हाइपरकनेक्टेड समष्टि

For कंप्यूटर नेटवर्किंग संबंध, see हाइपरकनेक्टिविटी. For नोड-लिंक ग्राफ़ में हाइपर-कनेक्टिविटी, see कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) § सुपर- और हाइपर-कनेक्टिविटी.

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, हाइपरकनेक्टेड समष्टि या अपरिवर्तनीय समष्टि टोपोलॉजिकल समष्टि एक्स है जिसे दो उचित सवृत समुच्चय (या असंयुक्त या गैर-असंयुक्त) के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बीजगणितीय ज्यामिति में इरेड्यूसिबल समष्टि नाम को प्राथमिकता दी जाती है।

टोपोलॉजिकल समष्टि X के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• कोई भी दो अरिक्त विवृत समुच्चय असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं।
• X को दो उचित सवृत समुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
• प्रत्येक गैररिक्त ओपन समुच्चय X में सघन (टोपोलॉजी) है।
• प्रत्येक उचित सवृत समुच्चय का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) खाली है।
• प्रत्येक उपसमुच्चय सघन है या X में कहीं भी सघन समुच्चय नहीं है।
• किसी भी दो बिंदुओं को असंयुक्त निकट द्वारा अलग नहीं किया जा सकता है।

एक समष्टि जो इनमें से किसी नियम को पूरा करता है उसे हाइपरकनेक्टेड या इरेड्यूसिबल कहा जाता है। विशिष्ट बिंदुओं के निकट के बारे में स्थिति अर्थ में हॉसडॉर्फ़ समष्टि प्रोपर्टी के विपरीत होने के कारण, कुछ लेखक ऐसे समष्टिों को 'हॉसडॉर्फ़ विरोधी' कहते हैं।

एक इरेड्यूसिबल समुच्चय टोपोलॉजिकल समष्टि का उपसमुच्चय है जिसके लिए सबसमष्टि टोपोलॉजी इरेड्यूसिबल है। कुछ लेखक खाली समुच्चय को अपरिवर्तनीय नहीं मानते हैं (तथापि यह खाली सत्य उपरोक्त नियमों को पूरा करता हो)।

उदाहरण

प्वाइंट समुच्चय टोपोलॉजी से हाइपरकनेक्टेड समष्टि के दो उदाहरण किसी भी अनंत समुच्चय पर सहपरिमित टोपोलॉजी और ऑर्डर टोपोलॉजी लेफ्ट और राइट ऑर्डर टोपोलॉजी $\mathbb {R}$ हैं। .

बीजगणितीय ज्यामिति में, वलय का स्पेक्ट्रम लेना, जिसका घटा हुआ वलय अभिन्न डोमेन है, इरेड्यूसेबल टोपोलॉजिकल समष्टि है भागफल मानचित्र के स्पेक्ट्रम को दिखाने के लिए, वलय के नीलरेडिकल पर जाली प्रमेय को प्रयुक्त करना, जो हर अभाज्य के अन्दर है, होमोमोर्फिज्म, यह अभिन्न डोमेन के स्पेक्ट्रम की अपरिवर्तनीयता को कम करता है। उदाहरण के लिए, योजना (गणित)

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)$ , ${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)$

अपरिवर्तनीय हैं क्योंकि दोनों ही स्थितियों में आदर्श को परिभाषित करने वाले बहुपद अपरिवर्तनीय बहुपद हैं (अर्थात् उनमें कोई गैर-सामान्य गुणनखंड नहीं है)। सामान्य क्रॉसिंग विभाजक द्वारा गैर-उदाहरण दिया जाता है

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)$

चूंकि अंतर्निहित समष्टि एफ़िन विमानों का मिलन है $\mathbb {A} _{x,y}^{2}$, $\mathbb {A} _{x,z}^{2}$, और $\mathbb {A} _{y,z}^{2}$. और गैर-उदाहरण योजना द्वारा दिया गया है

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)$

जहाँ $f_{4}$ अपरिवर्तनीय डिग्री 4 सजातीय बहुपद है। यह दो जीनस 3 वक्रों का मिलन है (जीनस-डिग्री सूत्र द्वारा)

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)$

हाइपरकनेक्टेडनेस बनाम कनेक्टिविटी

प्रत्येक हाइपर कनेक्टेड समष्टि और समष्टिीय रूप से कनेक्टेड दोनों होता है (चूँकि आवश्यक नहीं कि पथ से कनेक्टेड या समष्टिीय रूप से पथ-कनेक्टेड हो)।

ध्यान दें कि हाइपर-कनेक्टेडनेस की परिभाषा में, सवृत समुच्चयों का असंयुक्त होना आवश्यक नहीं है। यह जुड़ाव की परिभाषा के विपरीत है, जिसमें विवृत समुच्चय असंयुक्त होते हैं।

उदाहरण के लिए, मानक टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का समष्टि कनेक्टेड है किन्तु हाइपरकनेक्टेड नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे दो असंयुक्त विवृत समुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, किन्तु इसे दो (गैर-असंगठित) सवृत समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है।

गुण

• हाइपरकनेक्टेड समष्टि के गैर-रिक्त विवृत उपसमुच्चय इस अर्थ में बड़े हैं कि प्रत्येक एक्स में सघन है और उनमें से कोई भी जोड़ा प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, हाइपरकनेक्टेड समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि नहीं हो सकता जब तक कि इसमें केवल बिंदु नही होता है।
• प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड समष्टि कनेक्टेड समष्टि और समष्टिीय रूप से कनेक्टेड दोनों होता है (चूँकि आवश्यक नहीं कि पथ-कनेक्टेड या समष्टिीय रूप से पथ-कनेक्टेड हो)।
• चूंकि हाइपरकनेक्टेड समष्टि में प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत समुच्चय का सवृत होना संपूर्ण समष्टि है, जो ओपन समुच्चय है, प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड समष्टि अत्यधिक डिस्कनेक्टेड समष्टि है।
• हाइपरकनेक्टेड समष्टि की निरंतर फलन (टोपोलॉजी) छवि हाइपरकनेक्टेड है। विशेष रूप से, हाइपरकनेक्टेड समष्टि से हॉसडॉर्फ समष्टि तक कोई भी निरंतर कार्य स्थिर होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड समष्टि छद्मकॉम्पैक्ट समष्टि है।
• हाइपरकनेक्टेड समष्टि का प्रत्येक ओपन उपसमष्टि हाइपरकनेक्टेड होता है।

प्रमाण: माना $U\subset X$ ओपन उपसमुच्चय बनें. $U$ के कोई भी दो असंयुक्त विवृत उपसमुच्चय स्वयं के असंयुक्त विवृत उपसमुच्चय $X$ होंगे . तो उनमें से कम से कम खाली होना चाहिए।

• अधिक सामान्यतः, हाइपरकनेक्टेड समष्टि का प्रत्येक सघन उपसमुच्चय हाइपरकनेक्टेड होता है।

प्रमाण: मान लीजिए कि $S$, $S=S_{1}\cup S_{2}$। चूँकि $X$ हाइपरकनेक्टेड है, दो क्लोजर में से एक संपूर्ण स्थान इसका तात्पर्य यह है कि $X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}$ में सघन है, और चूँकि यह $S$ में सवृत है, इसलिए इसे $S$ के बराबर होना चाहिए

• हाइपरकनेक्टेड समष्टि के सवृत उपसमष्टि को हाइपरकनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रतिउदाहरण:$\Bbbk ^{2}$ साथ $\Bbbk$ बीजगणितीय रूप से सवृत फ़ील्ड (इस प्रकार अनंत) हाइपरकनेक्टेड है ज़ारिस्की टोपोलॉजी में, जबकि $V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}$ सवृत है और हाइपरकनेक्टेड नहीं है.

• किसी भी अपरिवर्तनीय समुच्चय का समापन (टोपोलॉजी) अपरिवर्तनीय है।

प्रमाण: मान लीजिए $S\subseteq X$ जहाँ $S$ अपरिवर्तनीय है और लिखो $\operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G$ दो सवृत उपसमुच्चय के लिए $F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)$ (और इस प्रकार में $X$). $F':=F\cap S,\,G':=G\cap S$ में सवृत हैं $S$ और $S=F'\cup G'$ जो ये दर्शाता है $S\subseteq F$ या $S\subseteq G$, परन्तु फिर $\operatorname {Cl} _{X}(S)=F$ या $\operatorname {Cl} _{X}(S)=G$ क्लोजर (टोपोलॉजी) की परिभाषा के अनुसार सिद्ध किया जाता है।

• एक समष्टि $X$ जिसे इस प्रकार $X=U_{1}\cup U_{2}$ साथ $U_{1},U_{2}\subset X$ ओपन लिखा जा सकता है और अपरिवर्तनीय ऐसा कि $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ अपरिवर्तनीय है.

प्रमाण: सबसे पहले, हम देखते हैं कि यदि $V$, $X$ में एक गैर-रिक्त ओपन समुच्चय है तो यह $U_{1}$ और $U_{2}$ दोनों को प्रतिच्छेद करता है; वास्तव में, मान लीजिए कि $V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset$ , तो $V_{1}$ $U_{1}$ में सघन है, इस प्रकार $\exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ और $x\in U_{2}$ के सवृत होने का एक बिंदु जिसका अर्थ है $V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ और एक फोर्टिओरी $V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset$। अब और क्लोजर ले रहा हूं। $V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}$ इसलिए $V$, $X$ का एक गैर-रिक्त ओपन और सघन उपसमुच्चय है। चूँकि यह प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत उपसमुच्चय के लिए सत्य है, $X$ अपरिवर्तनीय है।

अपरिवर्तनीय घटक

एक अपरिवर्तनीय घटक टोपोलॉजिकल समष्टि में अधिकतम इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय होता है (अर्थात इरेड्यूसेबल समुच्चय जो किसी भी बड़े इरेड्यूसेबल समुच्चय में सम्मिलित नहीं होता है)। इरेड्यूसिबल घटक सदैव सवृत रहते हैं।

किसी समष्टि विशेषकर, X का प्रत्येक बिंदु सामान्यतः, अपरिवर्तनीय घटक ओवरलैप होंगे।

हॉसडॉर्फ़ समष्टि के अपरिवर्तनीय घटक केवल सिंगलटन समुच्चय हैं।

चूँकि प्रत्येक इरेड्यूसिबल समष्टि कनेक्टेड है, इरेड्यूसेबल घटक सदैव कनेक्टेड घटकों में स्थित रहेंगे।

प्रत्येक नोथेरियन टोपोलॉजिकल समष्टि में सीमित रूप से कई अपरिवर्तनीय घटक होते हैं।

यह भी देखें

• अल्ट्राकनेक्टेड समष्टि
• शांत समष्टि
• ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• "Hyperconnected space". PlanetMath.