पार स्पेक्ट्रम

समय श्रृंखला विश्लेषण में क्रॉस-स्पेक्ट्रम का उपयोग दो समय श्रृंखलाओं के बीच क्रॉस-सहसंबंध या क्रॉस-सहप्रसरण के आवृत्ति डोमेन विश्लेषण के भाग के रूप में किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिए $(X_{t},Y_{t})$ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है जो संयुक्त रूप से ऑटोकोवेरिएंस फलन $\gamma _{xx}$और $\gamma _{yy}$ और क्रॉस-कोवेरिएंस फलन के साथ व्यापक अर्थ स्थिर हैं। जिसमे $\gamma _{xy}$ फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम $\Gamma _{xy}$ को $\gamma _{xy}$ के फूरियर रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है।

$\Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},$

जहाँ

$\gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]$ .

क्रॉस-स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व (i) इसके वास्तविक भाग (सह-स्पेक्ट्रम) और (ii) इसके काल्पनिक भाग (चतुर्भुज स्पेक्ट्रम) में अपघटन के रूप में होता है।

$\Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{xy}(f),$

और (ii) ध्रुवीय निर्देशांक में

$\Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.$

यहाँ, आयाम स्पेक्ट्रम $A_{xy}$ द्वारा दिया गया है

$A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},$

और फेज स्पेक्ट्रम $\Phi _{xy}$ द्वारा दिया गया है

${\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}$

वर्गाकार सुसंगति स्पेक्ट्रम

वर्गाकार सुसंगतता (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा दी गई है

$\kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},$

जो आयामहीन इकाइयों में आयाम स्पेक्ट्रम को व्यक्त करता है।

यह भी देखें

• क्रॉस-कोवेरिएंस
• पावर स्पेक्ट्रम
• स्केल्ड सहसंबंध