गणित और गणितीय अनुकूलन में, किसी फलन का उत्तल संयुग्म लीजेंड्रे रूपांतरण का एक सामान्यीकरण है जो गैर-उत्तल कार्यों पर लागू होता है। इसे लेजेंड्रे–फेंचेल रूपांतरण , फेनचेल रूपांतरण, या फेनचेल संयुग्मन (एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे और वर्नर फेनेल के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह विशेष रूप से लैग्रेंजियन द्वैत के दूरगामी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
परिभाषा मान लीजिये X {\displaystyle X} वास्तविक संख्या सांस्थितिक सदिश समष्टि है और मान लीजिये X ∗ {\displaystyle X^{*}} X {\displaystyle X} द्वैतसमष्टि हो। जिसे विहित द्वैध युग्मन रूप में दर्शाया जा सकता है
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : X ∗ × X → R {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R} } जिसे ( x ∗ , x ) ↦ x ∗ ( x ) {\displaystyle \left(x^{*},x\right)\mapsto x^{*}(x)}
एक समारोह के लिए f : X → R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर मान लेते हुए, यहconvex conjugate फलन है
f ∗ : X ∗ → R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} जिसका मूल्य पर x ∗ ∈ X ∗ {\displaystyle x^{*}\in X^{*}}
f ∗ ( x ∗ ) := sup { ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) : x ∈ X } , {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)~\colon ~x\in X\right\},} या, समकक्ष, न्यूनतम के संदर्भ में:
f ∗ ( x ∗ ) := − inf { f ( x ) − ⟨ x ∗ , x ⟩ : x ∈ X } . {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=-\inf \left\{f(x)-\left\langle x^{*},x\right\rangle ~\colon ~x\in X\right\}.} इस परिभाषा की व्याख्या इसके सहायक हाइपरप्लेन के संदर्भ में फलन के एपिग्राफ (गणित) के उत्तल पतवार के एन्कोडिंग के रूप में की जा सकती है।[1]
उदाहरण अधिक उदाहरणों के लिए देखें § Table of selected convex conjugates .
एक एफ़िन फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = ⟨ a , x ⟩ − b {\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b} f ∗ ( x ∗ ) = { b , x ∗ = a + ∞ , x ∗ ≠ a . {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}
किसी शक्ति फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = 1 p | x | p , 1 < p < ∞ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1<p<\infty } f ∗ ( x ∗ ) = 1 q | x ∗ | q , 1 < q < ∞ , where 1 p + 1 q = 1. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1<q<\infty ,{\text{where}}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}
निरपेक्ष मान फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=\left|x\right|} f ∗ ( x ∗ ) = { 0 , | x ∗ | ≤ 1 ∞ , | x ∗ | > 1. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}
घातीय फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} f ∗ ( x ∗ ) = { x ∗ ln x ∗ − x ∗ , x ∗ > 0 0 , x ∗ = 0 ∞ , x ∗ < 0. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}} घातीय फलन के उत्तल संयुग्म और लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म सहमत हैं, सिवाय इसके कि उत्तल संयुग्म के फलन का डोमेन सख्ती से बड़ा है क्योंकि लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म केवल सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।
अपेक्षित कमी के साथ संबंध (जोखिम पर औसत मूल्य) उदाहरण के लिए यह लेख देखें।
मान लीजिए F एक यादृच्छिक चर X के संचयी वितरण फलन को दर्शाता है। फिर (भागों द्वारा एकीकृत),
f ( x ) := ∫ − ∞ x F ( u ) d u = E [ max ( 0 , x − X ) ] = x − E [ min ( x , X ) ] {\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,x-X)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}
उत्तल संयुग्म है
f ∗ ( p ) = ∫ 0 p F − 1 ( q ) d q = ( p − 1 ) F − 1 ( p ) + E [ min ( F − 1 ( p ) , X ) ] = p F − 1 ( p ) − E [ max ( 0 , F − 1 ( p ) − X ) ] . {\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}
ऑर्डर करना एक विशेष व्याख्या में रूपांतरण होता है
f inc ( x ) := arg sup t t ⋅ x − ∫ 0 1 max { t − f ( u ) , 0 } d u , {\displaystyle f^{\text{inc}}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{t-f(u),0\}\,du,}
चूँकि यह प्रारंभिक फलन f की गैर-घटती पुनर्व्यवस्था है; विशेष रूप से,
f inc = f {\displaystyle f^{\text{inc}}=f} एफ गैर-घटने के लिए।
गुण एक बंद उत्तल फलन का उत्तल संयुग्म फिर से एक बंद उत्तल फलन है। एक बहुफलकीय उत्तल कार्य का उत्तल संयुग्म (बहुतल एपिग्राफ (गणित) के साथ एक उत्तल फलन) फिर से एक पॉलीहेड्रल उत्तल फलन है।
आदेश उलटना इसकी घोषणा करें f ≤ g {\displaystyle f\leq g} f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} x . {\displaystyle x.} f ≤ g {\displaystyle f\leq g} f ∗ ≥ g ∗ . {\displaystyle f^{*}\geq g^{*}.} ( f α ) α {\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }}
( inf α f α ) ∗ ( x ∗ ) = sup α f α ∗ ( x ∗ ) , {\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}),} और अधिकतम-न्यूनतम असमानता से
( sup α f α ) ∗ ( x ∗ ) ≤ inf α f α ∗ ( x ∗ ) . {\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}).}
उभयलिंगी किसी फलन का उत्तल संयुग्म हमेशा निचला अर्ध-निरंतर होता है। उभयलिंगी f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}} बंद उत्तल पतवार भी है, यानी सबसे बड़ा निचला अर्ध-निरंतर उत्तल कार्य f ∗ ∗ ≤ f . {\displaystyle f^{**}\leq f.} उचित उत्तल कार्य के लिए f , {\displaystyle f,} f = f ∗ ∗ {\displaystyle f=f^{**}} अगर और केवल अगर f {\displaystyle f}
फ़ेंशेल की असमानता किसी भी समारोह के लिए f और इसका उत्तल संयुग्म f *x ∈ X {\displaystyle x\in X} p ∈ X ∗ {\displaystyle p\in X^{*}}
⟨ p , x ⟩ ≤ f ( x ) + f ∗ ( p ) . {\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p).} इसके अलावा, समानता तभी कायम रहती है जब p ∈ ∂ f ( x ) {\displaystyle p\in \partial f(x)} f ∗ ( p ) = sup x ~ { ⟨ p , x ~ ⟩ − f ( x ~ ) } ≥ ⟨ p , x ⟩ − f ( x ) . {\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde {x}}\left\{\langle p,{\tilde {x}}\rangle -f({\tilde {x}})\right\}\geq \langle p,x\rangle -f(x).}
उत्तलता दो कार्यों के लिए f 0 {\displaystyle f_{0}} f 1 {\displaystyle f_{1}} 0 ≤ λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}
( ( 1 − λ ) f 0 + λ f 1 ) ∗ ≤ ( 1 − λ ) f 0 ∗ + λ f 1 ∗ {\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{*}\leq (1-\lambda )f_{0}^{*}+\lambda f_{1}^{*}} धारण करता है. ∗ {\displaystyle {*}}
अनंत कनवल्शन दो कार्यों का अनंत कनवल्शन (या एपि-सम)। f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}
( f ◻ g ) ( x ) = inf { f ( x − y ) + g ( y ) ∣ y ∈ R n } . {\displaystyle \left(f\operatorname {\Box } g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.} मान लीजिये f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} [2]
( f 1 ◻ ⋯ ◻ f m ) ∗ = f 1 ∗ + ⋯ + f m ∗ . {\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.} दो कार्यों के अनंत कनवल्शन की एक ज्यामितीय व्याख्या होती है: दो कार्यों के अनंत कनवल्शन का (सख्त) एपिग्राफ (गणित) उन कार्यों के (सख्त) एपिग्राफ का मिन्कोव्स्की योग है।[3]
तर्क को अधिकतम करना यदि फलन f {\displaystyle f}
f ′ ( x ) = x ∗ ( x ) := arg sup x ∗ ⟨ x , x ∗ ⟩ − f ∗ ( x ∗ ) {\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{*}}{\langle x,x^{*}\rangle }-f^{*}\left(x^{*}\right)} f ∗ ′ ( x ∗ ) = x ( x ∗ ) := arg sup x ⟨ x , x ∗ ⟩ − f ( x ) ; {\displaystyle f^{{*}\prime }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\rangle }-f(x);} इस तरह
x = ∇ f ∗ ( ∇ f ( x ) ) , {\displaystyle x=\nabla f^{*}\left(\nabla f(x)\right),} x ∗ = ∇ f ( ∇ f ∗ ( x ∗ ) ) , {\displaystyle x^{*}=\nabla f\left(\nabla f^{*}\left(x^{*}\right)\right),} और इसके अलावा
f ′ ′ ( x ) ⋅ f ∗ ′ ′ ( x ∗ ( x ) ) = 1 , {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}(x)\right)=1,} f ∗ ′ ′ ( x ∗ ) ⋅ f ′ ′ ( x ( x ∗ ) ) = 1. {\displaystyle f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}\right)\cdot f^{\prime \prime }\left(x(x^{*})\right)=1.}
स्केलिंग गुण अगर कुछ के लिए γ > 0 , {\displaystyle \gamma >0,} g ( x ) = α + β x + γ ⋅ f ( λ x + δ ) {\displaystyle g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f\left(\lambda x+\delta \right)}
g ∗ ( x ∗ ) = − α − δ x ∗ − β λ + γ ⋅ f ∗ ( x ∗ − β λ γ ) . {\displaystyle g^{*}\left(x^{*}\right)=-\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}
रैखिक परिवर्तनों के तहत व्यवहार मान लीजिये A : X → Y {\displaystyle A:X\to Y} परिबद्ध रैखिक संचालिका बनें। किसी भी उत्तल फलन के लिए f {\displaystyle f} X , {\displaystyle X,} ( A f ) ∗ = f ∗ A ∗ {\displaystyle \left(Af\right)^{*}=f^{*}A^{*}}
( A f ) ( y ) = inf { f ( x ) : x ∈ X , A x = y } {\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}} की पूर्व छवि है f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} A ∗ {\displaystyle A^{*}} A . {\displaystyle A.} [4] f {\displaystyle f} G {\displaystyle G} ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का,
f ( A x ) = f ( x ) {\displaystyle f(Ax)=f(x)} x {\displaystyle x} A ∈ G {\displaystyle A\in G} यदि और केवल यदि यह उत्तल संयुग्म है f ∗ {\displaystyle f^{*}} G . {\displaystyle G.}
चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका निम्न तालिका कई सामान्य कार्यों के साथ-साथ कुछ उपयोगी गुणों के लिए लीजेंड्रे रूपांतरण प्रदान करती है।[5]
g ( x ) {\displaystyle g(x)} dom ( g ) {\displaystyle \operatorname {dom} (g)} g ∗ ( x ∗ ) {\displaystyle g^{*}(x^{*})} dom ( g ∗ ) {\displaystyle \operatorname {dom} (g^{*})}
f ( a x ) {\displaystyle f(ax)} a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} X {\displaystyle X} f ∗ ( x ∗ a ) {\displaystyle f^{*}\left({\frac {x^{*}}{a}}\right)} X ∗ {\displaystyle X^{*}}
f ( x + b ) {\displaystyle f(x+b)} X {\displaystyle X} f ∗ ( x ∗ ) − ⟨ b , x ∗ ⟩ {\displaystyle f^{*}(x^{*})-\langle b,x^{*}\rangle } X ∗ {\displaystyle X^{*}}
a f ( x ) {\displaystyle af(x)} a > 0 {\displaystyle a>0} X {\displaystyle X} a f ∗ ( x ∗ a ) {\displaystyle af^{*}\left({\frac {x^{*}}{a}}\right)} X ∗ {\displaystyle X^{*}}
α + β x + γ ⋅ f ( λ x + δ ) {\displaystyle \alpha +\beta x+\gamma \cdot f(\lambda x+\delta )} X {\displaystyle X} − α − δ x ∗ − β λ + γ ⋅ f ∗ ( x ∗ − β γ λ ) ( γ > 0 ) {\displaystyle -\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\gamma \lambda }}\right)\quad (\gamma >0)} X ∗ {\displaystyle X^{*}}
| x | p p {\displaystyle {\frac {|x|^{p}}{p}}} p > 1 {\displaystyle p>1} R {\displaystyle \mathbb {R} } | x ∗ | q q {\displaystyle {\frac {|x^{*}|^{q}}{q}}} 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} R {\displaystyle \mathbb {R} }
− x p p {\displaystyle {\frac {-x^{p}}{p}}} 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} − ( − x ∗ ) q q {\displaystyle {\frac {-(-x^{*})^{q}}{q}}} 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} R − − {\displaystyle \mathbb {R} _{--}}
1 + x 2 {\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } − 1 − ( x ∗ ) 2 {\displaystyle -{\sqrt {1-(x^{*})^{2}}}} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
− log ( x ) {\displaystyle -\log(x)} R + + {\displaystyle \mathbb {R} _{++}} − ( 1 + log ( − x ∗ ) ) {\displaystyle -(1+\log(-x^{*}))} R − − {\displaystyle \mathbb {R} _{--}}
e x {\displaystyle e^{x}} R {\displaystyle \mathbb {R} } { x ∗ log ( x ∗ ) − x ∗ if x ∗ > 0 0 if x ∗ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})-x^{*}&{\text{if }}x^{*}>0\\0&{\text{if }}x^{*}=0\end{cases}}} R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
log ( 1 + e x ) {\displaystyle \log \left(1+e^{x}\right)} R {\displaystyle \mathbb {R} } { x ∗ log ( x ∗ ) + ( 1 − x ∗ ) log ( 1 − x ∗ ) if 0 < x ∗ < 1 0 if x ∗ = 0 , 1 {\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})+(1-x^{*})\log(1-x^{*})&{\text{if }}0<x^{*}<1\\0&{\text{if }}x^{*}=0,1\end{cases}}} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
− log ( 1 − e x ) {\displaystyle -\log \left(1-e^{x}\right)} R − − {\displaystyle \mathbb {R} _{--}} { x ∗ log ( x ∗ ) − ( 1 + x ∗ ) log ( 1 + x ∗ ) if x ∗ > 0 0 if x ∗ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})-(1+x^{*})\log(1+x^{*})&{\text{if }}x^{*}>0\\0&{\text{if }}x^{*}=0\end{cases}}} R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
यह भी देखें द्वैध समस्या फ़ेंशेल का द्वैत प्रमेय
पौराणिक रूपांतरण
उत्पादों के लिए यंग की असमानता संदर्भ
↑ "लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म" . Retrieved April 14, 2019 .↑ Phelps, Robert (1993). उत्तल कार्य, मोनोटोन संचालक और भिन्नता 42 . ISBN 0-387-56715-1 ↑ Bauschke, Heinz H.; Goebel, Rafal; Lucet, Yves; Wang, Xianfu (2008). "The Proximal Average: Basic Theory". SIAM Journal on Optimization . 19 (2): 766. CiteSeerX 10.1.1.546.4270 doi :10.1137/070687542 . ↑ Ioffe, A.D. and Tichomirov, V.M. (1979), Theorie der Extremalaufgaben . Deutscher Verlag der Wissenschaften . Satz 3.4.3
↑ Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples 50 –51. ISBN 978-0-387-29570-1
अग्रिम पठन
