयार करने की संभावनाएं प्रदान करता है जो त्रिकोणीय जाल के साथ अच्छी तरह से कार्य करता है। चूँकि त्रिकोणीय जाल स्वचालित रूप से उत्पन्न किया जा सकता है, इसलिए इसे पुनः मेष करना बहुत सरल हो जाता है और इसलिए मॉडलिंग और सिमुलेशन में स्वचालन होता है। इसके अतिरिक्त, ऊपरी सीमा समाधान (बल-ड्राइविंग समस्याओं के लिए) उत्पन्न करने के लिए W2 मॉडल को पर्याप्त नरम (समान फैशन में) बनाया जा सकता है। जिससे कठोर मॉडल (जैसे कि पूरी तरह से संगत एफईएम मॉडल) के साथ, समाधान को दोनों तरफ से सरलता से बांधा जा सकता है। यह समान्यत: सम्मिश्र समस्याओं के लिए आसान त्रुटि अनुमान की अनुमति देता है, जब तक कि त्रिकोणीय जाल उत्पन्न किया जा सकता है। विशिष्ट W2 मॉडल स्मूथेड पॉइंट इंटरपोलेशन मेथड्स (या एस-पीआईएम) हैं।[5] जिसमे एस-पीआईएम नोड-आधारित हो सकता है (एनएस-पीआईएम या एलसी-पीआईएम के रूप में जाना जाता है),[6] एज-आधारित (ईएस-पीआईएम),[7] और सेल-आधारित (सीएस-पीआईएम)[8] एनएस-पीआईएम को तथाकथित एससीएनआई तकनीक का उपयोग करके विकसित किया गया था।[9] तब यह पता चला कि एनएस-पीआईएम ऊपरी सीमा समाधान और वॉल्यूमेट्रिक लॉकिंग मुक्त उत्पादन करने में सक्षम है।[10] ईएस-पीआईएम स्पष्टता में उत्तम पाया गया है, और सीएस-पीआईएम एनएस-पीआईएम और ईएस-पीआईएम के मध्य व्यवहार करता है। इसके अतिरिक्त , W2 सूत्रीकरण आकार कार्यों के निर्माण में बहुपद और रेडियल आधार कार्यों के उपयोग की अनुमति देता है (जब तक यह G1 स्थान में है, यह असंतत विस्थापन कार्यों को समायोजित करता है), जो भविष्य के विकास के लिए और कमरे खोलता है।

एस-एफईएम काफी सीमा तक एस-पीआईएम का रैखिक संस्करण है, किंतु एस-पीआईएम के अधिकांश गुणों के साथ और बहुत सरल है। इसमें एनएस-एफईएम, ईएस-एफईएम और सीएस-एफईएम की विविधताएँ भी हैं। एस पीआईएम की प्रमुख गुण एस-एफईएम में भी पाई जा सकती है।[11]


एस-एफईएम मॉडल की सूची


अनुप्रयोग

निम्नलिखित शारीरिक समस्याओं को हल करने के लिए एस-एफईएम प्रयुक्त किया गया है:

  1. ठोस संरचनाओं और पीज़ोइलेक्ट्रिक्स के लिए यांत्रिकी;[24][25]
  2. फ्रैक्चर यांत्रिकी और दरार प्रसार;[26][27][28][29]
  3. अरेखीय और संपर्क समस्याएँ;[30][31]
  4. स्टोकेस्टिक विश्लेषण;[32]
  5. गर्मी का हस्तांतरण;[33][34]
  6. संरचनात्मक ध्वनिकी;[35][36][37]
  7. अनुकूली विश्लेषण;[38][18] या सीमित विश्लेषण;[39]
  8. क्रिस्टल प्लास्टिसिटी मॉडलिंग।[40]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Liu, G.R., 2010 Smoothed Finite Element Methods, CRC Press, ISBN 978-1-4398-2027-8.
  2. ↑ Liu, G.R. 2nd edn: 2009 Mesh Free Methods, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  3. ↑ W. Zeng, G.R. Liu. Smoothed finite element methods (S-FEM): An overview and recent developments. Archives of Computational Methods in Engineering, 2016, doi: 10.1007/s11831-016-9202-3
  4. ↑ G.R. Liu. A G space theory and a weakened weak (W2) form for a unified formulation of compatible and incompatible methods: Part I theory and Part II applications to solid mechanics problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 81: 1093-1126, 2010
  5. ↑ Liu, G.R. 2nd edn: 2009 Mesh Free Methods, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  6. ↑ Liu GR, Zhang GY, Dai KY, Wang YY, Zhong ZH, Li GY and Han X, A linearly conforming point interpolation method (LC-PIM) for 2D solid mechanics problems, International Journal of Computational Methods, 2(4): 645-665, 2005.
  7. ↑ G.R. Liu, G.R. Zhang. Edge-based Smoothed Point Interpolation Methods. International Journal of Computational Methods, 5(4): 621-646, 2008
  8. ↑ G.R. Liu, G.R. Zhang. A normed G space and weakened weak (W2) formulation of a cell-based Smoothed Point Interpolation Method. International Journal of Computational Methods, 6(1): 147-179, 2009
  9. ↑ Chen, J. S., Wu, C. T., Yoon, S. and You, Y. (2001). A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods. Int. J. Numer. Meth. Eng. 50: 435–466.
  10. ↑ G. R. Liu and G. Y. Zhang. Upper bound solution to elasticity problems: A unique property of the linearly conforming point interpolation method (LC-PIM). International Journal for Numerical Methods in Engineering, 74: 1128-1161, 2008.
  11. ↑ Zhang ZQ, Liu GR, Upper and lower bounds for natural frequencies: A property of the smoothed finite element methods, International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 84 Issue: 2, 149-178, 2010
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  13. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY (2009) An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses in solids. Journal of Sound and Vibration; 320: 1100-1130.
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  15. ↑ Liu GR, Dai KY, Nguyen-Thoi T (2007) A smoothed finite element method for mechanics problems. Computational Mechanics; 39: 859-877
  16. ↑ Dai KY, Liu GR (2007) Free and forced vibration analysis using the smoothed finite element method (SFEM). Journal of Sound and Vibration; 301: 803-820.
  17. ↑ Dai KY, Liu GR, Nguyen-Thoi T (2007) An n-sided polygonal smoothed finite element method (nSFEM) for solid mechanics. Finite Elements in Analysis and Design; 43: 847－860.
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  20. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY (2009) A novel FEM by scaling the gradient of strains with factor α (αFEM). Computational Mechanics; 43: 369-391
  21. ↑ Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T, Xu X (2009) A novel weak form and a superconvergent alpha finite element method (SαFEM) for mechanics problems using triangular meshes. Journal of Computational Physics; 228: 4055-4087
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  40. ↑ Zeng W, Larsen JM, Liu GR. Smoothing technique based crystal plasticity finite element modeling of crystalline materials, International Journal of Plasticity Vol.65, 250-268, 2015


बाहरी संबंध

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