रैखिक सम्मिश्र संरचना

गणित में एक वास्तविक सदिश समष्टि V पर एक सम्मिश्र संरचना, V का एक स्वप्रतिरूपण है जो ऋणात्मक पहचान −I का वर्ग है। जो कि V पर इस तरह की संरचना किसी को विहित विधि से सम्मिश्र अदिशों द्वारा गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देती है जिससे V को एक सम्मिश्र सदिश समष्टि के रूप में माना जा सकता है।

प्रत्येक सम्मिश्र सदिश स्थान को संगत सम्मिश्र संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है, चूँकि यह सामान्य रूप से ऐसी कोई विहित संरचना नहीं होती है। जो कि सम्मिश्र संरचनाओं का प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ-साथ सम्मिश्र ज्यामिति में भी अनुप्रयोग होता है जहां वे सम्मिश्र मैनिफोल्ड के विपरीत, लगभग सम्मिश्र मैनिफोल्ड की परिभाषा में आवश्यक भूमिका निभाते हैं। सम्मिश्र संरचना शब्द अधिकांशत: इस संरचना को अधिक गुना संदर्भित करता है; जब यह सदिश स्थानों पर किसी संरचना को संदर्भित करता है, तो इसे 'रैखिक सम्मिश्र संरचना' कहा जा सकता है।

परिभाषा और गुण

वास्तविक सदिश समष्टि V पर सम्मिश्र संरचना वास्तविक रैखिक परिवर्तन है

$$J:V\to V$$

ऐसा है कि

$$J^{2}=-\mathrm {Id} _{V}.$$

यहां J² का अर्थ है जो कि J स्वयं से बना है और Id_V V पर पहचान मानचित्र है। अथार्त, V को दो बार लगाने का प्रभाव −1 से गुणा करने के समान है। यह काल्पनिक इकाई द्वारा गुणन की याद दिलाता है, अर्थात यह एक सम्मिश्र संरचना किसी को V को एक सम्मिश्र सदिश स्थान की संरचना प्रदान करने की अनुमति देती है। सम्मिश्र अदिश गुणन को परिभाषित किया जा सकता है

$$(x+iy)v=xv+yJ(v)$$

सभी वास्तविक संख्याओं x,y और V में सभी सदिशों v के लिए यह कोई जांच सकता है कि यह, वास्तव में, V को एक सम्मिश्र सदिश समष्टि की संरचना देता है जिसे हम V_J को दर्शाते हैं।

यह दूसरी दिशा में जाने पर, यदि कोई सम्मिश्र सदिश समष्टि W से प्रारंभ करता है तो वह सभी w ∈ W के लिए Jw = iw को परिभाषित करके अंतर्निहित वास्तविक स्थान पर एक सम्मिश्र संरचना को परिभाषित कर सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से, एक वास्तविक सदिश स्थान पर एक रैखिक सम्मिश्र संरचना सम्मिश्र संख्याओं C का बीजगणित प्रतिनिधित्व है, जिसे वास्तविक संख्याओं पर एक सहयोगी बीजगणित के रूप में माना जाता है। यह बीजगणित ठोस रूप में साकार होता है

$$\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$$

जो i² = −1 से मेल खाता है। फिर C का प्रतिनिधित्व एक वास्तविक सदिश समष्टि V है, इसके साथ में V पर C की क्रिया (एक मानचित्र C → End(V) भी है। जो कि समान्य रूप से, यह केवल i की एक क्रिया है, क्योंकि यह बीजगणित उत्पन्न करता है, और यह i (End(V) में i की छवि) का प्रतिनिधित्व करने वाला ऑपरेटर बिल्कुल J है।

यदि V_J का सम्मिश्र आयाम n है तो V का वास्तविक आयाम 2n होना चाहिए। अर्थात्, एक परिमित-आयामी स्थान V एक सम्मिश्र संरचना को तभी स्वीकार करता है जब वह सम-आयामी हो। यह देखना कठिन नहीं है कि प्रत्येक सम-आयामी सदिश स्थान एक सम्मिश्र संरचना को स्वीकार करता है। कोई व्यक्ति Je = f और Jf = −e द्वारा आधार सदिश के जोड़े e,f पर J को परिभाषित कर सकता है और फिर सभी V तक रैखिकता द्वारा विस्तारित कर सकता है। यदि (v₁, …, v_n) सम्मिश्र सदिश स्थान V_J के लिए एक आधार है तो (v₁, Jv₁, …, v_n, Jv_n) अंतर्निहित वास्तविक स्थान V का आधार है।

एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन A : V → V संगत सम्मिश्र स्थान V_J का सम्मिश्र रैखिक परिवर्तन है यदि और केवल यदि A J के साथ आवागमन करता है , अर्थात यदि और केवल यदि

$$AJ=JA.$$

इसी तरह, V का एक वास्तविक उप-स्थान U, V_J का एक सम्मिश्र उप-स्थान है यदि और केवल यदि J, U को संरक्षित करता है, अर्थात यदि और केवल यदि

$$JU=U.$$

उदाहरण

प्रारंभिक उदाहरण

वास्तविक क्षेत्र पर 2x2 वास्तविक आव्यूह M(2,R) का संग्रह 4-आयामी है। कोई मैट्रिक्स

$J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}$ के साथ² + bc = -1

पहचान मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर वर्ग है। एम(2,'आर') में सम्मिश्र संरचना बनाई जा सकती है: पहचान मैट्रिक्स I के साथ, तत्व x I + y J, मैट्रिक्स गुणन के साथ सम्मिश्र संख्याएँ बनाते हैं।

सीⁿ

एक रैखिक सम्मिश्र संरचना का मूल उदाहरण 'आर' पर संरचना है²ⁿ 'सी' पर सम्मिश्र संरचना से आ रहा हैⁿ. अर्थात्, सम्मिश्र एन-आयामी स्थान 'सी'ⁿ भी वास्तविक 2n-आयामी स्थान है - समान सदिश जोड़ और वास्तविक अदिश गुणन का उपयोग करते हुए - जबकि सम्मिश्र संख्या i द्वारा गुणा न केवल अंतरिक्ष का सम्मिश्र रैखिक परिवर्तन है, जिसे सम्मिश्र सदिश स्थान के रूप में माना जाता है, बल्कि यह अंतरिक्ष का वास्तविक रैखिक परिवर्तन भी है, जिसे वास्तविक सदिश स्थान माना जाता है। सीधे तौर पर, इसका कारण यह है कि i द्वारा अदिश गुणन वास्तविक संख्याओं द्वारा अदिश गुणन के साथ परिवर्तित होता है $i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ - और सदिश जोड़ में वितरित होता है। सम्मिश्र n×n मैट्रिक्स के रूप में, यह केवल विकर्ण पर i के साथ अदिश मैट्रिक्स है। संगत वास्तविक 2n×2n मैट्रिक्स को J दर्शाया गया है।

एक आधार दिया गया $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$ सम्मिश्र स्थान के लिए, यह सेट, इन वैक्टरों के साथ मिलकर i से गुणा किया जाता है $\left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},$ वास्तविक स्थान के लिए आधार तैयार करें। इस आधार को ऑर्डर करने के दो प्राकृतिक विधि हैं, जो संक्षेप में इस बात से संबंधित हैं कि कोई टेंसर उत्पाद को इस रूप में लिखता है या नहीं $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ या इसके बजाय के रूप में $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.$ यदि कोई आधार के रूप में आदेश देता है $\left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},$ तब J के लिए मैट्रिक्स ब्लॉक विकर्ण रूप लेता है (आयाम को इंगित करने के लिए सबस्क्रिप्ट जोड़े जाते हैं):

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.$$

इस क्रम का लाभ यह है कि यह सम्मिश्र सदिश रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग का सम्मान करता है, जिसका अर्थ यहां आधार है $\mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}$ के लिए वैसा ही है $\mathbb {C} ^{m+n}.$ दूसरी ओर, यदि कोई आधार का आदेश देता है $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}$, तो J के लिए मैट्रिक्स ब्लॉक-एंटीडायगोनल है:

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.$$

यह क्रम अधिक स्वाभाविक है यदि कोई सम्मिश्र स्थान को वास्तविक स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में सोचता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

वास्तविक सदिश स्थान और J मैट्रिक्स का डेटा बिल्कुल सम्मिश्र सदिश स्थान के डेटा के समान है, क्योंकि J मैट्रिक्स सम्मिश्र गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देता है। लाई बीजगणित और लाई समूहों के स्तर पर, यह gl(2n,'R') में gl(n,'C') को शामिल करने से मेल खाता है (झूठ बीजगणित - मैट्रिक्स, जरूरी नहीं कि उलटा हो) और GL(n,C) |GL(n,'C') GL(2n,'R' में):

gl(n,C) < gl(2n,R) and GL(n,C) < GL(2n,R).

समावेशन सम्मिश्र संरचना को भूलने (और केवल वास्तविक रखने) से मेल खाता है, जबकि उपसमूह जीएल (एन, 'सी') को जे के साथ आने वाले मैट्रिक्स के रूप में चित्रित किया जा सकता है (समीकरणों में दिया गया है):

$$\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.$$

ली बीजगणित के बारे में संगत कथन यह है कि सम्मिश्र आव्यूहों के उपबीजगणित gl(n,'C') वे हैं जिनका J के साथ झूठ कोष्ठक लुप्त हो जाता है, जिसका अर्थ है $[J,A]=0;$ दूसरे शब्दों में, जे के साथ ब्रैकेटिंग के मानचित्र के कर्नेल के रूप में, $[J,-].$ ध्यान दें कि इन कथनों के लिए परिभाषित समीकरण समान हैं $AJ=JA$ वैसा ही है जैसा कि $AJ-JA=0,$ जो वैसा ही है $[A,J]=0,$ हालाँकि लेट ब्रैकेट के लुप्त होने का अर्थ ज्यामितीय रूप से आने-जाने के अर्थ से कम तात्कालिक है।

सीधा योग

यदि V कोई वास्तविक सदिश समष्टि है तो सदिश समष्टि V ⊕ V के प्रत्यक्ष योग पर विहित सम्मिश्र संरचना होती है, जो इसके द्वारा दी गई है

$$J(v,w)=(-w,v).$$

J का ब्लॉक मैट्रिक्स फॉर्म है

$$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$$

कहाँ $I_{V}$ वी पर पहचान मानचित्र है। यह टेंसर उत्पाद पर सम्मिश्र संरचना से मेल खाता है $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.$

अन्य संरचनाओं के साथ संगतता

यदि B द्विरेखीय रूप है V तो हम ऐसा कहते हैं J संरक्षित करता है B अगर

$$B(Ju,Jv)=B(u,v)$$

सभी के लिए u, v ∈ V. समतुल्य लक्षण वर्णन वह है J के संबंध में तिरछा जोड़ है B:

$$B(Ju,v)=-B(u,Jv).$$

यदि g आंतरिक उत्पाद है V तब J संरक्षित करता है g यदि और केवल यदि J ऑर्थोगोनल परिवर्तन है। वैसे ही, J गैर-अपक्षयी, तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित रूप संरक्षित करता है ω यदि और केवल यदि J सिंपलेक्टिक परिवर्तन है (अर्थात्, यदि ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$). सरलीकृत रूपों के लिए ω के बीच दिलचस्प अनुकूलता की स्थिति J और ω यह है कि

$$\omega (u,Ju)>0$$

सभी गैर-शून्य के लिए धारण करता है u में V. यदि यह शर्त पूरी होती है तो हम ऐसा कहते हैं J वश में करना ω (पर्यायवाची: वह ω के संबंध में वश में है J; वह J के संबंध में वश में है ω; या वह जोड़ी ${\textstyle (\omega ,J)}$ वश में है)।

एक सांकेतिक रूप दिया गया है ω और रैखिक सम्मिश्र संरचना J पर V, कोई संबंधित द्विरेखीय रूप को परिभाषित कर सकता है g_J पर V द्वारा

$$g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).$$

चूँकि सरलीकृत रूप गैर-विक्षिप्त होता है, इसलिए उससे जुड़ा द्विरेखीय रूप भी अप्रचलित होता है। संबंधित प्रपत्र द्वारा संरक्षित है J यदि और केवल यदि सहानुभूतिपूर्ण रूप है। इसके अलावा, यदि सिंपलेक्टिक फॉर्म को संरक्षित किया जाता है J, तो संबद्ध रूप सममित है। यदि इसके अतिरिक्त ω द्वारा वश में किया जाता है J, तो संबद्ध रूप निश्चित द्विरेखीय रूप है। इस प्रकार इस मामले में V के संबंध में आंतरिक उत्पाद स्थान है g_J.

यदि सिंपलेक्टिक रूप ω द्वारा संरक्षित किया गया है (लेकिन जरूरी नहीं कि उसे वश में किया जाए)। J, तब g_J हर्मिटियन रूप की सम्मिश्र संख्या है (पहले तर्क में कन्वेंशन एंटीलीनियर द्वारा) ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ द्वारा परिभाषित

$$h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).$$

जटिलताओं से संबंध

किसी भी वास्तविक सदिश समष्टि V को देखते हुए हम अदिशों के विस्तार द्वारा इसकी जटिलता को परिभाषित कर सकते हैं:

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .$

यह सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका सम्मिश्र आयाम V के वास्तविक आयाम के बराबर है। इसमें विहित सम्मिश्र संयुग्मन है जिसे परिभाषित किया गया है

${\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}$

यदि J, V पर सम्मिश्र संरचना है, तो हम J को रैखिकता द्वारा V तक बढ़ा सकते हैं^सी:

$J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.$

चूँकि C बीजगणितीय रूप से बंद है, J में eigenvalues ​​​​होने की गारंटी है जो λ को संतुष्ट करते हैं² = −1, अर्थात् λ = ±i. इस प्रकार हम लिख सकते हैं

$V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}$

जहां वी⁺और वी⁻ क्रमशः +i और −i के eigenspaces हैं। सम्मिश्र संयुग्मन इंटरचेंज वी⁺और वी⁻. वी पर प्रक्षेपण मानचित्र^± eigenspaces द्वारा दिए गए हैं

${\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).$

ताकि

$V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.$

वी के बीच प्राकृतिक सम्मिश्र रैखिक समरूपता है_J और वी⁺, इसलिए इन सदिश स्थानों को समान माना जा सकता है, जबकि V⁻ को V का सम्मिश्र संयुग्म सदिश समष्टि माना जा सकता है_J.

ध्यान दें कि यदि वी_J दोनों V के बाद सम्मिश्र आयाम n है⁺और वी⁻सम्मिश्र आयाम n है जबकि V^Cका सम्मिश्र आयाम 2n है।

संक्षेप में, यदि कोई सम्मिश्र सदिश समष्टि W से प्रारंभ करता है और अंतर्निहित वास्तविक स्थान की जटिलता को लेता है, तो उसे W और उसके संयुग्म के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूपी समष्टि प्राप्त होती है:

$W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.$

संबंधित सदिश स्थानों का विस्तार

मान लीजिए कि V सम्मिश्र संरचना J के साथ वास्तविक सदिश समष्टि है। दोहरे स्थान V* में प्राकृतिक सम्मिश्र संरचना J* है जो J के दोहरे (या स्थानान्तरण) द्वारा दी गई है। दोहरे स्थान की जटिलता (V*)^{इसलिए C}में प्राकृतिक अपघटन होता है

$(V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}$

J* के ±i eigenspaces में। (V*) की प्राकृतिक पहचान के तहत^सी के साथ (वी^C)* कोई (V*) को चिह्नित कर सकता है⁺ उन सम्मिश्र रैखिक कार्यात्मकताओं के रूप में जो V पर लुप्त हो जाती हैं⁻. इसी प्रकार (वी*)⁻में वे सम्मिश्र रैखिक क्रियाएँ शामिल हैं जो V पर लुप्त हो जाती हैं⁺.

वी पर (जटिल) टेंसर बीजगणित, सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित^सीविघटन को भी स्वीकार करता है। बाहरी बीजगणित शायद इस अपघटन का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य तौर पर, यदि सदिश स्थान U अपघटन U = S ⊕ T को स्वीकार करता है तो U की बाहरी शक्तियों को निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है:

$\Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).$

इसलिए V पर सम्मिश्र संरचना J अपघटन को प्रेरित करती है

$\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}$

कहाँ

$\Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).$

सभी बाहरी शक्तियों को सम्मिश्र संख्याओं पर ले लिया जाता है। तो यदि वी_J तो इसका सम्मिश्र आयाम n (वास्तविक आयाम 2n) है

$\dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.$

वेंडरमोंडे की पहचान के परिणामस्वरूप आयाम सही ढंग से जुड़ते हैं।

(p,q)- का स्थान Λ बनाता है^{पी, क्यू} वी_J* V पर (जटिल) बहुरेखीय रूपों का स्थान है^सी जो सजातीय तत्वों पर गायब हो जाता है जब तक कि पी वी से न हो⁺ और q, V से हैं⁻. Λ का सम्मान करना भी संभव है^{पी, क्यू} वी_J* वी से वास्तविक बहुरेखीय मानचित्रों के स्थान के रूप में_J से C जो p पदों में सम्मिश्र रैखिक हैं और q पदों में संयुग्म-रैखिक हैं।

इन विचारों के अनुप्रयोगों के लिए सम्मिश्र विभेदक रूप और लगभग सम्मिश्र मैनिफोल्ड देखें।

यह भी देखें

• लगभग सम्मिश्र विविधता
• सम्मिश्र अनेक गुना
• सम्मिश्र विभेदक रूप
• सम्मिश्र संयुग्म सदिश स्थान
• हर्मिटियन संरचना
• वास्तविक संरचना

संदर्भ

• Kobayashi S. and Nomizu K., Foundations of Differential Geometry, John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7. (complex structures are discussed in Volume II, Chapter IX, section 1).
• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard, Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (complex structures are discussed in section 3.1).
• Goldberg S.I., Curvature and Homology, Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X. (complex structures and almost complex manifolds are discussed in section 5.2).