अनाकार समुच्चय

समुच्चय सिद्धांत में, अनाकार समुच्चय एक अनंत समुच्चय होता है जो दो अनंत उपसमुच्चयों का अविभाज्य संयोजन नहीं होता है

अस्तित्व

यदि "विचार का अभिग्रह" अभिकल्पना की जाए, तो अनाकार समुच्चय उपलब्ध नहीं हो सकते हैं। अब्राहम फ्रेंकेल ने समुच्चय थ्योरी में परमाणुओ का एक क्रमचय प्रारूप बनाया जिसमें परमाणुओं का समुच्चय एक अनाकार समुच्चय है। 1963 में कोहेन की प्राथमिक कार्यशाला के उपरांत, जर्मेलो-फ्रैंकेल के साथ अनाकार समुच्चयों के संगतता के प्रमाण प्राप्त किए गए।

अतिरिक्त गुण

प्रत्येक अनाकार समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है | डेडेकिंड-परिमित, जिसका अर्थ है कि इसमें स्वयं के उचित उपसमुच्चय के लिए कोई आक्षेप नहीं है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए $S$ एक ऐसा समुच्चय है जिसमें आपत्ति है $f$ एक उचित उपसमुच्चय के लिए। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $i\geq 0$ परिभाषित करना $S_{i}$ की छवि से संबंधित तत्वों का समुच्चय होना $i$-फोल्ड इटरेटेड फंक्शन | की संरचना f खुद के साथ लेकिन की छवि के लिए नहीं $(i+1)$-गुना रचना। फिर प्रत्येक $S_{i}$ गैर-खाली है, इसलिए समुच्चय का मिलन $S_{i}$ यहां तक ​​कि सूचकांकों के साथ एक अनंत समुच्चय होगा जिसका पूरक होगा $S$ यह भी अनंत है, यह दिखा रहा है $S$ अनाकार नहीं हो सकता। हालांकि, इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है: यह अनंत डेडेकिंड-परिमित समुच्चयों के अस्तित्व के लिए सुसंगत है जो अनाकार नहीं हैं। कोई अनाकार समुच्चय रैखिक क्रम नहीं हो सकता। क्योंकि एक अनाकार समुच्चय की छवि या तो अनाकार या परिमित होती है, यह इस प्रकार है कि एक अनाकार समुच्चय से लेकर रैखिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय तक के प्रत्येक कार्य में केवल एक परिमित छवि होती है।

एक अनाकार समुच्चय पर कोफिनिट फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर (समुच्चय सिद्धांत) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय का पूरक अनंत नहीं होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक उपसमुच्चय या तो परिमित या सहमित है।

रूपांतर

अगर $\Pi$ परिमित उपसमुच्चय में एक अनाकार समुच्चय के एक समुच्चय का विभाजन है, तो ठीक एक पूर्णांक होना चाहिए $n(\Pi )$ ऐसा है कि $\Pi$ आकार के अपरिमित रूप से अनेक उपसमुच्चय होते हैं $n$; के लिए, यदि प्रत्येक आकार का उपयोग कई बार परिमित रूप से किया गया था, या यदि एक से अधिक आकार का उपयोग कई बार असीम रूप से किया गया था, तो इस जानकारी का उपयोग विभाजन को विभाजित करने और विभाजित करने के लिए किया जा सकता है। $\Pi$ दो अनंत उपसमूहों में। यदि एक असंगत समुच्चय में अतिरिक्त संपत्ति होती है, तो प्रत्येक विभाजन के लिए $\Pi$, $n(\Pi )=1$, तो इसे सख्ती से अनाकार या दृढ़ता से अनाकार कहा जाता है, और यदि कोई परिमित ऊपरी सीमा होती है $n(\Pi )$ तब समुच्चय को परिबद्ध अनाकार कहा जाता है। यह ZF के अनुरूप है कि अनाकार समुच्चय मौजूद हैं और सभी बंधे हुए हैं, या वे मौजूद हैं और सभी अबाधित हैं।