न्युड्सन नंबर

नुडसेन संख्या (Kn) आयामहीन संख्या है जिसे आणविक माध्य मुक्त पथ लंबाई और विशिष्ट आयाम के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह लंबाई का पैमाना, उदाहरण के लिए, किसी तरल पदार्थ में किसी पिंड की त्रिज्या हो सकता है। इस संख्या का नाम डेनमार्क के भौतिक विज्ञानी मार्टिन नुडसन (1871-1949) के नाम पर रखा गया है।

नुडसेन संख्या यह निर्धारित करने में मदद करती है कि किसी स्थिति को मॉडल करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी या द्रव गतिशीलता के सातत्य यांत्रिकी सूत्रीकरण का उपयोग किया जाना चाहिए या नहीं। यदि नुडसेन संख्या के करीब या उससे अधिक है, तो अणु का औसत मुक्त पथ समस्या की लंबाई के पैमाने के बराबर है, और द्रव यांत्रिकी की सातत्य धारणा अब अच्छा अनुमान नहीं है। ऐसे मामलों में, सांख्यिकीय तरीकों का इस्तेमाल किया जाना चाहिए.

परिभाषा

नुडसेन संख्या आयामहीन संख्या है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},$

कहाँ

$\lambda$ = माध्य मुक्त पथ [एल¹],

$L$ = प्रतिनिधि भौतिक लंबाई पैमाना [एल¹].

प्रतिनिधि लंबाई पैमाने पर विचार किया गया, $L$, प्रणाली के विभिन्न भौतिक लक्षणों के अनुरूप हो सकता है, लेकिन आमतौर पर अंतराल की लंबाई से संबंधित होता है जिस पर गैस चरण के माध्यम से थर्मल परिवहन या बड़े पैमाने पर परिवहन होता है। यह झरझरा और दानेदार सामग्रियों का मामला है, जहां गैस चरण के माध्यम से थर्मल परिवहन इसके दबाव और इस चरण में अणुओं के परिणामी औसत मुक्त पथ पर अत्यधिक निर्भर करता है। बोल्ट्जमान गैस के लिए, माध्य मुक्त पथ की गणना आसानी से की जा सकती है, ताकि

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}pL}}={\frac {k_{\text{B}}}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}\rho R_{s}L}},$

कहाँ

$k_{\text{B}}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक (1.380649 × 10) है⁻²³ जे/के एसआई इकाइयों में) [एम¹एल²टी⁻²थ⁻¹],

$T$ थर्मोडायनामिक तापमान है [θ¹],

$d$ कण हार्ड-शेल व्यास है [एल¹],

$p$ स्थैतिक दबाव है [एम¹एल⁻¹टी⁻²],

$R_{s}$ गैस स्थिरांक#विशिष्ट गैस स्थिरांक है [L²टी⁻²i⁻¹] (हवा के लिए 287.05 जे/(किग्रा के)),

$\rho$ घनत्व है [एम¹एल⁻³].

यदि तापमान बढ़ाया जाता है, लेकिन आयतन स्थिर रखा जाता है, तो नुडसेन संख्या (और माध्य मुक्त पथ) नहीं बदलता है (एक आदर्श गैस के लिए)। इस स्थिति में, घनत्व समान रहता है। यदि तापमान बढ़ा दिया जाए और दबाव स्थिर रखा जाए तो गैस फैलती है और इसलिए उसका घनत्व कम हो जाता है। इस मामले में, माध्य मुक्त पथ बढ़ता है और नुडसेन संख्या भी बढ़ती है। इसलिए, यह ध्यान रखना उपयोगी हो सकता है कि माध्य मुक्त पथ (और इसलिए नुडसेन संख्या) वास्तव में थर्मोडायनामिक चर घनत्व (घनत्व के व्युत्क्रम के आनुपातिक) पर निर्भर है, और केवल अप्रत्यक्ष रूप से तापमान और दबाव पर निर्भर है।

वायुमंडल में कण गतिशीलता के लिए, और मानक तापमान और दबाव, यानी 0 डिग्री सेल्सियस और 1 एटीएम मानने के लिए, हमारे पास है $\lambda$ ≈ 8×10⁻⁸ m (80 एनएम)।

गैसों में मैक और रेनॉल्ड्स संख्याओं से संबंध

नुडसेन संख्या मैक संख्या और रेनॉल्ड्स संख्या से संबंधित हो सकती है।

गतिशील चिपचिपाहट का उपयोग करना

$\mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda ,$

औसत अणु गति के साथ (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से)

${\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}},$

माध्य मुक्त पथ निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

$\lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}.$

एल (कुछ विशिष्ट लंबाई) से विभाजित करने पर, नुडसेन संख्या प्राप्त होती है:

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}},$

कहाँ

${\bar {c}}$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से औसत आणविक गति है [एल¹टी⁻¹],

टी थर्मोडायनामिक तापमान है [θ¹],

μ गतिशील चिपचिपाहट है [एम¹एल⁻¹टी⁻¹],

m आणविक द्रव्यमान है [M¹],

क_Bबोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है [एम¹एल²टी⁻²i⁻¹],

$\rho$ घनत्व है [एम¹एल⁻³].

आयामहीन मच संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\mathrm {Ma} ={\frac {U_{\infty }}{c_{\text{s}}}},$

जहां ध्वनि की गति दी जाती है

$c_{\text{s}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}},$

कहाँ

यू_∞फ्रीस्ट्रीम गति है [L¹टी⁻¹],

R सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है (SI में, 8.314 47215 J K⁻¹मोल⁻¹) [एम¹एल²टी⁻²i⁻¹मोल⁻¹],

M दाढ़ द्रव्यमान है [M¹तिल⁻¹],

$\gamma$ विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है [1]।

आयामहीन रेनॉल्ड्स संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.$

मैक संख्या को रेनॉल्ड्स संख्या से विभाजित करना:

${\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}={\frac {U_{\infty }/c_{\text{s}}}{\rho U_{\infty }L/\mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{\text{s}}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}$

और से गुणा करके ${\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}$ नुडसेन संख्या उत्पन्न करता है:

${\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}=\mathrm {Kn} .$

मैक, रेनॉल्ड्स और नुडसेन संख्याएँ इसलिए संबंधित हैं

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}.$

आवेदन

नुडसेन संख्या का उपयोग प्रवाह के विरलन को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है:

• $\mathrm {Kn} <0.01$: सातत्यक यांत्रिकी
• $0.01<\mathrm {Kn} <0.1$: स्लिप फ्लो
• $0.1<\mathrm {Kn} <10$: संक्रमणकालीन प्रवाह
• $\mathrm {Kn} >10$: मुक्त आणविक प्रवाह

यह शासन वर्गीकरण अनुभवजन्य और समस्या पर निर्भर है लेकिन पर्याप्त रूप से मॉडल प्रवाह के लिए उपयोगी साबित हुआ है।

उच्च नुडसेन संख्याओं की समस्याओं में निचले पृथ्वी के वायुमंडल के माध्यम से धूल के कण की गति और बाह्यमंडल के माध्यम से उपग्रह की गति की गणना शामिल है। नुडसेन नंबर के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले अनुप्रयोगों में से microfluidics और एमईएमएस डिवाइस डिज़ाइन में है जहां प्रवाह सातत्य से मुक्त-आणविक तक होता है। हाल के वर्षों में, इसे अन्य विषयों जैसे झरझरा मीडिया में परिवहन, जैसे, पेट्रोलियम जलाशयों में लागू किया गया है। कहा जाता है कि उच्च नुडसेन संख्या वाली स्थितियों में तरल पदार्थों की गति नुडसेन प्रवाह को प्रदर्शित करती है, जिसे मुक्त आणविक प्रवाह भी कहा जाता है।

किसी विमान जैसे विमान के चारों ओर वायु प्रवाह में नुडसेन संख्या कम होती है, जो इसे सातत्य यांत्रिकी के दायरे में मजबूती से रखती है। नुडसेन संख्या का उपयोग करके स्टोक्स के नियम के लिए समायोजन का उपयोग कनिंघम सुधार कारक में किया जा सकता है, यह छोटे कणों में फिसलन के कारण ड्रैग बल सुधार है (यानी डी_p<5μm). नोजल के माध्यम से पानी का प्रवाह आमतौर पर कम नुडसेन संख्या वाली स्थिति होगी।

विभिन्न आणविक द्रव्यमान वाली गैसों के मिश्रण को पतली दीवार के छोटे छिद्रों के माध्यम से मिश्रण भेजकर आंशिक रूप से अलग किया जा सकता है क्योंकि छिद्र से गुजरने वाले अणुओं की संख्या गैस के दबाव के समानुपाती होती है और इसके आणविक द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इस तकनीक का उपयोग छिद्रपूर्ण झिल्लियों का उपयोग करके यूरेनियम जैसे आइसोटोप मिश्रण को अलग करने के लिए किया गया है, पानी से हाइड्रोजन उत्पादन में उपयोग के लिए इसका सफलतापूर्वक प्रदर्शन भी किया गया है।

नुडसेन संख्या गैसों में तापीय संचालन में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इन्सुलेशन सामग्री के लिए, उदाहरण के लिए, जहां गैसें कम दबाव में होती हैं, कम तापीय चालकता सुनिश्चित करने के लिए नुडसेन संख्या यथासंभव अधिक होनी चाहिए।

यह भी देखें

• Cunningham correction factor
• Fluid dynamics
• Mach number
• Free molecular flow, also known as Knudsen flow
• Knudsen diffusion
• Knudsen paradox

बाहरी संबंध

• Knudsen number and diffusivity calculators