लैटिस मॉडल (भौतिकी)

For other uses, see जाली आदर्श (बहुविकल्पी).

दो अणुओं ए और बी से भारित एक त्रि-आयामी जालक को काले और सफेद गोले के रूप में दर्शाया गया है। इस तरह के जालक का उपयोग उदाहरण - फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत में किया जाता है।

गणितीय भौतिकी में एक जालक आदर्श एक भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल है जिसे अंतराल या अंतराल अवधि की निरंतरता जैसे कॉन्टिन्यूम(सिद्धांत) के विपरीत एक जालक (समूह) पर परिभाषित किया जाता है। जालक आदर्श मूल रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जहां एक क्रिस्टल के परमाणु स्वचालित रूप से एक जालक बनाते हैं। वर्तमान में, अनेक कारणों से जालक आदर्श सैद्धांतिक भौतिकी में काफी लोकप्रिय हैं। कुछ आदर्श वास्तव मे समाधेय हैं, और इस प्रकार गड़बड़ी सिद्धांत से जो व्यक्त किया जा सकता है उससे प्रथक भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। जालक आदर्श संगणनात्मक भौतिकी के तरीकों से अध्ययन के लिए भी आदर्श हैं, क्योंकि किसी भी कॉन्टिन्यूम आदर्श का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे जालक आदर्श में परिवर्तन कर देता है। इनमें से अनेक आदर्शों के सटीक समाधान (जब वे व्याख्या करने योग्य होते हैं) में सॉलिटन की उपस्थिति शामिल होती है। इन्हें व्याख्या करने की तकनीकों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स पेयर की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम समूह शामिल हैं। इन आदर्शों के समाधान ने चरण परिवर्तन , चुंबकीयकरण और प्रवर्धन गतिविधि की प्रकृति के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है।

भौतिक जालक आदर्श अक्सर एक निरंतरता सिद्धांत के सन्निकटन के रूप में या तो विचलन को रोकने या संख्यात्मक विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत को एक पराबैंगनी विच्छेदन देने के लिए होते हैं। कॉन्टिन्यूम सिद्धांत का एक उदाहरण जिसका व्यापक रूप से जालक आदर्श के माध्यम से अध्ययन किया जाता है, क्यूसीडी जालक आदर्श है जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स की विचारशीलता है। हालांकि, अंकीय भौतिकी प्रकृति को मौलिक रूप से प्लांक नियम पर असतत मानती है, जो सूचना के घनत्व एवं होलोग्राफिक (स्वलिखित) सिद्धांत की उच्च सीमांत लगाती है। आम तौर पर, जालक मापक सिद्धांत और जालक क्षेत्र सिद्धांत अध्ययन के क्षेत्र हैं। जालक आदर्श का उपयोग बहुलक की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।

गणितीय विवरण

निम्नलिखित आँकड़े के माध्यम से अनेक जालक आदर्श का वर्णन किया जा सकता है:

एक जालक (समूह) $\Lambda$ को अक्सर $d$-आयामी यूक्लिडियन अंतराल $\mathbb {R} ^{d}$ या $d$- आयामी स्थूलक में एक जाली माना जाता है यदि जालक आवधिक है। वस्तुतः $\Lambda$ अक्सर पूर्णांक जालक होती है। यदि जालक पर दो बिंदुओं को 'निकटतम पड़ोसी' माना जाता है, तो उन्हें एक सीमा से सम्बद्ध किया जा सकता है, जिससे जालक एक जालक लेखाचित्र में परिवर्तित हो जाती है। $\Lambda$ के शीर्षों को कभी-कभी स्थल भी कहा जाता है।

एक चक्र-परिवर्तनीय अंतराल $S$ है। संभावित सिस्टम स्थितियों का विन्यास स्थान ${\mathcal {C}}$ है, तब फ़ंक्शंस का स्थान $\sigma :\Lambda \rightarrow S$ होता है।कुछ आदर्शों के लिए हम फ़ंक्शंस $\sigma :E\rightarrow S$ के स्थान पर विचार कर सकते हैं जहाँ $E$ उपरोक्त परिभाषित आरेखीय का सीमा सेट है।

एक ऊर्जा कार्यात्मक $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ है, जो अतिरिक्त मापदंडों या 'युग्मन स्थिरांक' $\{g_{i}\}$ के एक सेट पर निर्भर हो सकता है।

उदाहरण

आइसिंग आदर्श सामान्य घन जाली आरेखीय $G=(\Lambda ,E)$ के माध्यम से दिया गया है जहां $\Lambda$ और $\mathbb {R} ^{d}$ में एक अनंत घन जाली है या $T^{d}$ में एक अवधि $n$ घन जाली है, और $E$ निकटतम पड़ोसियों का सीमा का सेट है (उसी अक्षर का उपयोग ऊर्जा कार्यात्मक के लिए किया जाता है लेकिन संदर्भ के आधार पर विभिन्न उपयोगों को अलग-अलग विशेषणीय किया जा सकता है)। चक्र परिवर्तनीय अंतराल $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$ है।

ऊर्जा कार्यात्मक है

$E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).$

चक्र-परिवर्तनीय अंतराल को अक्सर सह समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स आदर्श के लिए हमारे पास $S=\mathbb {Z} _{n}$ है। सीमा $n\rightarrow \infty$ में हमें एक्सवाई आदर्श प्राप्त होता है जिसमें $S=SO(2)$ होता है। एक्सवाई आदर्श को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से $n$ संवाहक आदर्श प्राप्त होता है, जिसमें $S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)$ होता है।

व्याख्या करने योग्य आदर्श

हम अंकों की एक सीमित संख्या और एक परिमित चक्र -परिवर्तनीय अंतराल के साथ जालक के विशेषज्ञ हैं। यह अवधि के साथ जालक को आवधिक बनाकर प्राप्त किया जा सकता है $n$ में $d$ आयाम। फिर कॉन्फ़िगरेशन अंतराल ${\mathcal {C}}$ परिमित भी है। हम विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित कर सकते हैं

$Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))$

और अभिसरण के कोई मुद्दे नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में उभर कर आते हैं) क्योंकि राशि परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस राशि की गणना एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है जो केवल मापदंडों पर निर्भर है $\{g_{i}\}$ और $\beta$. व्यवहार में, साइटों के बीच गैर-रेखीय अंतःक्रियाओं के कारण यह अक्सर कठिन होता है। विभाजन फ़ंक्शन के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति वाले आदर्श को बिल्कुल व्याख्या करने योग्य के रूप में जाना जाता है।

सटीक रूप से व्याख्या करने योग्य आदर्श के उदाहरण आवधिक 1D आइसिंग आदर्श हैं, और आवधिक 2D आइसिंग आदर्श गायब बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ हैं, $H=0,$ लेकिन आयाम के लिए $d>2$, ईज़िंग आदर्श अनसुलझा रहता है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत

सटीक समाधान निकालने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अक्सर माध्य क्षेत्र सिद्धांत का सहारा लेना पड़ता है। यह औसत क्षेत्र स्थानिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।

ग्लोबल मीन फील्ड

विन्यास स्थान ${\mathcal {C}}$ कार्यों का $\sigma$ चक्र स्थान के उत्तल पतवार के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है $S$, कब $S$ के एक उपसमुच्चय के संदर्भ में एक बोध है $\mathbb {R} ^{m}$. हम इसे के माध्यम से निरूपित करेंगे $\langle {\mathcal {C}}\rangle$. यह हमारे पास क्षेत्र के औसत मूल्य पर जाने के रूप में उत्पन्न होता है $\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)$.

जालक साइटों की संख्या के रूप में $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$, के संभावित मान $\langle \sigma \rangle$ का उत्तल पतवार भरें $S$. एक उपयुक्त सन्निकटन करने से, कार्यात्मक ऊर्जा माध्य क्षेत्र का एक कार्य बन जाती है, अर्थात $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ विभाजन समारोह तब बन जाता है

$Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.$

जैसा $N\rightarrow \infty$, अर्थात्, थर्मोडायनामिक सीमा में, सैडल पॉइंट सन्निकटन हमें बताता है कि इंटीग्रल एसिम्प्टोटिक रूप से उस मूल्य पर हावी है जिस पर $f(\langle \sigma \rangle )$ न्यूनतम किया गया है:

$Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}$

कहाँ $\langle \sigma \rangle _{0}$ कम करने वाला तर्क है $f$.

एक सरल, लेकिन कम गणितीय रूप से कठोर दृष्टिकोण जो फिर भी कभी-कभी सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है $\langle \sigma \rangle$. विन्यास लेखन के रूप में $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$, छंटनी की शर्तें ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ फिर कॉन्फ़िगरेशन पर योग विभाजन फ़ंक्शन की गणना की अनुमति देता है।

में आवधिक आइसिंग आदर्श के लिए ऐसा दृष्टिकोण $d$ आयाम चरण परिवर्तन ों में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र

जालक की कॉन्टिन्यूमसीमा मान लीजिए $\Lambda$ है $\mathbb {R} ^{d}$. सभी पर औसत करने के बजाय $\Lambda$, हम के आस-पड़ोस में औसत हैं $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$. यह स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र देता है $\langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle$. हम पुनः लेबल करते हैं $\langle \sigma \rangle$ साथ $\phi$ क्षेत्र सिद्धांत के करीब अंकन लाने के लिए। इससे पार्टीशन फंक्शन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

$Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}$

जहां मुक्त ऊर्जा $F[\phi ]$ क्वांटम फील्ड थ्योरी में कार्रवाई का एक बाती घुमाई वर्जन है।

उदाहरण

संघनित पदार्थ भौतिकी

<उल>

आइज़िंग आदर्श

पॉट्स आदर्श

चिरल पॉट्स आदर्श

XY आदर्श

शास्त्रीय हाइजेनबर्ग आदर्श

एन-संवाहक आदर्श

वर्टेक्स आदर्श

टोडा जालक

पॉलिमर भौतिकी

<उल>

बॉन्ड उतार-चढ़ाव आदर्श

दूसरा आदर्श

उच्च ऊर्जा भौतिकी

<उल>

QCD जालक आदर्श

यह भी देखें

• क्रिस्टल की संरचना
• स्केलिंग सीमा
• क्यूसीडी मामला
• जालक दार गैस

संदर्भ

• Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578