जाली गैस ऑटोमेटन
लैटिस गैस ऑटोमेटा (एलजीसीए ), या लैटिस गैस सेल्युलर ऑटोमेटा, सेलुलर ऑटोमेटन है जिसका उपयोग द्रव प्रवाह को अनुकरण करने के लिए किया जाता है, जो एचपीपी मॉडल द्वारा अग्रणी है। वे जाली बोल्ट्ज़मैन विधियों के अग्रदूत थे। जाली गैस ऑटोमेटा से, मैक्रोस्कोपिक नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्राप्त करना संभव है।[1] 1990 के दशक की शुरुआत में लैटिस गैस ऑटोमेटन विधियों में रुचि कम हो गई, क्योंकि लैटिस बोल्ट्ज़मैन में रुचि बढ़ने लगी।[2] चूँकि, एलजीसीए वैरिएंट, जिसे बायो- एलजीसीए कहा जाता है,[3] जीव विज्ञान में सामूहिक प्रवास का मॉडल तैयार करने के लिए अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
बुनियादी सिद्धांत
सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में, इन मॉडलों में जाली सम्मिलित होती है, जहां जाली पर स्थित साइटें निश्चित संख्या में विभिन्न अवस्थाएं ले सकती हैं। जाली गैस में, विभिन्न अवस्थाएँ निश्चित वेग वाले कण होते हैं। अनुकरण का विकास भिन्न-भिन्न समय चरणों में किया जाता है। प्रत्येक समय चरण के पश्चात, किसी दिए गए साइट की स्थिति समय चरण से पूर्व, साइट एवं पड़ोसी साइटों की स्थिति से निर्धारित की जा सकती है।
प्रत्येक साइट पर स्थिति विशुद्ध रूप से बूलियन है। किसी दिए गए समष्टि पर, प्रत्येक दिशा में गति करने वाला कण या तो है या नहीं है।
प्रत्येक समय चरण में, दो प्रक्रियाएँ क्रियान्वित होती हैं, प्रसार एवं टकराव।[4]प्रसार चरण में, प्रत्येक कण उस कण के वेग से निर्धारित पड़ोसी स्थल पर चला जाएगा। किसी भी टकराव को छोड़कर, ऊपर की ओर वेग वाला कण समय कदम के पश्चात उस वेग को बनाए रखेगा, लेकिन मूल साइट के ऊपर पड़ोसी साइट पर ले जाया जाएगा। तथाकथित बहिष्करण सिद्धांत दो या दो से अधिक कणों को ही लिंक पर ही दिशा में यात्रा करने से रोकता है।
टकराव चरण में, टकराव नियमों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि यदि कई कण ही साइट पर पहुंचते हैं तो क्या होगा। बड़े पैमाने पर संरक्षण एवं संवेग के संरक्षण को बनाए रखने के लिए इन टकराव नियमों की आवश्यकता होती है; इन संरक्षण कानूनों को प्राप्त करने के लिए सेलुलर ऑटोमेटन को ब्लॉक करें मॉडल का उपयोग किया जा सकता है।[5] ध्यान दें कि बहिष्करण सिद्धांत दो कणों को ही लिंक पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करने से नहीं रोकता है; जब ऐसा होता है, तो दोनों कण बिना टकराए -दूसरे से आगे निकल जाते हैं।
वर्गाकार जाली के साथ प्रारंभिक प्रयास
1973 एवं 1976 में प्रकाशित पत्रों में, जीन हार्डी, यवेस पोमेउ एवं ओलिवियर डी पाज़िस ने पहला जाली बोल्ट्ज़मैन मॉडल पेश किया, जिसे लेखकों के पश्चात एचपीपी मॉडल कहा जाता है। एचपीपी मॉडल द्रव कण अंतःक्रिया का द्वि-आयामी मॉडल है। इस मॉडल में, जाली वर्गाकार है, एवं कण इकाई गति से भिन्न समय तक स्वतंत्र रूप से यात्रा करते हैं। कण उन चार समष्टिों में से किसी भी समष्टि पर जा सकते हैं जिनकी कोशिकाएँ साझा किनारा साझा करती हैं। कण तिरछे नहीं चल सकते।
यदि दो कण आमने-सामने टकराते हैं, उदाहरण के लिए बाईं ओर जाने वाला कण दाईं ओर जाने वाले कण से मिलता है, तो परिणाम यह होगा कि दो कण साइट को उस दिशा में समकोण पर छोड़ देंगे, जिस दिशा में वे आए थे।[6] एचपीपी मॉडल में घूर्णी अपरिवर्तनीयता का अभाव था, जिसने मॉडल को अत्यधिक एनिसोट्रॉपिक बना दिया। उदाहरण के लिए, इसका मतलब यह है कि एचपीपी मॉडल द्वारा उत्पादित भंवर चौकोर आकार के होते हैं।[7]
हेक्सागोनल ग्रिड
हेक्सागोनल ग्रिड मॉडल पहली बार 1986 में उरीएल फ्रिस्क, ब्रॉसल हस्लाचर एवं पोमेउ द्वारा पेपर में पेश किया गया था, एवं इसे इसके आविष्कारकों के पश्चात एफएचपी मॉडल के रूप में जाना जाता है। मॉडल में छह या सात वेग होते हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि किस भिन्नता का उपयोग किया जाता है। किसी भी स्थिति में, छह वेग प्रत्येक पड़ोसी स्थल पर गति का प्रतिनिधित्व करते हैं। कुछ मॉडलों में (जिन्हें एफएचपी-II एवं एफएचपी-III कहा जाता है), विश्राम अवस्था में कणों का प्रतिनिधित्व करने वाला सातवां वेग पेश किया गया है। आराम की स्थिति में कण पड़ोसी समष्टिों पर नहीं फैलते हैं, लेकिन वे अन्य कणों से टकराने में सक्षम होते हैं। FHP-III मॉडल सभी संभावित टकरावों की अनुमति देता है जो घनत्व एवं गति को संरक्षित करते हैं।[8] टकरावों की संख्या बढ़ने से रेनॉल्ड्स संख्या बढ़ जाती है, इसलिए FHP-II एवं FHP-III मॉडल छह-स्पीड FHP-I मॉडल की तुलना में कम चिपचिपा प्रवाह अनुकरण कर सकते हैं।[9] एफएचपी मॉडल का सरल अद्यतन नियम दो चरणों में आगे बढ़ता है, जिसे कण संख्या एवं गति को संरक्षित करने के लिए चुना जाता है। पहला है टकराव से निपटना। एफएचपी मॉडल में टकराव के नियम नियतात्मक नहीं हैं, कुछ इनपुट स्थितियां दो संभावित परिणाम उत्पन्न करती हैं, एवं जब ऐसा होता है, तो उनमें से को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चूंकि पूरी तरह से कम्प्यूटेशनल माध्यमों से यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना संभव नहीं है, इसलिए आमतौर पर छद्म यादृच्छिकता प्रक्रिया को चुना जाता है।[10] टकराव के चरण के पश्चात लिंक पर कण को साइट छोड़ने के लिए माना जाता है। यदि किसी साइट पर दो कण आमने-सामने आते हैं, तो वे बिखर जाते हैं। गति को संरक्षित करने वाली दो संभावित आउटगोइंग दिशाओं के मध्य यादृच्छिक विकल्प बनाया जाता है।
हेक्सागोनल ग्रिड उतनी बड़ी अनिसोट्रॉपी समस्याओं से ग्रस्त नहीं है जितनी एचपीपी वर्ग ग्रिड मॉडल को परेशान करने वाली समस्याओं से ग्रस्त हैं, भाग्यशाली तथ्य जो पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, एवं जिसने फ्रिस्क को यह टिप्पणी करने के लिए प्रेरित किया कि समरूपता देवता परोपकारी हैं।[11]
तीन आयाम
त्रि-आयामी ग्रिड के लिए, पूरे समष्टि को भरने वाला मात्र नियमित बहुवचन घनक्षेत्र है, जबकि पर्याप्त रूप से बड़े समरूपता समूह के साथ मात्र नियमित पॉलीटोप द्वादशफ़लक एवं विंशतिफलक हैं (दूसरे अवरोध के बिना मॉडल को समान कमियों का सामना करना पड़ेगा) एचपीपी मॉडल)। ऐसा मॉडल बनाने के लिए जो तीन आयामों से निपटता है, इसलिए आयामों की संख्या में वृद्धि की आवश्यकता होती है, जैसे कि 1986 में डी'हुमिएरेस, लेलेमैंड एवं फ्रिस्क द्वारा मॉडल, जिसमें चेहरा-केंद्रित अतिविम मॉडल नियोजित किया गया था।[12]
स्थूल मात्राएँ प्राप्त करना
किसी स्थल पर घनत्व प्रत्येक स्थल पर कणों की संख्या की गणना करके पाया जा सकता है। यदि कणों को सारांशित करने से पूर्व इकाई वेग से गुणा किया जाता है, तो कोई भी साइट पर गति प्राप्त कर सकता है।[13] चूँकि, भिन्न-भिन्न साइटों के लिए घनत्व, गति एवं वेग की गणना बड़ी मात्रा में शोर के अधीन है, एवं व्यवहार में, अधिक उचित परिणाम प्राप्त करने के लिए बड़े क्षेत्र का औसत निकाला जाएगा। सांख्यिकीय शोर को एवं कम करने के लिए अक्सर एन्सेम्बल औसत का उपयोग किया जाता है।[14]
फायदे एवं नुकसान
जाली गैस मॉडल द्वारा रखी गई मुख्य संपत्ति यह है कि बूलियन राज्यों का मतलब है कि फ्लोटिंग-पॉइंट परिशुद्धता के कारण किसी भी राउंड-ऑफ त्रुटि के बिना सटीक कंप्यूटिंग होगी, एवं सेलुलर ऑटोमेटा सिस्टम समानांतर के साथ जाली गैस ऑटोमेटन सिमुलेशन चलाना संभव बनाता समानांतर कंप्यूटिंग.[15] जाली गैस विधि के नुकसान में गैलीलियन अपरिवर्तनशीलता की कमी एवं सांख्यिकीय शोर सम्मिलित हैं।[16] अन्य समस्या त्रि-आयामी समस्याओं को संभालने के लिए मॉडल का विस्तार करने में कठिनाई है, ऐसे मुद्दों से निपटने के लिए पर्याप्त सममित ग्रिड बनाए रखने के लिए अधिक आयामों के उपयोग की आवश्यकता होती है।[12]
जीव विज्ञान में मॉडल के रूप में
लैटिस-गैस सेलुलर ऑटोमेटा को अनुकूलित किया गया है एवं अभी भी जीव विज्ञान में सामूहिक प्रवासन के मॉडलिंग के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैविक एजेंटों की सक्रिय प्रकृति के साथ-साथ कोशिकाओं के चिपचिपे वातावरण के कारण, संवेग संरक्षण की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, एजेंट मर सकते हैं या प्रजनन कर सकते हैं, इसलिए बड़े पैमाने पर संरक्षण भी अनुपस्थित हो सकता है। टकराव के चरण के दौरान, कण व्यक्तियों के मध्य समष्टिीय संपर्क का अनुकरण करते हुए, बोल्ट्ज़मैन वितरण के पश्चात स्टोकेस्टिक रूप से पुन: व्यवस्थित होते हैं।
टिप्पणियाँ
- ↑ Succi, section 2.3 describes the process
- ↑ Succi, section 2.6
- ↑ Deutsch, Andreas; Nava-Sedeño, Josué Manik; Syga, Simon; Hatzikirou, Haralampos (2021-06-15). "BIO-LGCA: A cellular automaton modelling class for analysing collective cell migration". PLOS Computational Biology (in English). 17 (6): e1009066. Bibcode:2021PLSCB..17E9066D. doi:10.1371/journal.pcbi.1009066. PMC 8232544. PMID 34129639.
- ↑ Buick, section 3.4
- ↑ Wolfram, Stephen (2002), A New Kind of Science, Wolfram Media, pp. 459–464, ISBN 1-57955-008-8.
- ↑ Buick, section 3.2.1
- ↑ Succi, footnote p. 22
- ↑ Buick, section 3.2.2
- ↑ Wolf-Gladrow 3.2.6, figure 3.2.3
- ↑ Wolf-Gladrow 3.2.1
- ↑ Succi, footnote p. 23
- ↑ 12.0 12.1 वुल्फ-ग्लैड्रो, अनुभाग 3.4 - 3.5
- ↑ Buick, section 3.5.1
- ↑ Buick, section 3.8
- ↑ Succi, section 2.4
- ↑ Succi, section 2.5
संदर्भ
- Sauro Succi (2001). The Lattice Boltzmann Equation, for fluid dynamics and beyond. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9. (Chapter 2 is about lattice gas Cellular Automata)
- James Maxwell Buick (1997). Lattice Boltzmann Methods in Interfacial Wave Modelling. PhD Thesis, University of Edinburgh. (Chapter 3 is about the lattice gas model.) (archive.org) 2008-11-13
- Dieter A. Wolf-Gladrow (2000). Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Springer. ISBN 3-540-66973-6.
बाहरी संबंध
- (in French) Master thesis (2000) – Details on programming and optimising the simulation of the FHP LGA
- (in Polish and English) Master thesis (2010) - Implementation of FHP model in Nvidia CUDA technology.
