वितरित मापदण्ड प्रणाली

नियंत्रण सिद्धांत में, एक वितरित-पैरामीटर प्रणाली (एक लम्प्ड-पैरामीटर प्रणाली के विपरीत) एक प्रणाली है जिसका स्टेट स्पेस अनंत-आयामी है। ऐसी प्रणालियों को इसलिए अनंत-आयामी प्रणालियों के रूप में भी जाना जाता है। विशिष्ट उदाहरण आंशिक अवकल समीकरणों या विलंब अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियाँ हैं।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय वितरित-पैरामीटर प्रणाली

सार विकास समीकरण

असतत-समय

U, X और Y हिल्बर्ट स्पेसेस हैं और A∈ L(X), B∈ L(U, X), C∈ L(X, Y) और D∈L(U, Y), तो निम्नलिखित अवकल समीकरण एक असतत-समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को निर्धारित करते हैं:

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

$x\,$ के साथ, (स्टेट) X, $u\,$ में मानों वाला एक अनुक्रम, (इनपुट या नियंत्रण) U और $y\,$में मानों वाला एक अनुक्रम, (आउटपुट) Y में मानों वाला एक अनुक्रम है।

सतत-समय

नियमित समय की अवस्था डिस्क्रीट समय की अवस्था के तरह है, लेकिन अब विभिन्न समीकरणों की बजाय अवकल समीकरणों का विचार किया जाता है:

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$.

एक और समस्या यह है कि इस एब्स्ट्रैक्ट फ्रेमवर्क में आंशिक अवकलन समीकरण और देरी अवकलन समीकरण जैसे रुचिकर भौतिक उदाहरणों को शामिल करने के लिए, हमें अबोधित ऑपरेटर्स का विचार करना पड़ता है। आमतौर पर, स्टेट स्पेस X पर तय करने के लिए A का मानना है कि यह स्थिति स्थान पर एक मजबूत निरंतर सेमीग्रुप उत्पन्न करता है। B, C और D को बाउंडेड ऑपरेटर्स मानने की धारणा करने से पहले ही कई रुचिकर भौतिक उदाहरणों को शामिल किया जा सकता है, लेकिन अन्य कई रुचिकर भौतिक उदाहरणों को शामिल करने से B और C की अबाउंडेड होने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण: आंशिक अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण के साथ $t>0$ और $\xi \in [0,1]$ द्वारा दिए गए

${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

$w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

$w(t,0)=0,$

$y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

ऊपर वर्णित अमूर्त विकास समीकरण ढांचे में निम्नानुसार फिट बैठता है। इनपुट स्पेस यू और आउटपुट स्पेस वाई दोनों को जटिल संख्याओं के सेट के रूप में चुना गया है। स्टेट स्पेस X को L चुना गया है²(0, 1). ऑपरेटर A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$

इसे दिखाया जा सकता है कि A, X पर एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। परिबद्ध ऑपरेटरों B, C और D को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.$

उदाहरण: विलंब अवकल समीकरण

विलंब अवकल समीकरण

${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

$y(t)=w(t),$

ऊपर वर्णित अमूर्त विकास समीकरण ढांचे में निम्नानुसार फिट बैठता है। इनपुट स्पेस यू और आउटपुट स्पेस वाई दोनों को जटिल संख्याओं के सेट के रूप में चुना गया है। स्टेट स्पेस X को L के साथ सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल के रूप में चुना गया है²(−τ, 0). ऑपरेटर A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

इसे दिखाया जा सकता है कि A, X पर एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। परिबद्ध ऑपरेटरों B, C और D को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.$

स्थानांतरण कार्य

जैसा कि परिमित-आयामी मामले में स्टेट स्पेस (नियंत्रण)#ट्रांसफर फ़ंक्शन को लाप्लास परिवर्तन (निरंतर-समय) या जेड को बदलने (असतत-समय) के माध्यम से परिभाषित किया गया है। जबकि परिमित-आयामी मामले में स्थानांतरण फ़ंक्शन एक उचित तर्कसंगत फ़ंक्शन है, स्टेट स्पेस की अनंत-आयामीता तर्कहीन कार्यों की ओर ले जाती है (जो कि अभी भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं)।

असतत-समय

असतत-समय में स्थानांतरण फ़ंक्शन राज्य-अंतरिक्ष मापदंडों के संदर्भ में दिया जाता है $D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$ और यह मूल बिंदु पर केन्द्रित डिस्क में होलोमोर्फिक है। यदि 1/z A के रिसॉल्वेंट सेट से संबंधित है (जो मूल पर केंद्रित संभवतः छोटी डिस्क पर मामला है) तो स्थानांतरण फ़ंक्शन बराबर होता है $D+Cz(I-zA)^{-1}B$. एक दिलचस्प तथ्य यह है कि कोई भी फ़ंक्शन जो शून्य में होलोमोर्फिक है, कुछ असतत-समय प्रणाली का स्थानांतरण फ़ंक्शन है।

सतत-समय

यदि A एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है और बी, सी और डी बंधे हुए ऑपरेटर हैं, तो स्थानांतरण फ़ंक्शन स्टेट स्पेस मापदंडों के संदर्भ में दिया गया है $D+C(sI-A)^{-1}B$ एस के लिए जिसका वास्तविक भाग A द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह की घातीय वृद्धि से बड़ा है। अधिक सामान्य स्थितियों में यह सूत्र जैसा कि खड़ा है, इसका कोई मतलब भी नहीं हो सकता है, लेकिन इस सूत्र का एक उचित सामान्यीकरण अभी भी कायम है। स्थानांतरण फ़ंक्शन के लिए एक आसान अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए ऊपर दिए गए उदाहरणों में नीचे दिए गए राज्य अंतरिक्ष सूत्रों का उपयोग करने की तुलना में दिए गए अवकल समीकरण में लाप्लास परिवर्तन लेना अक्सर बेहतर होता है।

आंशिक अवकल समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन

प्रारंभिक शर्त निर्धारित करना $w_{0}$ शून्य के बराबर और ऊपर दिए गए आंशिक अवकल समीकरण से प्राप्त बड़े अक्षरों द्वारा टी के संबंध में लाप्लास परिवर्तनों को निरूपित करना

$sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

$W(s,0)=0,$

$Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

यह एक अमानवीय रैखिक अवकल समीकरण है $\xi$ चर के रूप में, s एक पैरामीटर के रूप में और प्रारंभिक स्थिति शून्य। समाधान है $W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$. इसे Y के समीकरण में प्रतिस्थापित करना और प्राप्तियों को एकीकृत करना $Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ ताकि स्थानांतरण कार्य हो $(e^{-s}+s-1)/s^{2}$.

विलंब अवकल समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन

आंशिक अवकल समीकरण उदाहरण के समान ही आगे बढ़ते हुए, विलंब समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन है $1/(s-1-e^{-s})$.

नियंत्रणीयता

अनंत-आयामी मामले में नियंत्रणीयता की कई गैर-समकक्ष परिभाषाएँ हैं जो परिमित-आयामी मामले के लिए नियंत्रणीयता की एक सामान्य धारणा को ध्वस्त कर देती हैं। तीन सबसे महत्वपूर्ण नियंत्रणीयता अवधारणाएँ हैं:

• सटीक नियंत्रणीयता,
• अनुमानित नियंत्रणीयता,
• शून्य नियंत्रणीयता.

अलग-अलग समय में नियंत्रणीयता

मानचित्रों द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है $\Phi _{n}$ जो सभी यू मूल्यवान अनुक्रमों के सेट को X में मैप करता है और इसके द्वारा दिया जाता है $\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$. व्याख्या यह है $\Phi _{n}u$ वह स्थिति है जो प्रारंभिक स्थिति शून्य होने पर इनपुट अनुक्रम यू लागू करने से प्राप्त होती है। सिस्टम कहा जाता है

• समय n में बिल्कुल नियंत्रणीय यदि की सीमा $\Phi _{n}$ X के बराबर है,
• समय n में लगभग नियंत्रणीय यदि की सीमा $\Phi _{n}$ X में सघन है,
• समय एन में शून्य नियंत्रणीय यदि की सीमा $\Phi _{n}$ A की रेंज शामिल हैⁿ.

निरंतर-समय में नियंत्रणीयता

सतत-समय प्रणालियों की नियंत्रणीयता में मानचित्र $\Phi _{t}$ द्वारा दिए गए $\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$ वह भूमिका निभाता है $\Phi _{n}$ अलग-अलग समय में खेलता है। हालाँकि, नियंत्रण कार्यों का वह स्थान जिस पर यह ऑपरेटर अब कार्य करता है, परिभाषा को प्रभावित करता है। सामान्य विकल्प एल है²(0, ∞;U), अंतराल (0, ∞) पर यू-मूल्य वर्ग पूर्णांक कार्यों का स्थान (समतुल्य वर्ग), लेकिन अन्य विकल्प जैसे एल¹(0, ∞;U) संभव हैं. विभिन्न नियंत्रणीयता धारणाओं को एक बार डोमेन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\Phi _{t}$ चुना जाता है। सिस्टम कहा जाता है

• समय टी में बिल्कुल नियंत्रणीय यदि की सीमा $\Phi _{t}$ X के बराबर है,
• समय टी में लगभग नियंत्रणीय यदि की सीमा $\Phi _{t}$ X में सघन है,
• समय टी में शून्य नियंत्रणीय यदि की सीमा $\Phi _{t}$ की रेंज शामिल है ${\rm {e}}^{At}$.

अवलोकनशीलता

जैसा कि परिमित-आयामी मामले में, अवलोकनीयता नियंत्रणीयता की दोहरी धारणा है। अनंत-आयामी मामले में अवलोकन की कई अलग-अलग धारणाएं हैं जो परिमित-आयामी मामले में मेल खाती हैं। तीन सबसे महत्वपूर्ण हैं:

• सटीक अवलोकनशीलता (निरंतर अवलोकनशीलता के रूप में भी जाना जाता है),
• अनुमानित अवलोकनशीलता,
• अंतिम स्थिति का अवलोकन।

अलग-अलग समय में अवलोकनीयता

मानचित्रों द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है $\Psi _{n}$ जो सभी Y मूल्यवान अनुक्रमों के स्थान में X को मैप करता है और इसके द्वारा दिया जाता है $(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$ यदि k ≤ n और शून्य यदि k >n। व्याख्या यह है $\Psi _{n}x$ प्रारंभिक स्थिति x और नियंत्रण शून्य के साथ छोटा आउटपुट है। सिस्टम कहा जाता है

• यदि कोई k मौजूद है तो समय n में सटीक रूप से देखा जा सकता है_n> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$ सभी x ∈ X के लिए,
• लगभग समय n यदि में अवलोकनीय $\Psi _{n}$ इंजेक्शन है,
• यदि कोई k मौजूद है तो अंतिम स्थिति समय n में देखी जा सकती है_n> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$ सभी x ∈ X के लिए।

सतत-समय में अवलोकनीयता

निरंतर-समय प्रणालियों के अवलोकन में मानचित्र $\Psi _{t}$ द्वारा दिए गए $(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$ s∈[0,t] के लिए और s>t के लिए शून्य की भूमिका निभाता है $\Psi _{n}$ अलग-अलग समय में खेलता है। हालाँकि, यह ऑपरेटर अब जिन फ़ंक्शंस को मैप करता है उनका स्थान परिभाषा को प्रभावित करता है। सामान्य विकल्प एल है²(0, ∞, Y), अंतराल (0,∞) पर Y-मूल्य वर्ग पूर्णांक कार्यों का स्थान (समतुल्य वर्ग), लेकिन अन्य विकल्प जैसे L¹(0, ∞, Y) संभव हैं. विभिन्न अवलोकन संबंधी धारणाओं को एक बार सह-डोमेन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\Psi _{t}$ चुना जाता है। सिस्टम कहा जाता है

• यदि कोई k मौजूद है तो समय t में सटीक रूप से देखा जा सकता है_t> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$ सभी x ∈ X के लिए,
• समय टी में लगभग अवलोकनीय $\Psi _{t}$ इंजेक्शन है,
• यदि कोई k मौजूद है तो समय t में देखने योग्य अंतिम स्थिति_t> 0 ऐसे कि $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$ सभी x ∈ X के लिए।

नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता के बीच द्वंद्व

जैसा कि परिमित-आयामी मामले में, नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता दोहरी अवधारणाएँ हैं (कम से कम जब के डोमेन के लिए) $\Phi$ और का सह-डोमेन $\Psi$ सामान्य एल²चुनाव हो गया है)। विभिन्न अवधारणाओं के द्वंद्व के अंतर्गत पत्राचार है:

• सटीक नियंत्रणीयता ↔ सटीक अवलोकनशीलता,
• अनुमानित नियंत्रणीयता ↔ अनुमानित अवलोकनशीलता,
• शून्य नियंत्रणीयता ↔ अंतिम स्थिति का अवलोकन।

यह भी देखें

• नियंत्रण सिद्धांत
• स्टेट स्पेस (नियंत्रण)

संदर्भ

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans (1995), An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto (2000), Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representation and Control of Infinite Dimensional Systems (second ed.), Birkhauser